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帕特農(nóng)神廟和達(dá)芬奇的畫(huà)讓人愉悅的秘訣是什么?是數(shù)學(xué)?。烫煨聦?zhuān)欄

 生清凈心不 2017-10-14


——(美國(guó))喬治·伽莫夫

 

黃金分割和黃金矩形

黃金分割是指將整體一分為二,使得較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值。這個(gè)比值約為0.618。這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例,稱(chēng)為黃金分割比或黃金分割率(golden ratio)。


如果用線(xiàn)段表示的話(huà),就是把一條線(xiàn)段AB分割為兩部分,如下

使得較長(zhǎng)部分AC與全長(zhǎng)AB的比值等于較短部分CB與較長(zhǎng)部分AC的比值,即

設(shè)AC=a,CB=b ,則得a2 =b(a+b。經(jīng)過(guò)移項(xiàng)配方,可得

           

開(kāi)方再合并同類(lèi)項(xiàng),即得b與a的比值為

當(dāng)線(xiàn)段a和b滿(mǎn)足上述比例關(guān)系時(shí),C點(diǎn)被稱(chēng)為黃金分割點(diǎn)。


除了黃金分割,還有黃金矩形,即短邊與長(zhǎng)邊之比為 0.618的矩形。黃金分割和黃金矩形都能夠給畫(huà)面帶來(lái)美感,令人愉悅。在很多藝術(shù)品和大自然中都能找到它,希臘雅典的帕特農(nóng)神廟就是一個(gè)很好的例子,意大利畫(huà)家達(dá)·芬奇畫(huà)中人物的臉往往也符合黃金矩形。


任給一個(gè)線(xiàn)段,如何在它的延長(zhǎng)線(xiàn)上分割出黃金分割比呢?古希臘人的方法是先做出一個(gè)黃金矩形,那樣黃金分割比也就自然而然地作出來(lái)了:如圖,先作一個(gè)邊長(zhǎng)為 1 的正方形ABCD,連結(jié)上下兩組對(duì)邊的中點(diǎn)E與F,這樣就把正方形左右均分。



然后以F點(diǎn)為圓心,F(xiàn)C長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧,交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G點(diǎn)。再過(guò)G點(diǎn)作垂線(xiàn),交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H點(diǎn),則四邊形ABHG即為黃金矩形。這是因?yàn)?,由畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)可得

故而該矩形的寬與長(zhǎng)的比為:


此時(shí)在線(xiàn)段AG上,D點(diǎn)就是黃金分割點(diǎn)。

 

五角星與正五邊形 

我們說(shuō)的五角星是指正五角星(pentagram),它是由五條相同的直線(xiàn)畫(huà)成的星形圖案。如圖,五角星的每個(gè)角是36度,而每條邊(直線(xiàn))對(duì)應(yīng)的圓心角是108度。

圖片來(lái)源:Pentagram|Wikipedia


五角星可能最早出現(xiàn)在兩河流域的美索不達(dá)米亞。在蘇美爾人的象形語(yǔ)言中,五角星作為一種字符,表示墻角、隱蔽處、小房間、空洞、陷阱等意思;而到了巴比倫時(shí)代,又有了占星術(shù)的含義,五角星代表了五個(gè)星球:木星、水星、火星、土星和“天堂的皇后”


——金星伊斯塔


一直以來(lái),五角星都與人類(lèi)對(duì)金星的崇拜有密切關(guān)系。造成這一關(guān)系的各種可能的原因里,最可信的是古代天文學(xué)家的觀(guān)察——由地球望出去,圍繞太陽(yáng)的金星軌道形成的5個(gè)交叉點(diǎn)近乎于完美的五角星。


在太陽(yáng)系的八大行星里,地球是距離太陽(yáng)第三近的行星,而金星是距離太陽(yáng)第二近的。金星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)周期約224.71地球日,這個(gè)數(shù)字與地球公轉(zhuǎn)周期365.26的比值接近于黃金分割率。事實(shí)上,地球每繞太陽(yáng)8圈,差不多相當(dāng)于金星繞太陽(yáng)13圈,而8和13是兩個(gè)相鄰的斐波那契數(shù)(第6項(xiàng)和第7項(xiàng))。


由五角星可以得到正五邊形,這只要把5個(gè)頂點(diǎn)連接起來(lái)或把5個(gè)伸展出來(lái)的三角形去掉就可以了。反之,有了正五邊形之后,讓5條邊延長(zhǎng),相鄰而不相接的兩邊相交之后,連同原先的正五邊形,就構(gòu)成了一個(gè)大的五角星。有意思的是,美麗的牽牛花外形是正五邊形,而花蕊內(nèi)側(cè)邊形成的圖案恰好是五角星形。


