小編按：上一期為大家講了 t 檢驗(yàn)的來龍去脈，今天的內(nèi)容，我們繼續(xù)沿著這個(gè)話題說，為大家介紹 t 檢驗(yàn)這一大家子的成員！

回復(fù)「統(tǒng)計(jì)學(xué)」可查看「說人話的統(tǒng)計(jì)學(xué)」系列合輯

在上一集《想要玩轉(zhuǎn) t 檢驗(yàn)？你得從這一篇看起》里，我們通過藍(lán)精靈吃包子的例子講述了 t 檢驗(yàn)的基本原理，以及它和中心極限定理、正態(tài)分布的關(guān)系。我們還順帶回顧了一下 p 值是怎么來的，而且討論了在 t 檢驗(yàn)中計(jì)算 p 值的原理。

這一集，我們來從實(shí)用的角度，來說一說 t 檢驗(yàn)?zāi)芨尚┦裁词聝海荒芨尚┦裁词聝?/strong>。 

讓我們先來回想一下，上一集我們是怎么講到 t 檢驗(yàn)的。

我們的主角藍(lán)精靈疑心食堂賣包子的格格巫偷工減料，包子的重量達(dá)不到食堂規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)（50克）。可是呢，正如格格巫所說，畢竟是手工做的包子，總歸有大有小，單拿出一個(gè)包子發(fā)現(xiàn)份量輕了，也許只是碰巧拿了個(gè)小的。更合理的做法便是，隨機(jī)抽取一定數(shù)量的包子作為樣本，計(jì)算出這若干包子重量的平均值，然后檢驗(yàn)這個(gè)平均值與食堂標(biāo)準(zhǔn)之間差異的顯著性。

為了這個(gè)目的，我們可以根據(jù)樣本算出統(tǒng)計(jì)量：

，

其中是樣本平均值，是標(biāo)準(zhǔn)值，S 是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，N 是樣本量。

在總體服從正態(tài)分布的前提下，統(tǒng)計(jì)量 t 服從一個(gè)類似于正態(tài)分布的概率分布——t 分布。對(duì)于任意的 t 值，我們可以根據(jù) t 分布的性質(zhì)（我們?cè)谏弦患哪┪蔡岬剑鋵?shí)還與樣本量 N 有關(guān)）算出對(duì)應(yīng)的「與樣本相同或更極端」的概率，這就是我們所說的 p 值了。

這個(gè)例子所使用的 t 檢驗(yàn)，是將樣本的平均值與某個(gè)特定的標(biāo)準(zhǔn)值相比較，稱為「單樣本 t 檢驗(yàn)」（one sample t test）， 是 t 檢驗(yàn)家族里我們介紹的第一個(gè)成員。

在實(shí)際應(yīng)用中，這個(gè)「特定的標(biāo)準(zhǔn)值」往往有兩個(gè)來源。

第一個(gè)來源便是我們上面例子的情形，即某個(gè)人為規(guī)定的、需要達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)。這常常出現(xiàn)在工商業(yè)中的質(zhì)量控制環(huán)節(jié)，恰恰也是 t 檢驗(yàn)的發(fā)明者戈塞特的初衷。

第二個(gè)來源則是由大樣本所決定的某些參考值或「正常值」。比如說， 人體的許多生理生化指標(biāo)和人口學(xué)特征都有已知的參考值，這些都是通過常年積累的大量數(shù)據(jù)確定下來的。如果我們想知道一個(gè)特定特殊人群（比如某個(gè)地區(qū)的居民、某個(gè)職業(yè)的從業(yè)者、某種疾病的患者）在某個(gè)特定指標(biāo)上是否與參考值不同，也可以用單樣本 t 檢驗(yàn)。

對(duì)于后面這種用法，嚴(yán)格來說稍微有一點(diǎn)問題，因?yàn)閷?duì)于總體來說，該指標(biāo)并不是必定取到參考值，而是會(huì)圍繞參考值有一定的波動(dòng)范圍。因此，直接對(duì)總體均值進(jìn)行單樣本 t 檢驗(yàn)會(huì)有些過分苛刻，從而使得差別的顯著性略有夸大。

這里我們順便再重溫一下單側(cè)檢驗(yàn)和雙側(cè)檢驗(yàn)的區(qū)別。

在藍(lán)精靈吃包子的例子里，由于藍(lán)精靈根本不認(rèn)為格格巫會(huì)做出平均質(zhì)量大于食堂標(biāo)準(zhǔn)的包子（試求格格巫過往在藍(lán)精靈心目中留下的陰影面積），因此他們只關(guān)心格格巫的包子是否小于食堂標(biāo)準(zhǔn)。在這種情況下，他們的原假設(shè)和備擇假設(shè)是這樣的——

