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寫在前面 臨近期中，最近的幾講會以專題復(fù)習(xí)的形式為主． 眾所周知，“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這條性質(zhì)非常重要，可以用來解決許多題目．但是，我們往往忽略了這條中線將直角三角形分割成了2個等腰三角形，本講就對等腰三角形的分割作進一步研究． 一．分割等腰三角形 例1 過等腰三角形的頂點作一條直線，若分割成的兩個較小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的頂角度數(shù)． 1 分析 顯然，我們要進行分類討論．首先思考過哪個頂點點作直線．設(shè)△ABC中，AB＝AC，我們可以過頂角頂點A作直線，也可以過底角頂點B作直線（過頂點C與過頂點B情況相同），即先初步分成2種情況． 如果是從頂角頂點A出發(fā)，如下圖，有幾種可能呢？ 我們不妨列個表，若△ABD為等腰三角形，則三邊中，考慮到任意兩邊均可相等，有三種情況．在此基礎(chǔ)上，要使△ADC也為等腰三角形，每種情況下又有三種情況，則一共有9種． 同樣，從底角頂點B出發(fā)，也是9種情況，列表如下．即共有18種情況． 同學(xué)們一定會想，18種情況，是不是太復(fù)雜了？事實上，有些情況是不可能的，有些情況是重復(fù)的，我們一一來分析．這里，顯然我們可以根據(jù)“等角對等邊”，利用方程來思考．不妨設(shè)原等腰三角形的兩個底角∠ABC，∠ACB＝x°． 解答 1 （一）、從頂角頂點A出發(fā)，△ABD是等腰三角形 (1)AB＝AD，顯然不可能，此時點D與點C重合，無需再考慮△ADC的情況． (2)AD＝BD， 則∠B＝∠BAD＝x°， ∠ADC＝2x°，要保證△ADC是等腰三角形， AD＝AC顯然不可能， 只剩兩種情況： ①AD＝DC，∠DAC＝x°，4x°＝180°，x＝45，∠BAC＝2x°＝90° ②AC＝DC， ∠DAC＝2x°， 5x°＝180°， x＝36， ∠BAC＝3x°＝108°
(AC＝DC不可能，此時AB＝AC＝BD＝CD，即AB＋AC＝BD＋CD，會出現(xiàn)AB＋AC＝BC的情況，不符合三角形三邊關(guān)系) 解答 2 （二）、從底角頂點B出發(fā)，△ABD是等腰三角形 (1)AB＝AD，同樣不可能，此時點D與點C重合，無需再考慮△BDC的情況． (2)AD＝BD， 則∠A＝∠ABD＝180°－2x°， 要保證△BDC是等腰三角形， BD＝DC顯然不可能， 只剩兩種情況： ①BD＝BC，∠BDC＝360°－4x°，360°－4x°＝x°，x＝72，∠BAC＝180°－2x＝36°
(3)AB＝BD， ∠BDA＝∠A＝180°－2x°， ∠BDC＝2x°， 則BD＝BC，不可能，底角不等； BC＝DC，也不可能， 此時∠DBC＝2x°＞∠ABC
其中，頂角為36°的等腰三角形，底邊長與腰長之比約為0.618，頂角為108°的等腰三角形，腰長與底邊長之比約為0.618，符合黃金分割，因此得名“黃金三角形”!  二．分割任意三角形 例2 如果過一個三角形頂點A的直線可以將△ABC分割成2個等腰三角形，試探究原三角形中兩個角之間的最簡數(shù)量關(guān)系． 1 分析 |
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