乍一看標題，大家是不是覺得“動態(tài)規(guī)劃”這四個字組合在一起有點眼熟？似乎哪會兒學過來著……但是吧，細細一琢磨，又忘了它具體是什么、怎么用、用來解決哪些問題了。

    莫方，小編出現(xiàn)就是為了解決大家一切在學（zhuang）習（bi）上的需求的。動態(tài)規(guī)劃忘了是吧，那今天小編就陪你好好回憶一下。

    簡單來說，Travelling Salesman Problem (TSP) 是最基本的路線問題。它尋求的是旅行者由起點出發(fā)，通過所有給定的需求點后，再次返回起點所花費的最小路徑成本，也叫旅行商問題、旅行推銷員問題、貨郎擔問題……

    當然，如果你非要把TSP理解成“內(nèi)容服務提供者”（Telematics Service Provider）小編也不會打你……計算機網(wǎng)絡學得不錯啊，四級過了嗎？

    說完TSP問題，咱們再來聊聊什么是動態(tài)規(guī)劃。

    動態(tài)規(guī)劃算法（Dynamic Programming，簡稱DP）通常用于求解具有某種最優(yōu)性質(zhì)的問題，其基本思想是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后由這些子問題的解再得到原問題的解。

    看到這里想必你已經(jīng)明白了，動態(tài)規(guī)劃恰是一種求解TSP問題的好方法，具體如何求解，我們可以舉例實操一下。

    假設現(xiàn)在有四個城市，它們分別是0，1，2，3，他們之間往來的代價如下圖所示：

    為了方便起見，我們把它化成二維表的形式：

    好了這里要敲黑板劃橫線了！現(xiàn)在，我們要從城市0出發(fā)，期間1，2，3每個城市都必須經(jīng)過并且只能經(jīng)過一次，最后回到0，使得路上花費的代價最小。請問你要怎么走？

     事實上，這是一個最基本的TSP問題，且構(gòu)成最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，所以可以使用動態(tài)規(guī)劃求解，下面來驗證一下此方法求解的可行性。

    設 s，s1，s2…s為滿足題意的最短回路。假設從s到s1的路徑已經(jīng)確定，則問題轉(zhuǎn)化為從s1到s的最短路徑問題。而很顯然，s1，s2…s一定可以構(gòu)成一條最短路徑，所以構(gòu)成最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)，可以用動態(tài)規(guī)劃求解。

    明確問題可解，那下一步就是列方程求解了。

    把公式一套，題就解了。是不是很簡單？但是，小編還有更簡單的方法。

    其實，絕大部分TSP問題都比例子中復雜許多，用程序求解是更好的選擇。在這里小編給大家提供一種較為簡單的方法，只要把動態(tài)規(guī)劃算法原理掌握好了，代碼自然就不難理解了。

   所謂狀態(tài)壓縮，就是利用二進制以及位運算來實現(xiàn)對于本來應該很大的數(shù)組的操作。而求解動態(tài)規(guī)劃問題，很重要的一環(huán)就是狀態(tài)的表示，一般來說，一個數(shù)組即可保存狀態(tài)。但是有這樣的一些題目，它們具有DP問題的特性，但是狀態(tài)中所包含的信息過多，如果要用數(shù)組來保存狀態(tài)的話需要四維以上的數(shù)組。于是，我們就需要通過狀態(tài)壓縮來保存狀態(tài)，而使用狀態(tài)壓縮來保存狀態(tài)的DP就叫做狀態(tài)壓縮DP。

    例題TSP的動態(tài)規(guī)劃方程中，V’ 是一個集合，而對于集合的狀態(tài)表示最簡單的辦法就是利用C++中STL里的set，但是這個時候就要考慮一個問題，在代碼實現(xiàn)的時候，我們不能用一個集合去做一個數(shù)組的下標。自然而然，我們想到可以利用集合的特征值，但這個方法很復雜，而且不容易實現(xiàn)。

    小編在這里給大家普及一下位運算的知識。最簡單的與（and），或 ( or )，非 ( not )， 大家都很熟悉，和邏輯電路是相通的。而對于異或 ( xor ), 則是很有趣的一種位運算，它的運算規(guī)則是相同為 0，不同為 1。例如： 

1 xor 1 = 0，0 xor 0 = 0，

1 xor 0 = 1，0 xor 1 = 1；

    它的運算滿足交換律以及結(jié)合律。除此之外，xor 還有很多神奇的操作，有興趣的同學可以自己去查閱。

    再復雜一點的有左移 ( shl )， 右移 ( shr )，相當于對于二進制數(shù)的位置移動。例如10001(2) shl 1，就是10001(2)左移一位，變成了100010(2)，換算成十進制，相當于擴大了 2 倍，同理右移則是縮減兩倍。那么對于任意的一個二進制數(shù)，左移 k 位就是乘 2k, 右移就是整除 2k 。

    |||| 小貼士：

在C++中，位運算操作符分別是：

與 &，或 |，非 ~，異或 ^，

左移 ，右移 >>

   推到動態(tài)規(guī)劃方程時，我們注意到 V’ 是一個數(shù)的集合，而且解決的問題規(guī)模比較小，于是可以用一個二進制數(shù)來存儲這個集合。簡單來說就是——如果城市 k 在集合 V’ 中，那么存儲集合的變量 i 的第 k 位就為 1，否則為 0。由于有 n 個城市，所有的狀態(tài)總數(shù)我們用 M 來表示，那么很明顯：M = 2^n，而 0 到 2^n -1 的所有整數(shù)則構(gòu)成了 V’ 的所有狀態(tài)。這樣，結(jié)合位運算，動歸方程的狀態(tài)表示就很容易了。

    還有兩樣你需要準備的東西，那就是城市數(shù)據(jù)文件和編譯軟件。代碼中使用的城市數(shù)據(jù)文件可以有兩種保存格式：一種是上例提到的矩陣式，也可以是 “城市名 城市X坐標 城市Y坐標” 式。大家可以根據(jù)實際情況自行調(diào)整。

    至于編譯軟件，小編在這里給大家提供的是C++代碼，用你用得最順手的編譯器就可以了。小編在這里強烈推薦DEV-CPP！體積小，編譯方便，代碼還很美觀。

    好了不啰嗦了，上代碼~