數(shù)學——在大多數(shù)人心目中，都是完美的、融洽的、毫無漏洞的；當然對某些人來說，也是觸不可及的。

沒錯，在二十世紀前，數(shù)學一直都被認為是自洽的，沒有矛盾的，可是在1931年后，這個認知就被一個定理打破了，它就是大名鼎鼎的——哥德爾不完備性定理。

哥德爾不完備性定理

這就是完整的哥德爾不完備性定理，被譽為二十世紀最偉大的發(fā)現(xiàn)之一，由奧地利裔美國數(shù)學家哥德爾（Goedel，1906-1978）在1931年提出。

該定理的描述其實是說，只要數(shù)學系統(tǒng)包含了初等數(shù)論描述，那么該系統(tǒng)的自洽性和完備性就不可能同時得到滿足。該定理一出就震驚整個科學界，然后一舉粉碎了數(shù)學家們二千多年來統(tǒng)一數(shù)學的愿望，然后魔爪延伸至哲學，甚至物理學。

最為人所知的不可判定命題，當屬歐幾里德第五公設（也叫平行公設），該命題已經(jīng)被證實為不能證明也不能證偽，因為我們假設平行線不相交也是能相容的，在更高級的系統(tǒng)中相容。

歐幾里德第五公設

哥德爾不完備性定理的意義非常深刻，以至于數(shù)學家們感嘆道'上帝是存在的，因為數(shù)學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。'

可有趣的是，我們雖然不能證明這種相容性，但是我們居然能證明'這種相容性無法被證明'。數(shù)學家的語言，可真是形如鬼魅啊。

其實，關于哥德爾不完備性定理的影響，遠遠不止數(shù)學領域，甚至在哲學領域都涉其根本，物理學也遇到了類似的問題，在2016年，霍金在一次演講中，提道哥德爾不完備性定理時：'我們迄今所有的物理學理論，既是不相容的，也是不完備的！'

哥德爾不完備性定理的推導過程，本質(zhì)上都是從一個著名的'說謊者悖論'開始的，該悖論的深刻意義，反映了我們?nèi)祟惖恼Z言在邏輯上的缺陷，或許這就是我們?nèi)祟愓J知的必然缺陷吧！

說謊者悖論

該定理對數(shù)學界來說，是個非常大的災難，因為在我們的數(shù)學系統(tǒng)中，陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了一些不能被證偽，也不能被證明的命題，而且這些命題越來越初等化。

比如這個命題：如果我們用可數(shù)種顏料，對每一個實數(shù)進行染色，那么是否必定存在四個互不相等的數(shù)x、y、z、w，使得他們顏色相同而且滿足等式x+y=z+w？

不可判定的問題

該命題就是不能判定的，因為有人證明了它和連續(xù)統(tǒng)假設等價，而連續(xù)統(tǒng)假設就是不能判定的命題之一。

既然數(shù)學中有了這個魔鬼，那么數(shù)學家是怎么解決的呢？其實數(shù)學家解決不了這個問題，他們只能推開這個“魔鬼”定理，而且是往更高級的系統(tǒng)中推，好比推卸責任一樣。

就如：兩個學生打架了，他們又不想負擔責任怎么辦？于是兩個學生就把責任推給班長，然后班長推給班主任，班主任又推給校長，校長又推給教育局局長……這樣一步步下去，就好似誰都沒有責任了。數(shù)學家對哥德爾不完備性定理的處理方式也是這樣的。

這樣的處理的確很有效，但是誰也不知道，我們的數(shù)學系統(tǒng)中，是否已經(jīng)存在了漏洞，希爾伯特說道：'數(shù)學家把羊趕進圍欄，并保證狼無法進入圍欄內(nèi)，可是數(shù)學家永遠不知道，原來的羊群中，是否已經(jīng)混入了狼！'

喜洋洋灰太郎。。。嘻嘻

要是真有那一天，那很可能就是第四次數(shù)學危機了，數(shù)學家是否能解決危機，我們還不得而知，或許他們都還沒準備好呢！你說呢？