第一章    有理數(shù)

①我們知道，像3,1.8％，3.5這樣大于0的數(shù)叫做正數(shù)。像-3， -2.7％，-4.5，-1.2這樣在正數(shù)前加上符號(hào)“-”（負(fù)）的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。有時(shí)，為了明確表達(dá)意義，在正數(shù)前面也加上“ ”（正）號(hào)。例如， 3， 2， 0.5， ，…就是3，2, 0.5，…。一個(gè)數(shù)前面的“ ”“-”號(hào)叫做它的符號(hào)。

②0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

③中國(guó)古代用算籌（表示數(shù)的工具）進(jìn)行計(jì)算，紅色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負(fù)數(shù)。

④把0以外的數(shù)分為正數(shù)和負(fù)數(shù)，它們表示具有相反意義的量。隨著對(duì)正數(shù)、負(fù)數(shù)意義認(rèn)識(shí)的加深，正數(shù)和負(fù)數(shù)在實(shí)踐中得到了廣泛應(yīng)用。在地形圖上表示某地的高度時(shí)，需要以海平面為基準(zhǔn)（規(guī)定海平面的海拔高度為0m），通常用正數(shù)表示高于海平面的某地某地的海拔高度，用負(fù)數(shù)表示低于海平面的某地的海拔高度。例如，珠穆朗瑪峰的海拔高度為8844.43m。吐魯番盆地的海拔高度為-155m。記賬時(shí)，通常用正數(shù)表示收入款額，用負(fù)數(shù)表示支出款額。

⑤0是正數(shù)與分?jǐn)?shù)的分界。0℃是一個(gè)確定的溫度，海拔0m表示海平面的平均高度。0的意義已不僅是表示“沒(méi)有”。

①我們學(xué)過(guò)的數(shù)有：

正整數(shù)，如1，2,3，…；

零，0；

負(fù)整數(shù)，如-1，-2，-3，…；

正分?jǐn)?shù)，如，，，0.1,5.32，…；

負(fù)分?jǐn)?shù)，如-0.5，-，-，-，-150.25，…。

②正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為分?jǐn)?shù)。

③整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)（rational  numbe）。

④從小學(xué)開(kāi)始，我們首先認(rèn)識(shí)了正整數(shù)，后來(lái)又增加了0和正分?jǐn)?shù)，在認(rèn)識(shí)了負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)后，對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)就擴(kuò)充到了有理數(shù)范圍。

①在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線(xiàn)上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線(xiàn)叫做數(shù)軸（number  axis），它滿(mǎn)足以下要求：

⑴在直線(xiàn)上任取一個(gè)點(diǎn)表示數(shù)0，這個(gè)點(diǎn)叫做原點(diǎn)（origin）；

⑵通常規(guī)定直線(xiàn)上從原點(diǎn)向右（或上）為正方向，從原點(diǎn)向左（或下）為負(fù)方向；

⑶0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)；原點(diǎn)是數(shù)軸的“基準(zhǔn)點(diǎn)”。

舉個(gè)數(shù)軸的栗子：

溫馨提示：數(shù)軸上也可以是分?jǐn)?shù)，小數(shù)！

負(fù)數(shù)在數(shù)軸上：從原點(diǎn)向左

正數(shù)在數(shù)軸上：從原點(diǎn)向右（注意原點(diǎn)是0）

歸納（填空題，自己填著做）：                   一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)在原點(diǎn)的（ ）

邊，與原點(diǎn)的距離是（   ）個(gè)單位長(zhǎng)度；表示數(shù)－a的點(diǎn)在原點(diǎn)的（）邊，與原點(diǎn)的距離是（   ）個(gè)單位長(zhǎng)度。

歸納：一般地，設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離是a的點(diǎn)有兩個(gè)，它們分別在原點(diǎn)左右，表示-a和a，我們說(shuō)這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

①像2和-2,5和-5這樣，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)（opposite  number）。這就是說(shuō)，2的相反數(shù)是-2，-2的相反數(shù)是2；5的相反數(shù)是-5，-5的相反數(shù)是5.

②一般地，a和-a互為相反數(shù)。特別的，0的相反數(shù)是0。這里，a

表示任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0。

例如：

當(dāng)a＝1時(shí)，-a＝-1,1的相反數(shù)是-1；同時(shí)，-1的相反數(shù)是1。

①一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值 （absolute  value），記作▕ a ▏。這里的數(shù)a可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0。

②由絕對(duì)值的定義可知：

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0。即

⑴如果a＞0，那么▕ a ▏＝a；

⑵如果a＝0，那么▕ a ▏＝0；

⑶如果a＜0，那么▕ a ▏＝-a。

③數(shù)學(xué)中規(guī)定：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。

④一般地，

⑴正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；

⑵兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

例如（填空題，自己填著做）：

1＿0,0＿-1,1＿-1，-1＿-2。

⑤異號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負(fù)；同號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對(duì)值。

① 同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。

②絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0.