可以證明,五角星(或正五邊形)中也存在著黃金分割比,且錯(cuò)綜復(fù)雜。舉例來(lái)說(shuō),任取五角星所包含的那個(gè)正五邊形的一個(gè)頂點(diǎn),它與五角星最近的尖點(diǎn)的距離,與它到這兩點(diǎn)連線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)上的另一尖點(diǎn)的距離的比值,恰好是黃金分割率,即0.618…


五角星是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的徽記,據(jù)說(shuō)學(xué)員們身上都佩戴這樣的徽記。由此可見(jiàn),畢達(dá)哥拉斯和他的弟子們很可能已經(jīng)知道黃金分割比了。事實(shí)上,畢氏生活的年代要比帕特農(nóng)神廟的興建要早,這就合乎情理了。順便提一下,假如是六角星的話(huà),上述比值為0.333…。


傳說(shuō)公元前6世紀(jì)的一天,畢達(dá)哥拉斯走過(guò)一個(gè)鐵匠鋪時(shí),聽(tīng)到鐵匠打鐵的聲音很好聽(tīng),便駐足傾聽(tīng)。畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)聲音高低與鐵錘的重量有關(guān),于是,他比較了不同重量的鐵錘發(fā)出不同諧音之間的比例關(guān)系,從而測(cè)定了各種音調(diào)的數(shù)學(xué)關(guān)系,這可能是他后來(lái)探究黃金分割比的開(kāi)始。


在發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)中的數(shù)字比例之后,畢達(dá)哥拉斯進(jìn)一步提出了“萬(wàn)物皆數(shù)”,這是他“宇宙和諧論”的主要論點(diǎn),后來(lái)被柏拉圖所繼承。以倡導(dǎo)宇宙起源于“大爆炸”理論聞名的俄裔美國(guó)物理學(xué)家喬治·伽莫夫曾經(jīng)贊嘆:“發(fā)現(xiàn)音樂(lè)與數(shù)字比例之間的秘密,這大概是物理學(xué)定律的第一次數(shù)學(xué)公式表達(dá),也完全可以認(rèn)為是理論物理邁出的第一步?!?/span>


因?yàn)辄S金分割率是無(wú)理數(shù),不能表示成兩個(gè)正整數(shù)的比值,要精確地畫(huà)出五角星,徒手或只用直尺是不可能的。在一些非正式的圖形中,不精確的五角星反而給人輕松的感覺(jué),但是在國(guó)旗、國(guó)徽或其他正式場(chǎng)合,五角星必須是完全精確的,這就需要借助工具——圓規(guī)和直尺(可以沒(méi)有刻度),稱(chēng)為尺規(guī)作圖法,又叫歐幾里得作圖法。


五角星有不同的作圖法,下面的這個(gè)方法比較簡(jiǎn)練,但完全理解仍需要?jiǎng)有┠X筋,可以準(zhǔn)備紙筆來(lái)實(shí)際操作(當(dāng)然也不妨先行跳過(guò)):

1、以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑作圓;

2、過(guò)點(diǎn)A作OA的垂線(xiàn)AB,使得AB = OA/2;

3、連結(jié)OB,在OB上截取BC = AB;

4、以O(shè)C為半徑,A為起點(diǎn),在圓O上依次截取長(zhǎng)為AD的十段弧,連結(jié)成一個(gè)正十邊形;

5、依次間隔一點(diǎn)連結(jié)成正五邊形;

6、連結(jié)正五邊形的對(duì)角線(xiàn),即得五角星。


1796年,不滿(mǎn)19歲的德國(guó)青年高斯證明了,上述作圖法可以推廣,并發(fā)現(xiàn)了它與著名的費(fèi)爾馬素?cái)?shù)之間的秘密關(guān)系。特別地,高斯給出了正十七邊形的歐幾里得作圖法(17是費(fèi)爾馬素?cái)?shù)),解決了兩千多年前古希臘人留下的數(shù)學(xué)難題。從那以后,他便下決心獻(xiàn)身數(shù)學(xué),后來(lái)成為同行贊譽(yù)的“數(shù)學(xué)王子”。不過(guò),正十七邊形再也不與黃金分割率有關(guān)。


下一個(gè)完美數(shù)會(huì)以8結(jié)尾嗎?