原假設(shè)：格格巫的包子重量大于等于食堂標(biāo)準(zhǔn)。

備擇假設(shè)：格格巫的包子重量小于食堂標(biāo)準(zhǔn)。

因?yàn)閭鋼窦僭O(shè)中的差別是單方向的（只有「小于」），我們把這種情況稱為「單側(cè)檢驗(yàn)」。

我們以前曾經(jīng)說過，之所以把要檢驗(yàn)的問題放在備擇假設(shè)里，而把它的對(duì)立面作為原假設(shè)，是出于「疑罪從無」的原則，僅當(dāng)數(shù)據(jù)強(qiáng)烈反對(duì)原假設(shè)（也就是 p 值很?。r(shí)，才推翻原假設(shè)。

這時(shí)候 p 值怎么算呢？

p 值的定義是在原假設(shè)成立的前提下觀察到與數(shù)據(jù)相同或更極端的結(jié)果的概率，由于備擇假設(shè)是單側(cè)的，所以比數(shù)據(jù)更極端的結(jié)果也就是比實(shí)際數(shù)據(jù)更小的樣本均值。在統(tǒng)計(jì)量里，當(dāng)更小時(shí)，t 也更小，所以 p 值就是 t 分布下由數(shù)據(jù)所得的 t 值左邊的曲線下的面積了。

那么什么是雙側(cè)檢驗(yàn)呢？

在同樣的例子里，如果藍(lán)精靈對(duì)格格巫并沒有什么壞印象，只是想知道他賣的包子份量和食堂規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)有沒有差別，而不在乎這個(gè)差別是小了還是大了。此時(shí)，他們的原假設(shè)和備擇假設(shè)就變成了——

原假設(shè)：格格巫的包子重量等于食堂標(biāo)準(zhǔn)。

備擇假設(shè)：格格巫的包子重量不等于食堂標(biāo)準(zhǔn)。

這就是「雙側(cè)檢驗(yàn)」，它與單側(cè)檢驗(yàn)的區(qū)別就在于「比數(shù)據(jù)更極端的結(jié)果」包含的范圍更廣。在雙側(cè)檢驗(yàn)的情況下，更極端的結(jié)果不僅僅是更小的樣本均值，而是與標(biāo)準(zhǔn)值之間更大的差別（無論這個(gè)差別是比標(biāo)準(zhǔn)值小還是大）。

由于 t 分布是對(duì)稱的，因此對(duì)于同樣的樣本而言，雙側(cè)檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)的 p 值將會(huì)是單側(cè)檢驗(yàn)的兩倍。

我們?cè)诘谒募?a target="_blank" data_ue_src="http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAxMDA4NjU3OA==&mid=208048284&idx=1&sn=ea3e00da596826b6c0b267bca46e4306&scene=21#wechat_redirect" style="font-size: 16px; text-decoration: underline; color: rgb(88, 123, 170);">《提高統(tǒng)計(jì)功效，讓評(píng)審心服口服！》中講過，使用單側(cè)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，這個(gè)決定必須在看到數(shù)據(jù)之前做出，絕不能分析完數(shù)據(jù)以后回過頭來改用單側(cè)。如果在閱讀文獻(xiàn)時(shí)遇到使用單側(cè)檢驗(yàn)的情形，一定別忘了問問自己，作者是否有充分的理由不考慮另一個(gè)方向的效應(yīng)，抑或只是人為地提高顯著性。

讀過「說人話的統(tǒng)計(jì)學(xué)」的你，可不該被這樣的小把戲騙到啦！

為了說明 t 檢驗(yàn)的另外一種使用方式，讓我們來開一開腦洞。

假設(shè)格格巫賣的包子是藍(lán)精靈們唯一的食物來源，而且每天藍(lán)精靈食用的包子個(gè)數(shù)是恒定不變的（喂喂喂，藍(lán)精靈怎么聽起來這么可憐）。為了控訴格格巫這段時(shí)間以來偷工減料給他們帶來的身心摧殘，藍(lán)精靈決定拿出新的證據(jù)：最近兩個(gè)月以來他們的平均體重減輕了。

他們需要怎樣的數(shù)據(jù)呢？

很簡(jiǎn)單，隨機(jī)抽取若干個(gè)藍(lán)精靈，獲得他們兩個(gè)月以前和現(xiàn)在的體重測(cè)量數(shù)據(jù)，然后比較兩個(gè)平均值的差別就行了。

很顯然，之前介紹的單樣本 t 檢驗(yàn)就不再適用了，因?yàn)槲覀兪且?/span>比較兩個(gè)平均值的差別，而不是一個(gè)平均值和已知標(biāo)準(zhǔn)值的差別。這時(shí)，我們要使用的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)被稱作「成對(duì)樣本的t檢驗(yàn)」（paired samples t test）。

