舊版幾何《3.10基本作圖》典型例題

百眼通 2017-12-24

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典型例題

　　1．作一個角等于已知角

　　分析：解作圖題的方法與證明題解法不相同，它一般應包括已知，求作。對于作圖首先將文字敘述轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，即要寫出題目的已知、求作、作法、證明。

　　已知：AOB

　　求作：使＝ AOB

　　作法：1、作射線

　　2、以點O為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA于C，交OB于D

　　3、以點為圓心，以OC長為半徑作弧，交于

　　4、以點為圓心，以CD長為半徑作弧，交前弧于

　　5、經(jīng)過點作射線。就是所求的角

　　證明：連結CD、C'D'，由作法可知

　　△C'O'D≌△COD(SSS)

　　∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形對應角相等)．

　　即∠A'O'B'=∠AOB．

　　說明：作圖題的證明，常以作法為根據(jù)，只要“作法”中寫明了作的是什么，證明中就可以用它作根據(jù)去證明．注意，在作圖題的“證明”中，一般過程都寫得比較簡單．如這個證明三角形全等的地方，把條件省略了．

　　2．平分已知角

　　已知：∠AOB如圖5

　　求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC．

　　作法：(1)在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD=OE．

　?。?）分別以D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，在內(nèi)，兩弧交于點C．

　　(3)作射線OC．

　　OC就是所求的射線．

　　證明：連結CD、CE，由作法可知

　　△ODC≌△OEC(SSS)

　　∴　 ∠COD=∠COE(全等三角形的對應角相等)．

　　即∠AOC=∠BOC．

　　小結：

　　(1)基本作圖1、2有一個不同之點，即基本作圖2要把射線OC作在∠AOB內(nèi)部，位置有指定性，基本作圖1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制，但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁．

　　(2)作圖工具只限直尺和圓規(guī)，用鉛筆畫圖，并保留作圖過程中的輔助線(作圖痕跡)．

　　(3)只畫圖的題，要求畫完圖，寫明所求作的圖形．如基本作圖中要寫出“∠A'O'B'就是所求的角．”

　　3．經(jīng)過一點作已知直線的垂線

　　分兩種情況來考慮：

　　(1)經(jīng)過已知直線上的一點作這條直線的垂線．

　　(2)經(jīng)過已知直線外的一點作這條直線的垂線．

　　分析：如果我們把D、E看成一條直線上的兩點，那么點O就是這條直線外的一點，圖6啟發(fā)我們經(jīng)過直線DE外一點O作這條直線的垂線的關鍵在于確定點F.

　?、僖阎?img doc360img-src='http://image109.360doc.com/DownloadImg/2017/12/2421/119899122_19_20171224095743398.jpg' align="right" width="254" height="151" src="http://pubimage.360doc.com/wz/default.gif" v:shapes="_x0000_i1070">直線AB和AB上一點C，如圖7．

　　求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

　　作法：作平角ACB的平分線CF直線CF就是所求的垂線。

　　證明：由作法可知，

　　即CF是AB的垂線。

　　②已知：直線AB和AB外一點C，如圖8．

　　求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．

　　作法：1、任意取一點K，使K和C在AB的兩旁

　　2、以C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E

　　3、分別以D和E為圓心，大于 DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F

　　4、作直線CF

　　直線CF就是所求的垂線

　　證明：提示：連結CD、CE、FD、FE，設CF與AB交于點O．首先證明△CDF≌△CEF，再證明△CDO≌△CEO或△FDO≌△FEO，從而得∠DOF=∠EOF=90°．