勾股定理的十六種的證明方法是初中數(shù)學(xué)幾何證明的基礎(chǔ)，為了更好的學(xué)習(xí)勾股定理的證明奠定基礎(chǔ)，極客數(shù)學(xué)幫下面整理分享十六種證明方法，我們一起來看看吧。

勾股定理的證明方法1（課本的證明方法）

做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個(gè)正方形.

從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的證明方法2（鄒元治證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一ab. 把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o.

∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o.

∴ 四邊形EFGH是一個(gè)邊長為c的

正方形. 它的面積等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.

又∵ ∠GHE = 90o,

∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o.

∴ ABCD是一個(gè)邊長為a + b的正方形，它的面積等于a+b的平方。

∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。 .

∴a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理的證明方法3（趙爽證明）

以a、b為直角邊（b>a），以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一ab。把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀。

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

∴ ABCD是一個(gè)邊長為c的正方形，它的面積等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90o.

∴ EFGH是一個(gè)邊長為b―a的正方形，它的面積等于b減a的平方。

∴ 4乘二分之一ab加上，b減a的平方等于c的平方。

∴ a^2+b^2=c^2(說明a^2為a的平方)。

勾股定理的證明方法4（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）

以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一ab。把這兩個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90o,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.

∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.

∴ ΔDEC是一個(gè)等腰直角三角形，

它的面積等于二分之一c^2.

又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一個(gè)直角梯形，它的面積等于1/2(a+b)^2.

∴1/2(a+b)^2=2x1/2ab+1/2c^2. .

∴a^2+b^2=c^2.

勾股定理的證明方法5（梅文鼎證明）

做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.

∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180o―90o= 90o.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一個(gè)邊長為c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

即 ∠CBD= 90o.

又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一個(gè)邊長為a的正方形.

同理，HPFG是一個(gè)邊長為b的正方形.

設(shè)多邊形GHCBE的面積為S，則

a^2+b^2=S+2 x 1/2xab

c^2=S+2x1/2 x ab

∴ a^2+b^2=c^2.

勾股定理的證明方法6（項(xiàng)明達(dá)證明）

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.

過點(diǎn)Q作QP∥BC，交AC于點(diǎn)P.

過點(diǎn)B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點(diǎn)

F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90o，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90o，

∴ BCPM是一個(gè)矩形，即∠MBC = 90o.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）.

勾股定理的證明方法7（歐幾里得證明）

做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過C作CL⊥DE，交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面積等于1/2乘a^2，

ΔGAD的面積等于矩形ADLM

的面積的一半，

∴ 矩形ADLM的面積 =a^2.

同理可證，矩形MLEB的面積 =b^2.

∵ 正方形ADEB的面積

= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積

∴c^2=a^2+b^2，即a^2+b^2=c^2.

勾股定理的證明方法8（利用相似三角形性質(zhì)證明）

如圖，在RtΔABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，

∠CAD = ∠BAC，

∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB，

即 AC^2=AD·AB.

同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有BC^2=BD·AB .

∴AC^2+BC^2=(AD+DB)·AB=AB^2 ，即a^2+b^2=c^2.

勾股定理的證明方法9（楊作玫證明）

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做一個(gè)邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF于H.

∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，

∴ ∠DAH = ∠BAC.

又∵ ∠DHA = 90o，∠BCA = 90o，

AD = AB = c，

∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ DH = BC = a，AH = AC = b.

由作法可知， PBCA 是一個(gè)矩形，

所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =

CA = b，AP= a，從而PH = b―a.

∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,

RtΔDHA ≌ RtΔBCA.

∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .

∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .

又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，

∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o，

∴ DGFH是一個(gè)邊長為a的正方形.

∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .

∴ TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為

勾股定理的證明方法10（李銳證明）

設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個(gè)邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上. 用數(shù)字表示面積的編號(hào)（如圖）.

∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o，

∴ ∠TBH = ∠ABE.

又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，

BT = BE = b，

∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.

∴ HT = AE = a.

∴ GH = GT―HT = b―a.

又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o，

∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90o，

∴ ∠GHF = ∠DBC.

∵ DB = EB―ED = b―a，

∠HGF = ∠BDC = 90o，

勾股定理的證明方法11（利用切割線定理證明）

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E，則BD = BE = BC = a. 因?yàn)椤螧CA = 90o，點(diǎn)C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得

AC^2=AE·AD

=(AB+BE)(AB-BD)

=(c+a)(c-a)

=c^2-a^2,

即b^2=c^2-a^2,

∴ a^2+b^2=c^2

勾股定理的證明方法12（利用多列米定理證明）

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點(diǎn)A作AD∥CB，過點(diǎn)B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個(gè)圓. 根據(jù)多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有

AB·DC=AD·BC+AC·BD，

∵ AB = DC = c，AD = BC = a，

AC = BD = b，

∴AB^2=BC^2+AC^2，即c^2=a^2+b^2，

∴a^2+b^2=c^2.

勾股定理的證明方法13（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）

在RtΔABC中，設(shè)直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內(nèi)切圓⊙O，切點(diǎn)分別為D、E、F（如圖），設(shè)⊙O的半徑為r.

∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，

勾股定理的證明方法14（利用反證法證明）

勾股定理的證明方法15（辛卜松證明）

勾股定理的證明方法16（陳杰證明）

以上為極客數(shù)學(xué)幫整理的初中數(shù)學(xué)：勾股定理的16種證明。

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