第十一章  多元函數(shù)的微分學

11.1　多元函數(shù)的微分法

理解偏導數(shù)的概念。了解全微分的概念。了解二元函數(shù)可微性、偏導數(shù)存在性、連續(xù)性之間的關系。會求二元函數(shù)的一階、二階偏導數(shù)，會求二元函數(shù)的全微分。掌握復合函數(shù)一階偏導數(shù)的求法。會求由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導數(shù)

11.1.1 偏導數(shù)

定義11.1.1  設二元函數(shù)定義在區(qū)域，且是的內(nèi)點，另?。?sub>，作：

如果              

或                 

存在，則稱其極限值分別是在點對或有偏導數(shù)，記作

 或                   

對于二元函數(shù)來說，偏導數(shù)存在不一定連續(xù)，而連續(xù)函數(shù)也不一定有偏導數(shù)．這與一元函數(shù)的情形（可導必連續(xù)）有些不同．

對于的n元函數(shù)的偏導數(shù)的定義和求法與二元函數(shù)的情形完全相同．一般n元函數(shù)的偏導數(shù)（或）共有n個．

11.1.2  高階偏導數(shù)

定義11.1.2 二元函數(shù)在開區(qū)域內(nèi)任意點存在偏導數(shù)：, 它們作為定義在的二元函數(shù)，若關于和的兩個偏導數(shù)還存在，即             

則稱這些偏導數(shù)是二元函數(shù)的二階偏導數(shù)，用下列記號來表示：

其中符號或表示對二元函數(shù)先求關于的偏導數(shù)，再求關于的偏導數(shù)，它的極限表達式為：

而符號或的表達也類似．并稱和為的二階混合偏導數(shù)．

    一般情況，函數(shù)的n-1階偏導數(shù)的偏導數(shù)稱為的n階偏導數(shù)．我們將二階和二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)．

定理11.1.1  若二元函數(shù)在開區(qū)域存在連續(xù)的二階偏導數(shù)，則對，都有

_.

_{11.1.3 全微分}

  一元函數(shù)在可微，即

其中：是關于的高階無究小，且．函數(shù)在的微分推廣到多元函數(shù)就是全微分．

定義11.1.3  若二元函數(shù)在點的全改變量

可表為               

其中是與和無關的常數(shù)，則稱函數(shù)在點可微，線性主要部分稱為函數(shù)在點的全微分，記為   即．

定理11.1.2 若二元函數(shù)在點可微，則函數(shù)在點存在兩個偏導數(shù)，且

一般說來，n元函數(shù)的全微分具有形式

    我們知道，若在點可微，則

其中是與和無關的常數(shù)，而．由此，有

即

故在點連續(xù)，即可微必連續(xù)．

可微，連續(xù)與偏導數(shù)存在之間的關系：

定理11.1.3  （函數(shù)可微的充分條件）若二元函數(shù)在點的鄰域存在兩個偏導數(shù)，且在點連續(xù)，則函數(shù)在點可微．

11.1.4 復合函數(shù)的微分法

定理11.1.4  若二元函數(shù)在點的鄰域內(nèi)存在連續(xù)的偏導數(shù)，而，可導，則復合函數(shù)（一元函數(shù)）也可導，且

推論 若在點的鄰域內(nèi)存在連續(xù)偏導數(shù)，而，在點存在偏導數(shù)，則復合函數(shù)在點存在偏導數(shù)，且

11.1.5  隱函數(shù)的求導公式

定理11.1.5  設都在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且，，則在上存在函數(shù)使得：

(1)  ;

     (2)  在上連續(xù);

     (3)  在上恒有：

     (4)  若在處連續(xù)，則在可導，且

    對二元隱函數(shù)，設

所確定函數(shù)：的偏導數(shù)存在，將代入原方程得關于的一個恒等式：

    利用復合函數(shù)微分法，將上式兩端分別對求偏導數(shù)得：

于是，只要，就得

    對于由所確定函數(shù)，有同樣的公式：

典型例題：

例11.1.1  求函數(shù)的偏導數(shù)，．

    解 將看作常數(shù)對求導，有

將看作常數(shù)對求導，有 _,

從而                

例11.1.2  求下列函數(shù)對各變量的偏導數(shù)

    (1)     (2)     (3)

    解  (1) ；

         (2) ；

  (3)

           ．

例11.1.3  試證：在不連續(xù)，但兩個偏導數(shù)都存在．

    證  當點沿直線趨于時，有

即極限值隨的變化而變化，故不存在，所以在不連續(xù)．但

從而．

例11.1.4  試證：在(0,0)點兩個偏導數(shù)均不存在．

    證  由偏導數(shù)的定義，有

故不存在，同理 也不存在．

例11.1.5  已知：，試證：．

    證   因為

所以,     

故                        ．

例11.1.6  求函數(shù)在點的全微分．

    解  因為

故               

例11.1.7  證明：函數(shù)

在點(0,0)不可微．                                            

    證   由例11.3.4知：，而

如果在點(0,0)可微，則應有

從而有                  

可是，當時，有

這與是關于的高階無窮小矛盾．從而在點(0,0)不可微．

例11.1.8  設，其中：，計算．

解 由公式(1)，有

．

例11.1.9  設，而，求．

解 因為,,,,，由公式(2)和(3)，得

例11.1.10  已知：具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，且

，試求．

    解  因 ，所以

又由 ，從而

例11.1.11  設，試求．

    解  令，則

  例11.1.12  求下列各隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)．

(1)    已知：，試求；

(2)    已知：，試求．

    解  (1) 將兩邊對求導，并注意到是的函數(shù)，則

故                          

    (2) 將看作的函數(shù)，即，將兩邊對求偏導數(shù),有            

同理，有             

從而                  ．