帕特農(nóng)神廟(Parthenon)建成于公元前477年至前432年,它坐落在希臘首都雅典衛(wèi)城的最高點(diǎn)上,是為了慶祝雅典戰(zhàn)勝波斯而建。一般認(rèn)為,帕特農(nóng)是雅典保護(hù)神雅典娜的別號(hào),意為“處女”。這座神廟歷經(jīng)兩千五百多年的滄桑巨變,如今廟頂已坍塌,雕像蕩然無(wú)存,浮雕剝蝕嚴(yán)重,但從巍然屹立的柱廊中,還能看出神廟當(dāng)年的豐姿,可以說(shuō)她代表了古希臘建筑和雕刻藝術(shù)的最高水準(zhǔn)。


帕特農(nóng)神廟。圖片來(lái)源:The Parthenon|Wikipedia

 

我曾于1999年夏天前往參觀(guān)。從殘存的遺跡來(lái)看,帕特農(nóng)神廟氣宇非凡。它在繼承傳統(tǒng)的基礎(chǔ)上又有許多創(chuàng)新。


根據(jù)現(xiàn)代還原圖推算,神廟的南北長(zhǎng),東西短,東西兩面各寬31米,頂部距離地面19米。也就是說(shuō),其立面高與寬的比例為19比31,接近古希臘人喜愛(ài)的“黃金分割比”。廟內(nèi)原先還有一尊黃金和象牙鑲嵌的雅典娜女神像,由著名雕塑家菲迪亞斯制作,神像身材的比例也符合黃金分割比。


值得一提的是,肇始于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的完美數(shù)問(wèn)題是歷史最悠久的數(shù)學(xué)難題,完美數(shù)的定義是,它們每一個(gè)的真因子之和等于自身。


通過(guò)積木演示完美數(shù)6,白色矩形代表1,紅色矩形代表2,淺綠色矩形代表3,深綠色矩形代表6。圖片來(lái)源:Perfect number|Wikipedia


迄今為止,哪怕是借助最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)聯(lián)網(wǎng),也只找到49個(gè)完美數(shù),其中最初的4個(gè):6, 28, 496, 8128是古希臘人發(fā)現(xiàn)的。曾經(jīng)有人猜測(cè)完美數(shù)交替以數(shù)字6和8結(jié)尾,但后來(lái)被否定了。在已發(fā)現(xiàn)的49個(gè)完美數(shù)里,有19個(gè)以6結(jié)尾,30個(gè)以8結(jié)尾。寫(xiě)到這里,我想問(wèn),下一個(gè)(第50個(gè))完美數(shù)會(huì)以8結(jié)尾嗎?要是那樣,它們之間的比值也恰好是19比31。


在帕特農(nóng)神廟建成一個(gè)世紀(jì)以后,哲學(xué)家柏拉圖在他的著作《蒂邁歐篇》里提到了5種僅有的正多面體,即正四面體、正六面體(正方體)、正八面體、正十二面體和正二十面體,世人稱(chēng)之為“柏拉圖多面體”。不過(guò)也有人認(rèn)為,它們并非柏拉圖本人所發(fā)現(xiàn)。


公元前3世紀(jì),希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》里第一次給出了黃金分割的嚴(yán)格定義,他稱(chēng)之為“中外比”。此書(shū)共13章,這個(gè)定義出現(xiàn)在第6章,而在后面歐幾里得講述正十二面體和正二十面體構(gòu)成時(shí),反復(fù)利用了“中外比”及其相關(guān)性質(zhì)。


之后,中世紀(jì)歐洲最著名的數(shù)學(xué)家、意大利人斐波那契在他的《算盤(pán)書(shū)》提出了“兔子問(wèn)題”,被稱(chēng)為斐波那契序列。如圖前文所說(shuō),這個(gè)序列的前兩項(xiàng)均為1,從第三項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)的和,即

。


更為有趣的是,前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值的極限趨向于黃金分割率。即

      

不過(guò),這一事實(shí)要等到四個(gè)世紀(jì)以后的1611年,才由德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒指出。他還從柏拉圖多面體獲得啟示,相信天體的運(yùn)行軌跡應(yīng)是幾何圖形,由此提出了行星運(yùn)動(dòng)三大定律。至于這個(gè)極限的證明,至晚在19世紀(jì),由法國(guó)數(shù)學(xué)家比內(nèi)給出,他利用以他名字命名的以表示的F的通項(xiàng)公式推出。


1909年,美國(guó)數(shù)學(xué)家馬克·巴爾建議,用雕塑家菲迪亞斯(Phidias)的第一個(gè)希臘字母phi的小寫(xiě)字母來(lái)表示黃金分割率,后來(lái)逐漸形成了慣例。除此以外,人們還用phi的大寫(xiě)字母來(lái)表示黃金分割率的倒數(shù)1.618…


除了古典藝術(shù)以外,黃金分割比在20世紀(jì)的藝術(shù)里也有應(yīng)用,1912年的巴黎曾有過(guò)黃金分割畫(huà)派的展覽,參加的有后來(lái)移居美國(guó)的法國(guó)畫(huà)家馬塞爾·杜桑。在西班牙畫(huà)家薩爾瓦多·達(dá)利和瑞士建筑師勒·科比西埃的作品里,也都有使用黃金分割的元素。1953年,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家杰克·基弗提出了優(yōu)選學(xué)中的黃金分割法,70年代曾被中國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚加以推廣。




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