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函數是高中數學的重要內容，是高考中重點考察內容.研究關于函數的問題，主要是研究函數的三要素（定義域、值域、對應關系）和函數的三個性質（單調性、奇偶性、周期性），再加上廣義的奇偶性，即對稱性,就構成了函數這座大廈. 下面本文將從函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性的角度來闡述如何應用基本性質解決函數問題. 一、函數的單調性 1.函數單調性的定義 2.對函數單調性定義的理解 變式理解： 3.關于函數單調性的常用結論 （1）奇函數在對稱的單調區(qū)間內單調性相同，偶函數在對稱的單調區(qū)間內單調性相反； （2）互為反函數的兩個函數具有相同的單調性； （3）在公共定義域內， 增函數f (x) + 增函數g (x)是增函數； 減函數f (x) + 減函數g (x)是減函數； 增函數f (x) - 減函數g (x)是增函數； 減函數f (x) - 增函數g (x)是減函數; （4）復合函數的單調性滿足“同增異減”，即若內層函數和外層函數在某一區(qū)間的單調性相同,則復合函數在此區(qū)間為增函數,若內層函數和外層函數的單調性相反，則復合函數就為減函數. 二、函數的奇偶性 1.對奇（偶）函數的理解 （1）奇（偶）函數的定義域關于原點對稱； （2）若奇函數在x=0有意義，則f(0)=0; （3）奇函數在[a, b]和[-b, -a]上有相同的單調性，偶函數在[a, b]和[-b, -a]上有相反的單調性. 2.函數奇偶性的應用 三、函數圖像的對稱性 根據函數圖像的對稱性，可以建立兩個不同方面的問題之間的聯系，實現解題的突破. 1.對稱性可以看作奇偶性的推廣 2.函數對稱性的應用 四、函數的周期性 利用函數的周期性可以把一個未知函數的其它性質在一個周期內研究，從而達到窺一斑而見整豹的目的. 1.對周期性的理解 (1)若f (x+a)=f (x+b)，則該函數具有周期性； (2)若函數有兩個對稱中心，則該函數具有周期性； (3)若函數有兩條與y軸平行的對稱軸，則該函數具有周期性； (4)若函數有一條與y軸平行的對稱軸和一個對稱中心，則該函數具有周期性. 2.函數周期性的應用
五、總結 本文主要綜述了高中函數最重要的幾個性質及應用，此外對于函數的性質，以下解題經驗也請同學們掌握： 1．判斷函數的奇偶性時，應首先該判斷函數定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件． 2．判斷函數f(x)是奇函數，必須對定義域內的每一個x，均有f(-x) = -f(x)，而不能說存在x0使f(-x0) = -f(x0)．對于偶函數的判斷，同樣如此． 3.在解決函數性質有關的問題中，若結合函數的性質畫出函數的簡圖，根據簡圖進一步研究函數的性質則可使抽象問題變得直觀形象、復雜問題變得簡單明了，這對問題的解決有很大的幫助.畫函數草圖的步驟為：由已知條件確定特殊點的位置，然后利用單調性確定一段區(qū)間的圖像，再利用奇偶性確定對稱區(qū)間的圖像，最后利用周期性確定函數在整個定義域內的圖像. 高考中經常綜合運用函數的各個性質分析解決問題，希望同學們多多練習，熟練掌握. |
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來自： troublebux7dsr > 《數學》
