函數(shù)與方程有著密切的關(guān)系：方程的根可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與軸的交點的橫坐標，即函數(shù)的零點，也可以轉(zhuǎn)化為兩個基本初等函數(shù)的圖象交點問題．同時函數(shù)也可以看作二元方程，通過方程進行研究．這就構(gòu)成函數(shù)與方程相輔相成、相得益彰的關(guān)系，所以通過兩者之間的相互轉(zhuǎn)化，可以優(yōu)化解題過程．現(xiàn)分類舉例，供同學(xué)們參考.

一、將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題

例1（2016年河北省唐山一中高三二模）若關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍為（  ）

A（-∞，-4）∪（4，+∞）      B（4，5）

C（4，8）                                D（5，+∞）∪﹛4﹜

分析：關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個不同的實數(shù)解，可以轉(zhuǎn)化為

（其中）在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一零點．

解：令，則原問題等價于函數(shù)在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一零點．即或，解得或. 故選D．

點評：將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助函數(shù)的性質(zhì)進行分析、轉(zhuǎn)化、求解。要注意采用換元法時，新變量的取值范圍．

例2（2016-2017學(xué)年山西省忻州一中高三第一次月考）已知，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（  ）

（A）1（B）2（C）3（D）1或2或3

分析：方程的實數(shù)根個數(shù)為兩函數(shù)在同一直角坐標系中圖象的交點個數(shù)．

解：在同一直角坐標系中作出兩函數(shù)y₁=a^|x|=a^x(x>0)，y2=|log_ax| 的圖象，如圖所示，可知兩函數(shù)有兩個交點，故方程的實數(shù)根個數(shù)為2，選B．

二、將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題

例3（2016-2017學(xué)年浙江省臺州中學(xué)高三期中考試）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的所有零點之和為（  ）

（A）（B）（C）（D）

分析：先求出的解析式，然后分段求出函數(shù)的零點，再求和即可．

解：由于

當(dāng)或時，由，解得（舍去）；

當(dāng)時，方程無解；

當(dāng)時，由，解得

故函數(shù)的所有零點之和為，選B．

點評：通過解方程來求解函數(shù)的零點時，要注意函數(shù)的定義域，防止增根．因此解方程之前，先明確函數(shù)的定義域．

例4 對于函數(shù)，若存在x₀∈R，使得成立，則稱點（x₀,x₀）為函數(shù)的不動點．

（1） 已知函數(shù)（a≠0）有不動點（1,1）和（-3，-3）求實數(shù)a,b的值；

（2） 若對于任意實數(shù)b，函數(shù)（a≠0）總有兩個相異的不動點，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：函數(shù)的不動點是由方程的根組成的，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，利用方程知識求解.

解：（1） 由不動點的定義，有，所以ax²+(b-1)x-b=0，把x=1和x=-3分別帶入上式，則有

       （2）對于任意實數(shù)b,函數(shù)總有兩個相異的不動點，即對于任意實數(shù)b,方程有兩個相異的實數(shù)根，即有ax²+(b-1)x-b=0中的Δ=(b-1)²+4ab>0對任意實數(shù)b恒成立，即b²+(4a-2)b+1>0對任意實數(shù)b恒成立，所以(4a-2)²-4<><><>

點評：本題抓住不動點的本質(zhì)，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題，從而借助方程的性質(zhì)——判別式構(gòu)造不等式，再利用不等式只是求解.

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本文來自《數(shù)學(xué)周報》高考版理科第3期