一、基本概念

定義1：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量（random variable）。隨機(jī)變量常用字母 X，Y，，，… 表示。

定義2：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量（discrete random variable）。

定義3：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。如某林場(chǎng)樹木最高達(dá)30米，則林場(chǎng)樹木的高度是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以?。?，30]內(nèi)的一切值。

若是隨機(jī)變量，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量并且不改變其屬性（離散型、連續(xù)型）。

二、離散型隨機(jī)變量的分布列

1、分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1，x2，…，xi，…，

X取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為，則列表

為隨機(jī)變量X的概率分布，簡(jiǎn)稱X的分布列。

2、分布列的兩個(gè)性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足：，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1。由此可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：

（1）Pi≥0，i＝1，2，…；

（2）P1+P2+…=1．

對(duì)于離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和，即

3、兩點(diǎn)分布列:

像上面這樣的分布列稱為兩點(diǎn)分布列。兩點(diǎn)分布列的應(yīng)用非常廣泛．如抽取的彩券是否中獎(jiǎng)；買回的一件產(chǎn)品是否為正品；新生嬰兒的性別；投籃是否命中等，都可以用兩點(diǎn)分布列來研究．如果隨機(jī)變量X的分布列為兩點(diǎn)分布列，就稱X服從兩點(diǎn)分布，而稱=P (X = 1）為成功概率。

4、超幾何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有X件次品數(shù)，則事件 {X=k｝發(fā)生的概率為

,

其中，且．稱分布列

為超幾何分布列。如果隨機(jī)變量 X 的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。

三、隨機(jī)變量的概念和意義的運(yùn)用

例1、寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。

（1）一袋中裝有5個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為1，2，3，4，5?，F(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3個(gè)球，被取出的球的最大號(hào)碼數(shù)X；

（2）某單位的某部電話在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)η。

解：（1）X可取3，4，5。

X=3，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，3；

X=4，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，4或1，3，4或2，3，4；

X=5，表示取出的3個(gè)球的編號(hào)為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5。

（2）η可取0，1，…,n，…。

η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…。

四、離散型隨機(jī)變量的分布列的簡(jiǎn)單運(yùn)用

例2、在含有5件次品的100件產(chǎn)品中，任取3件，試求：

（1）取到的次品數(shù)X的分布列；

（2）至少取到1件次品的概率。

分析：分布列的求解問題的解題步驟如下：

（1）首先確定變量的取值情況xi。

（2）結(jié)合概率的知識(shí)來表示各個(gè)取值的概率P(=xi)=Pi，這一步是關(guān)鍵。

（3）列出表格的形式，并驗(yàn)證概率和是否為1。

首先分析取到次品數(shù)的情況有0，1，2，3四種情況，然后轉(zhuǎn)化為求各種情況下概率的問題，結(jié)合組合數(shù)公式準(zhǔn)確表示出概率值，然后列為表格形式即可。

解：（1）由于從100件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果數(shù)為，從100件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的結(jié)果數(shù)為，那么從100件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件次品的概率為。

所以隨機(jī)變量X的分布列是

（2）根據(jù)隨機(jī)變量X 的分布列，可得至少取到1件次品的概率

P ( X≥1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )

≈0.13806 + 0.00588 + 0.00006

= 0. 14400。

例3、一盒中放有大小相同的紅色、綠色、黃色三種小球，已知紅球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的兩倍，黃球個(gè)數(shù)是綠球個(gè)數(shù)的一半。現(xiàn)從該盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出紅球得1分，取出黃球得0分，取出綠球得－1分，試寫出從該盒中取出一球所得分?jǐn)?shù)X的分布列。

分析：欲寫出X的分布列，要先求出X的所有取值，以及X取每一個(gè)值時(shí)的概率．在寫出X的分布列后，要及時(shí)檢查所有的概率之和是否為1。

解：設(shè)黃球的個(gè)數(shù)為n，由題意知

綠球個(gè)數(shù)為2n，紅球個(gè)數(shù)為4n，盒中的總球數(shù)為7n．

∴，，．

所以從該盒中隨機(jī)取出一球所得分?jǐn)?shù)X的分布列為

例4、在某年級(jí)的聯(lián)歡會(huì)上設(shè)計(jì)了一個(gè)摸獎(jiǎng)游戲，在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球和20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同．一次從中摸出5個(gè)球，至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng)．求中獎(jiǎng)的概率．

分析：理解超幾何分布列的概念，并能結(jié)合分布列中n=k的公式來計(jì)算各個(gè)概率值。

首先分析題意，我們得到摸出紅球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布，然后結(jié)合公式進(jìn)行計(jì)算。

解：設(shè)摸出紅球的個(gè)數(shù)為X，則X服從超幾何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5．于是中獎(jiǎng)的概率

P (X≥3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 ）+P ( X = 5 )

=≈0.191。

例5、某射手射擊所得的環(huán)數(shù)X的分布列如下：

求此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．

分析：研究離散型隨機(jī)變量在某范圍內(nèi)的概率，就是把該范圍內(nèi)各個(gè)概率值求和?！吧鋼粢淮蚊协h(huán)數(shù)≥7”是指互斥事件“X＝7”、“X＝8”、“X＝9”、“X＝10”的和，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)≥7”的概率．

解：根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)X的分布列，有

P(X=7)＝0.09，P(X=8)＝0.28，P(X=9)＝0.29，P(X=10)＝0.22。

所求的概率為P(X≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88

例6、在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：不放回抽樣時(shí)，抽到次品數(shù)的分布列。

分析：求離散型隨機(jī)變量分布列要注意兩個(gè)問題：一是求出隨機(jī)變量所有可能的值；二是求出取每一個(gè)值時(shí)的概率。隨機(jī)變量可以取0，1，2，可以取0，1，2，3，有放回抽樣和不放回抽樣對(duì)隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析。

解：，，

，

所以的分布列為