但是注意，這里兩個(gè)樣本中的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)都是一一對(duì)應(yīng)的：對(duì)于我們抽取的那幾個(gè)藍(lán)精靈，都為兩個(gè)月前體重的樣本和當(dāng)前體重的樣本各貢獻(xiàn)了一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。

既然如此，我們可以把每個(gè)藍(lán)精靈當(dāng)前的體重減去兩個(gè)月前的體重，于是兩個(gè)樣本就變成了一個(gè)體重變化量的樣本。既然變成了一個(gè)樣本，我們是不是可以用單樣本t檢驗(yàn)?zāi)兀?/span>

回到藍(lán)精靈試圖驗(yàn)證的問題：他們的平均體重是否減輕了。因此，此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)值應(yīng)該對(duì)應(yīng)沒有體重變化的情況，也就是 0。也就是說，成對(duì)樣本的 t 檢驗(yàn)實(shí)際上就是對(duì)前后變化量作標(biāo)準(zhǔn)值為 0 的單樣本t檢驗(yàn)。

在許多統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件中，單樣本 t 檢驗(yàn)和成對(duì)樣本 t 檢驗(yàn)會(huì)被分為兩個(gè)獨(dú)立的選項(xiàng)。感興趣的讀者不妨自己找兩列數(shù)據(jù)驗(yàn)證一下，先對(duì)兩個(gè)成對(duì)樣本進(jìn)行 t 檢驗(yàn)，再計(jì)算出變化量進(jìn)行單樣本t檢驗(yàn)，得到的結(jié)果將是完全一樣的。

成對(duì)樣本的 t 檢驗(yàn)最常見于同一組實(shí)驗(yàn)對(duì)象兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)（比如說干預(yù)前后）之間的比較。

除此以外，還有一種情形，就是兩組實(shí)驗(yàn)對(duì)象雖然是不同的個(gè)體，但是存在其它的一些關(guān)聯(lián)，使得兩組中的個(gè)體能夠一一對(duì)應(yīng)起來。例如，我們想了解人群中某稀有致病突變攜帶者的一項(xiàng)血液學(xué)指標(biāo)和健康人有何差別。我們可以在測(cè)量了我們所能找到的該突變攜帶者的該項(xiàng)指標(biāo)以后，在健康人群中尋找在種族、年齡、性別、病史等等其它因素與每個(gè)攜帶者都盡量相似的受試者。這樣，我們?nèi)匀挥辛藘蓚€(gè)「成對(duì)」的樣本，因此也可以使用成對(duì)樣本的t檢驗(yàn)。

為了對(duì)格格巫進(jìn)一步宣戰(zhàn)，藍(lán)精靈們?cè)僖淮闻鲱^，想出了一個(gè)新點(diǎn)子。他們決定走訪兩條街以外黃精靈的食堂，買來一堆包子稱稱重量，看看是不是比格格巫的包子更大一些。這時(shí)候他們又該用什么檢驗(yàn)?zāi)兀?/span>

很顯然，此時(shí)兩個(gè)樣本很難有什么直接的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系了（甚至樣本量都可能不一樣），成對(duì)樣本的 t 檢驗(yàn)在這里并不適用。

這時(shí)，我們需要認(rèn)識(shí)t檢驗(yàn)家族的第三名成員——「獨(dú)立樣本的 t 檢驗(yàn)」（independentsamples t test）。顧名思義，它用于比較來自兩個(gè)獨(dú)立的樣本的均值。  

回想一下，在單樣本 t 檢驗(yàn)中我們指出，這個(gè)檢驗(yàn)之所以被為 t 檢驗(yàn)，是因?yàn)槲覀兺ㄟ^樣本的數(shù)據(jù)構(gòu)建出了一個(gè)服從 t 分布的統(tǒng)計(jì)量。

而對(duì)于獨(dú)立樣本的 t 檢驗(yàn)來說，我們?nèi)匀皇窃跇?gòu)造統(tǒng)計(jì)量 t，但由于我們比較的是兩個(gè)均值，它的分子就變成了（下標(biāo) 1 和 2 分別表示兩個(gè)樣本）。

那么分母呢？

在單樣本t檢驗(yàn)里，我們以樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差作為總體均值標(biāo)準(zhǔn)差的一個(gè)估計(jì)，來衡量均值與參考值的差別到底有多大。在獨(dú)立樣本的 t 檢驗(yàn)里，我們同樣在做類似的事情，但因?yàn)樯婕暗絻蓚€(gè)樣本，具體說起來會(huì)有些啰嗦，我們就不深入展開了。

