很多人都知道數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力、創(chuàng)新能力、探索能力等方面起著巨大的作用，被譽(yù)為是人類思維的體操。因此，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)除了掌握基本知識(shí)、基本技能以外，更要教會(huì)我們的學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，提高思維能力。

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出培養(yǎng)學(xué)生的思維能力是新課程改革的基本理念之一，也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)思維能力對(duì)形成理性思維有著獨(dú)特的作用，如，一題多解可以培養(yǎng)思維的廣闊性，不同的解題方法，可以培養(yǎng)學(xué)生不同的思維方式。

同一數(shù)學(xué)問(wèn)題用不同的數(shù)學(xué)方法來(lái)解答，我們稱之為“一題多解”。其特點(diǎn)就是對(duì)同一個(gè)問(wèn)題從不同的角度、不同的結(jié)構(gòu)形式、不同的相互關(guān)系通過(guò)不同的思路去解答同一個(gè)問(wèn)題。有句古詩(shī)詞“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”能很好說(shuō)明一題多解的意義。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育已經(jīng)證明一題多解，能使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中開(kāi)闊思路，把學(xué)過(guò)的知識(shí)和方法融會(huì)貫通，大大提升分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。不同的解法可以培養(yǎng)和提高學(xué)生處理問(wèn)題的掌控能力，學(xué)會(huì)把握各個(gè)要素，培養(yǎng)學(xué)生全面分析問(wèn)題的能力。

解：（1）依題意，點(diǎn)P既在∠ACB的平分線上，又在線段AB的垂直平分線上．

如圖1，作∠ACB的平分線CP，作線段AB的垂直平分線PM，

CP與PM的交點(diǎn)即為所求的P點(diǎn)．

△ABP是等腰直角三角形．

考點(diǎn)分析：

相似形綜合題；探究型．

題干分析：

（1）先根據(jù)角平分線及線段垂直平分線的作法作出P點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AC、PF⊥CB，垂足為E、F，由全等三角形的判定定理得出Rt△APE≌Rt△BPF，再由全等三角形的性質(zhì)即可判斷出△ABP是等腰直角三角形；

（2）在Rt△PAB中，由∠APB=90°，PA=PB，PA=m，可得出AB，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得AE=BF，CE=CF，故CA CB=CE EA CB=CE CF=2CE，在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=45°，PC=n，可知CE=PE，即CA CB=2CE，由△ABC的周長(zhǎng)為=AB BC CA即可得出其周長(zhǎng)，再根據(jù)S△ABC=S△PAC S△PBC﹣S△PAB即可得出其面積；

（3）過(guò)點(diǎn)D分別作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足為M、N，由角平分線的定義及銳角三角函數(shù)的定義可知DM=DN=CDsin45°=，由平行線分線段成比例定理可知DN/AC=DB/AB，DM/BC=AD/AB，再把兩式相加即可得出結(jié)論．

解題反思：

本題考查的是相似形綜合題，涉及到角平分線及線段垂直平分線的作法及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的面積公式，涉及面較廣，難度較大．

通過(guò)一題多解的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和方法的運(yùn)用能力，發(fā)散學(xué)生思維，加深學(xué)生的思維深度，提升學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生細(xì)致的觀察力、豐富的聯(lián)想力和創(chuàng)造性的思維能力。

一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生靈活、敏捷的思維能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度、多層次的分析，達(dá)到對(duì)問(wèn)題的全面理解，進(jìn)而迅速準(zhǔn)確的解決問(wèn)題。

我們通過(guò)一題多解來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，要避免片面地追求解法的奇、怪等等，不當(dāng)?shù)慕夥ㄈ菀自斐蓪W(xué)生對(duì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的誤解，失去培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)的效果。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題時(shí)，不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概況、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維過(guò)程。一題多解，可以幫助學(xué)生思路、發(fā)散學(xué)生思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)多角度分析和解決問(wèn)題。