微積分(Calculus)是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分(Differentiation)、積分(Integration)以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科，內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。

    公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問(wèn)題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。

    微積分思想雖然可追溯古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開(kāi)普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的《夢(mèng)溪筆談》獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開(kāi)創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。 南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶于1274年撰寫了劃時(shí)代巨著《數(shù)書九章》十八卷，創(chuàng)舉世聞名的“大衍求一術(shù)”——增乘開(kāi)方法解任意次數(shù)字(高次)方程近似解，比西方早500多年。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開(kāi)方作法本源圖”和增乘開(kāi)方法、“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”、“大衍求一術(shù)”、“大衍總數(shù)術(shù)”(一次同余式組解法)、“垛積術(shù)”(高階等差級(jí)數(shù)求和)、“招差術(shù)”(高次差內(nèi)差法)、“天元術(shù)”(數(shù)字高次方程一般解法)、"四元術(shù)"(四元高次方程組解法)、勾股數(shù)學(xué)、弧矢割圓術(shù)、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算技術(shù)改革和珠算等都是在世界數(shù)學(xué)史上有重要地位的杰出成果，中國(guó)古代數(shù)學(xué)有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創(chuàng)立的關(guān)鍵。 中國(guó)已具備了17世紀(jì)發(fā)明微積分前夕的全部?jī)?nèi)在條件，已經(jīng)接近了微積分的大門。可惜中國(guó)元朝以后，八股取士制造成了學(xué)術(shù)上的大倒退，封建統(tǒng)治的文化專制和盲目排外致使包括數(shù)學(xué)在內(nèi)的科學(xué)日漸衰落，在微積分創(chuàng)立的最關(guān)鍵一步落伍了。

    到了十七世紀(jì)，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，這些問(wèn)題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素。歸結(jié)起來(lái)，大約有四種主要類型的問(wèn)題：第一類是研究運(yùn)動(dòng)的時(shí)候直接出現(xiàn)的，也就是求即時(shí)速度的問(wèn)題。第二類問(wèn)題是求曲線的切線的問(wèn)題。第三類問(wèn)題是求函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題。第四類問(wèn)題是求曲線長(zhǎng)、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個(gè)體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力。數(shù)學(xué)首先從對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究中引出了一個(gè)基本概念，在那以后的二百年里，這個(gè)概念在幾乎所有的工作中占中心位置，這就是函數(shù)--或變量間關(guān)系--的概念。緊接著函數(shù)概念的采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼Euclid幾何之后，全部數(shù)學(xué)中的一個(gè)最大的創(chuàng)造。圍繞著解決上述四個(gè)核心的科學(xué)問(wèn)題，十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家作了大量的研究工作，如法國(guó)的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國(guó)的巴羅、沃利斯；德國(guó)的開(kāi)普勒；意大利的卡瓦列里等人都提出許多很有建樹(shù)的理論，為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn)。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國(guó)大科學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國(guó)度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績(jī)是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問(wèn)題聯(lián)系在一起，一個(gè)是切線問(wèn)題，一個(gè)是求積問(wèn)題。牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此這門學(xué)科早期也稱為無(wú)窮小分析，這正是數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來(lái)源。牛頓研究微積分著重于從運(yùn)動(dòng)學(xué)來(lái)考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來(lái)考慮的。但他們的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，因此尚缺乏嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)。直到19世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首，對(duì)微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究，建立了極限理論，后來(lái)又經(jīng)過(guò)德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)。

    微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出了開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展，特別是機(jī)械、土木、建筑、航空及航海等工業(yè)工程都以微積分學(xué)作為基本數(shù)學(xué)工具。
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