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3．微積分的創(chuàng)立 微積分主要起源于對(duì)以下實(shí)際問(wèn)題的研究：（1）圖形的面積、體積和曲線的弧長(zhǎng)，（2）曲線的切線與函數(shù)的極值。人們?cè)趯で髨D形的面積、體積和曲線的弧長(zhǎng)問(wèn)題上出現(xiàn)了求和過(guò)程，導(dǎo)致了積分學(xué)的產(chǎn)生；而在求作曲線的切線問(wèn)題和求函數(shù)的極值問(wèn)題時(shí)導(dǎo)致了微分學(xué)的產(chǎn)生。 （1）微積分的醞釀，主要發(fā)生于17世紀(jì)上半葉。自然科學(xué)，特別是天文（開(kāi)普勒三大定律的發(fā)表）、力學(xué)（伽利略的有關(guān)工作，彈道拋射角）等領(lǐng)域在此期間所發(fā)生的一系列重大事件。所面臨的數(shù)學(xué)困難，使微積分學(xué)的基本問(wèn)題成為人們空前關(guān)注的焦點(diǎn)。該時(shí)期幾乎所有的科學(xué)大師都在致力于尋求新的數(shù)學(xué)工具，特別是描述運(yùn)動(dòng)與變化的無(wú)窮小算法。 解析幾何的誕生則給微分學(xué)問(wèn)題的研究帶來(lái)了代數(shù)方法。笛卡爾曾用一種所謂的“圓法”來(lái)求曲線的切線，費(fèi)馬也提出了一種求極值的代數(shù)方法。巴羅的“微分三角形”把切線看作割線的極限位置。 （2）微積分的創(chuàng)立，經(jīng)過(guò)了半個(gè)世紀(jì)的醞釀，牛頓和萊布尼茲出場(chǎng)了。時(shí)代的需要與個(gè)人的才識(shí)，使他們完成了微積分創(chuàng)立中最后也是最關(guān)鍵的一步。在此過(guò)程中，他們共同分享著這份偉大的榮耀。 牛頓的“流數(shù)術(shù)”： 牛頓對(duì)微積分問(wèn)題的研究始于1664年秋，當(dāng)時(shí)他正在劍橋大學(xué)學(xué)習(xí)。1665年11月，牛頓發(fā)明“正流數(shù)術(shù)”（微分法），次年5月又建立了“反流數(shù)術(shù)”（積分法）。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結(jié)性論文，此文現(xiàn)以《流數(shù)簡(jiǎn)論》著稱，它是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。 《流數(shù)簡(jiǎn)論》標(biāo)志著微積分的誕生，但它在許多方面是不成熟的。牛頓始終不渝努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，先后寫成了三篇微積分論文：《分析學(xué)》（1669）、《流數(shù)法》（1671）、《求積術(shù)》（1691）。它們真實(shí)再現(xiàn)了牛頓創(chuàng)建微積分學(xué)說(shuō)的思想歷程。 牛頓微積分學(xué)說(shuō)最早的公開(kāi)表述出現(xiàn)在1687年出版的力學(xué)名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》之中。因此該書也成為數(shù)學(xué)史上的劃時(shí)代著作。 《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》被愛(ài)因斯坦盛贊為“無(wú)比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學(xué)定律出發(fā)，運(yùn)用微積分工具，嚴(yán)格地推導(dǎo)證明了包括開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三大定律、萬(wàn)有引力定律在內(nèi)的一系列結(jié)論，并且還將微積分應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)，聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一全新數(shù)學(xué)工具的威力。 萊布尼茲的微積分： 1684年萊布尼茲發(fā)表了他的微分學(xué)論文《一種求極大值和極小值及切線的新方法，它也適用于分式和無(wú)理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》，這也是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。這篇論文雖然僅有六頁(yè)，且敘述得乏味含糊，但卻具有劃時(shí)代的意義--萊布尼茲創(chuàng)立微積分。 4．微積分的發(fā)展與完善 18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步應(yīng)歸于歐拉。他于1748年出版的《無(wú)限小分析引論》以及隨后發(fā)表的《微分學(xué)》和《積分學(xué)》是微積分史上里程碑式的著作。它們?cè)诤荛L(zhǎng)時(shí)間里被當(dāng)作分析課本的典范而普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時(shí)引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)的分析學(xué)符號(hào)，對(duì)分析表述的規(guī)范化起了重要作用。此外，伯努利家族、克萊洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、蒙日和勒讓德等，也為微積分及其應(yīng)用做出了卓越貢獻(xiàn)。 5．代數(shù)學(xué)的新生 在18世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)內(nèi)部悄悄積累的矛盾已經(jīng)開(kāi)始醞釀新的變革。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們面臨著一系列數(shù)學(xué)自身產(chǎn)生的、長(zhǎng)期懸而未決的問(wèn)題，其中最突出的是：