但是，有一個(gè)技術(shù)性問題需要注意。

由于我們是在比較兩個(gè)樣本，而這兩個(gè)樣本可能來源于兩個(gè)不同的分布，因此在確定 t 統(tǒng)計(jì)量的分母時(shí)，我們需要考慮兩個(gè)樣本所來自的分布是否有相同的發(fā)散程度（即方差）。因此，在我們使用獨(dú)立樣本的 t 檢驗(yàn)之前，需要先進(jìn)行另外一個(gè)檢驗(yàn)，查看兩個(gè)樣本各自來自的分布方差是否相等，進(jìn)而對(duì) t 統(tǒng)計(jì)量以及有效的樣本量（稱為「自由度」）進(jìn)行不同的處理或修正。

所以，t 檢驗(yàn)家族的這位成員實(shí)際上是對(duì)雙胞胎，一是方差相等的獨(dú)立樣本的 t 檢驗(yàn)，二是方差不相等的獨(dú)立樣本的 t 檢驗(yàn)。

對(duì)于兩個(gè)樣本的方差是否相等，一個(gè)常用的檢驗(yàn)是Levene 氏檢驗(yàn) （Levene’s test）。這個(gè)檢驗(yàn)的原假設(shè)是兩個(gè)分布方差相等。與所有其它檢驗(yàn)一樣，它會(huì)給我們一個(gè) p 值。當(dāng) p 值大于 0.05 時(shí)，我們就不能拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為兩分布方差相等；反之則認(rèn)為兩分布方差不相等。

在不少統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件中，Levene 氏檢驗(yàn)已經(jīng)默認(rèn)稱為獨(dú)立樣本 t 檢驗(yàn)的一個(gè)步驟。例如在 SPSS 里，當(dāng)我們使用獨(dú)立樣本 t 檢驗(yàn)時(shí)，它會(huì)自動(dòng)給出 Levene 氏檢驗(yàn)的結(jié)果，并同時(shí)輸出方差相等和不相等的結(jié)果，我們只需根據(jù) Levene 氏檢驗(yàn)讀取合適的部分即可。

認(rèn)識(shí)了 t 檢驗(yàn)的一家子，我們知道，它們的作用是對(duì)樣本的均值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。但是，與了解它們能做什么同樣重要的是，了解它們不能做什么。

第一，t 檢驗(yàn)不能用于非連續(xù)變量的比較。

我們?cè)?a target="_blank" data_ue_src="http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzAxMDA4NjU3OA==&mid=400430409&idx=1&sn=03b30d4122d177650543f50649195ebd&scene=21#wechat_redirect" style="font-size: 16px; text-decoration: underline; color: rgb(171, 25, 66);">《數(shù)據(jù)到手了，第一件事先干啥？》里說過，數(shù)據(jù)可以分為離散型變量和連續(xù)型變量兩類。對(duì)于離散型變量（如性別、種族、籍貫）等，本身就并非數(shù)值，自然沒有均值可言。

然而，很多時(shí)候，我們?cè)跀?shù)據(jù)文件中會(huì)用數(shù)字給它們編碼（比如 1 和 2 分別表示女性和男性），這時(shí)如果我們?cè)诮y(tǒng)計(jì)學(xué)軟件中執(zhí)行 t 檢驗(yàn)，仍然可以算出結(jié)果（因?yàn)橛辛司唧w數(shù)值就可以套進(jìn) t 統(tǒng)計(jì)量的公式，進(jìn)而得到 p 值），但這樣的結(jié)果是沒有意義的。對(duì)于離散型變量的組間比較，我們以后將會(huì)具體介紹。

第二，t 檢驗(yàn)不能用于超過兩組變量之間均值的比較。

我們知道，t 檢驗(yàn)可以用在單個(gè)或兩個(gè)樣本的均值上，那如果不止兩個(gè)樣本呢？

答案是否定的。

為什么不能兩兩比較然后得出某種統(tǒng)一的結(jié)論呢？我們這里先賣個(gè)關(guān)子，幾集以后我們講到方差分析（analysisof variance，ANOVA）時(shí)再來詳細(xì)討論。

第三，即便是連續(xù)型變量，如果不服從正態(tài)分布，也不能用 t 檢驗(yàn)。

這是許多統(tǒng)計(jì)學(xué)使用者容易犯的一個(gè)錯(cuò)誤。之所以對(duì)數(shù)據(jù)的正態(tài)性有要求，是因?yàn)?/span>我們此前的所有結(jié)論都是由「數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布」這個(gè)假設(shè)導(dǎo)出的。如果數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，那么 t 統(tǒng)計(jì)量也就不再服從 t 分布，我們（或統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件）根據(jù) t 分布給出的 p 值也就不再準(zhǔn)確，我們以此做出的推斷也就不可靠了。

既然如此，我們應(yīng)該如何判斷數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布呢？欲知后事如何，請(qǐng)聽下回分解。