③ 一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

溫馨提示：計(jì)算時(shí)，先定符號(hào)，再算絕對(duì)值！

有理數(shù)加法法則

有理數(shù)的加法中同樣也適用加法交換律、結(jié)合律！

有理數(shù)的加法中，兩個(gè)數(shù)相加，交換數(shù)的位置，和不變。

加法交換律：a b＝b a

有理數(shù)的加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，和不變。

加法結(jié)合律：（a b） c＝a（b c）

有理數(shù)減法法則

減去一個(gè)數(shù)，等于加這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。

有理數(shù)減法法則也可以表示成：a-b＝a （-b）

有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中引入相反數(shù)后，加減混合運(yùn)算可以統(tǒng)一為加法運(yùn)算：a b-c＝a b （-c）

歸納：

正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負(fù)數(shù)，積是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)乘正數(shù)，積也是負(fù)數(shù)。積的絕對(duì)值等于各乘數(shù)絕對(duì)值的積。

歸納：

負(fù)數(shù)乘負(fù)數(shù)，積為正數(shù)，乘積的絕對(duì)值等于各乘數(shù)絕對(duì)值的積。

①一般地，我們有有理數(shù)乘法法則：

⑴兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘 。                     ⑵任何數(shù)與0相乘，都得0。         

②有理數(shù)相乘，可以先確定積的符號(hào)，再確定積的絕對(duì)值。

③要得到一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要將它乘-1.

④乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

溫馨提示：多個(gè)有理數(shù)相乘，可以把它們按順序相乘！

歸納：

幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。

有理數(shù)乘法也同樣適用乘法交換律、結(jié)合律與分配律.。

⑤一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。

乘法交換律：ab＝ba

⑥一般地，有理數(shù)乘法中，三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。

乘法結(jié)合律：（ab）c＝a（bc）

⑦a×b也可以寫(xiě)為a·b或ab。當(dāng)用字母表示乘數(shù)時(shí)，“×”號(hào)可以寫(xiě)為“·”或省略。

⑧一般地，有理數(shù)乘法中，一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。

分配律：a（b c）＝ab ac。

⑨運(yùn)算律在運(yùn)算中有重要作用，它是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)。

有理數(shù)除法法則：

除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)

可以表示為：a÷b＝a·（b≠0）

從有理數(shù)除法法則，容易得出：

兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。（這是有理數(shù)除法法則的另一種說(shuō)法）

溫馨提示：分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母！

①一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，即記作a?，讀作“a的n次方”。乘方的結(jié)果叫做冪（power）。在a?中，a叫做底數(shù)（base number），n叫做指數(shù)（exponent），當(dāng)a?看作a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作“a的n次冪”。

例如，在9?中，底數(shù)是9,指數(shù)是4,9?讀作“9的4次方”，或“9的4次冪”。

②根據(jù)有理數(shù)的乘法法則可以得出：

負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。

顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0。

③做有理數(shù)的混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)注意以下運(yùn)算順序：

⑴先乘方，再乘除，最后加減；

⑵同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；

⑶如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

①10的乘方有如下的特點(diǎn)：

102＝100，103＝1000，10?＝10000,…。

一般地，10的n次冪等于10…0（在1的后面有n個(gè)0），所以可以利用10的乘方表示一些大數(shù)，例如：

567000000＝5.67×100000000＝5.67×108，讀作“5.67乘10的8次方（冪）”。

這樣不僅可以使書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)短，同時(shí)還便于讀數(shù)

像上面這樣，把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10?的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整數(shù)），使用的是科學(xué)記數(shù)法。

①“約有五百人參加了今天的會(huì)議。”五百這個(gè)數(shù)只是接近實(shí)際人數(shù)，但與實(shí)際人數(shù)還有差別，它是一個(gè)近似數(shù)（approximate number）。

舉個(gè)栗子（自己填著做）：按四舍五入法對(duì)圓周率π取近似數(shù)時(shí)，有

π≈3（精確到個(gè)位），

π≈3.1（精確到0.1，或叫做精確到十分位），

π≈3.14（精確到0.01，或叫做精確到百分位），

π≈3.142（精確到         ，或叫做精確到            ），

π≈3.1416（精確到           ， 或叫做精確到              ），

……