在19世紀(jì)初，這些問(wèn)題已變得越發(fā)尖銳而不可回避。從而導(dǎo)致19世紀(jì)代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)上的變革，以及微積分基礎(chǔ)的建立。 （1）代數(shù)方程的可解性與群的發(fā)現(xiàn) 中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家把代數(shù)學(xué)看成是解代數(shù)方程的學(xué)問(wèn)，他們系統(tǒng)地解決了二次方程的求根問(wèn)題；文藝復(fù)興時(shí)期的歐洲數(shù)學(xué)家們繼承了這一傳統(tǒng)，但又有所突破。他們成功地解決了三次和四次代數(shù)方程的求根問(wèn)題。到了19世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們的注意力集中在了五次和高于五次的代數(shù)方程上。 基本問(wèn)題：五次或更高次的代數(shù)方程的根式解 即在n > 5時(shí)，對(duì)于形如xn + a1xn–1 + …+ a n–1x + an = 0的代數(shù)方程，它的解能否通過(guò)只對(duì)方程的系數(shù)作加、減、乘、除和求正整數(shù)次方根等運(yùn)算的公式得到。 1770年拉格朗日在《關(guān)于代數(shù)方程解的思考》中猜測(cè)“不可能用根式解四次以上方程”，1824年，挪威的年青數(shù)學(xué)家阿貝爾發(fā)表論文《論代數(shù)方程，證明一般五次方程的不可解性》，證明了該猜測(cè)。 一位同樣年青的法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832 ）提出了“伽羅瓦群”。伽羅瓦證明，當(dāng)且僅當(dāng)方程的群滿足一定的條件（即方程的群是可解群）時(shí)，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要條件。 伽羅瓦攻克的難題雖然是三百年前的老問(wèn)題，但他的思想?yún)s遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他的時(shí)代。伽羅瓦關(guān)于群的發(fā)現(xiàn)工作，可以看成是近世代數(shù)的發(fā)端。這不只是因?yàn)樗鉀Q了方程根式可解性這樣一個(gè)難題，更重要的是群的概念的引進(jìn)導(dǎo)致了代數(shù)學(xué)在對(duì)象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。 群可以理解為一類對(duì)象的集合，這些對(duì)象之間存在著類似于加法或乘法那樣的二元運(yùn)算關(guān)系，這種運(yùn)算使得該集合滿足封閉性、結(jié)合性，并在其中存在著單位元和逆元素。 群概念的劃時(shí)代意義在于：代數(shù)學(xué)由于群的概念的引進(jìn)和發(fā)展而獲得了新生，它不再僅僅是研究代數(shù)方程，而更多地是研究各種抽象“對(duì)象”的運(yùn)算關(guān)系，一方面，數(shù)的概念有了極大推廣，另一方面，許多抽象的對(duì)象，在更高層次上與數(shù)的概念獲得了統(tǒng)一。 為20世紀(jì)代數(shù)結(jié)構(gòu)觀念的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。 （2）從四元數(shù)到超復(fù)數(shù) 四元數(shù)的發(fā)現(xiàn)是繼伽羅瓦提出群的概念后，19世紀(jì)代數(shù)學(xué)最重大的事件。四元數(shù)是推廣平面復(fù)數(shù)系結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物。 愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈密頓發(fā)明四元數(shù)。在哈密頓建立四元數(shù)的同時(shí)，一位德國(guó)數(shù)學(xué)家格拉斯曼發(fā)明了超復(fù)數(shù)。 （3）布爾代數(shù) 19世紀(jì)中后葉，代數(shù)學(xué)還開(kāi)拓了另一個(gè)完全不同的領(lǐng)域，即布爾代數(shù)--邏輯代數(shù) （4）代數(shù)數(shù)論 在19世紀(jì)以前，數(shù)論只是一系列孤立的結(jié)果，高斯在1801年發(fā)表了他的《算術(shù)研究》后，數(shù)論作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。 |
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