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常用音階的來龍去脈——工科男眼中的音樂 1.0 引子曾經(jīng)有很多人問過圈圈，為何你會(huì)玩那么多種樂器呢？我想除了花時(shí)間練習(xí)之外，另一個(gè)原因就是圈圈會(huì)嘗試去尋找和理解這其中的原理。 聰明的你不知道是否曾經(jīng)思考過以下問題：為什么世界上這么多個(gè)國(guó)家的語言是不相通的，但音樂卻能夠跨越地域、超越文化而相通？聲音的頻率原本連續(xù)，為何不同時(shí)期、不同地域都將聲音離散化，只取幾個(gè)特定的音用在音樂中？它們又是如何被選取出來的？它們之間的關(guān)系是怎樣的？Do和Re之間的距離是多少？ 這些問題，很多音樂教材上都說得不清不楚，有些甚至是含糊其詞。圈圈也曾經(jīng)一度迷惑了很久，但經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的思索，總算有了些頭緒：因?yàn)橐魳肥且环N物理現(xiàn)象，它在宇宙中任何地方都是一樣的，不單全球通用，外星人也能聽懂我們地球人的音樂（還記得1977年發(fā)射的旅行者號(hào)探測(cè)器么？上面就專門放了唱片期待外星人能夠聽到）。下面圈圈就從物理和數(shù)學(xué)的角度來說說音樂。 1.1 聲音的本質(zhì) 所謂音樂，就是一些聲音在時(shí)間和空間上的組合。這些聲音可不是隨便組合的，是嚴(yán)格按照物理規(guī)律進(jìn)行組合的。 1.1.1 聲音的頻率 我們知道，聲音是由物體的振動(dòng)產(chǎn)生的。物體為什么會(huì)振動(dòng)呢？這是因它們受到了激勵(lì)。那么什么又是激勵(lì)呢？激勵(lì)就是給物體施加一個(gè)沖擊力，例如敲擊、彈撥、摩擦等。那為什么我們敲擊不同的物體，發(fā)出的聲音會(huì)不一樣呢？這是因?yàn)槊總€(gè)物體的質(zhì)量、彈性系數(shù)、密度等參數(shù)不一樣，導(dǎo)致其諧振頻率、響度以及音色不一樣。那么什么又叫做諧振頻率呢？要解釋這個(gè)，我們首先的要解釋一下頻率的概念。聲音的頻率是指物體每秒振動(dòng)的次數(shù)。一次振動(dòng)是指，從一個(gè)地方開始運(yùn)動(dòng)然后又回到原來的地方。物體振動(dòng)得越快，頻率就越高。頻率越高，我們聽到的音就越高。一般情況下，人們能夠聽到的振動(dòng)頻率范圍在20Hz~20KHz之間。20Hz就是指物體一秒鐘來回運(yùn)動(dòng)20次。對(duì)于一條琴弦來說，弦的單位質(zhì)量越小（即越細(xì)）、弦長(zhǎng)越短、弦的張力越大，給它一個(gè)激勵(lì)時(shí)，它的振動(dòng)頻率就越高。 1.1.2 諧振的概念 對(duì)于固定的弦，我們使用不同的激勵(lì)方式，例如不同的力度大小、彈奏方式，我們聽上去感覺它的頻率都是一樣的。這就是因?yàn)樘囟ǖ南揖哂刑囟ǖ闹C振頻率的原因，我們所聽到的這個(gè)聲音的頻率就是它的諧振頻率。學(xué)過信號(hào)與系統(tǒng)的朋友知道，我們的敲擊、彈撥等信號(hào)其實(shí)是一個(gè)脈沖激勵(lì)信號(hào)。這樣的信號(hào)它的頻譜是很廣的，也就是說這樣的信號(hào)中包含有各種各樣的頻率成分在里面。當(dāng)這樣的信號(hào)作用在物體上時(shí)，物體就會(huì)只選擇留下那些與其本身諧振頻率一樣的頻率分量，其它的信號(hào)很快就會(huì)消耗掉。這跟我們的收音機(jī)接收無線電信號(hào)是一樣的道理，只留下那些跟諧振頻率一樣的信號(hào)。因此，當(dāng)我們敲擊或者彈撥一條弦時(shí)，我們就感覺只聽到了一個(gè)固定音高的聲音，這個(gè)聲音的頻率就是該弦的諧振頻率。 1.1.3 基波和諧波的概念 然而，事實(shí)上并不是這么簡(jiǎn)單。一個(gè)物體的諧振頻率不僅只有一個(gè)。以一條琴弦來說，雖然它的單位質(zhì)量、張力是固定的，但對(duì)于弦長(zhǎng)來說，除了整條弦能夠振動(dòng)之外，它的1/2、1/3、1/4乃至1/n（n為整數(shù)）都是能夠振動(dòng)的。通過物理實(shí)驗(yàn)和計(jì)算我們知道，對(duì)同樣粗細(xì)和張力的弦來說，其振動(dòng)頻率和其長(zhǎng)度成反比。也就是說，當(dāng)弦的長(zhǎng)度減半時(shí)，其諧振頻率變?yōu)樵瓉淼膬杀?。因此，?dāng)一條弦被撥動(dòng)后，它不單會(huì)發(fā)出一個(gè)頻率為F的音，還同時(shí)會(huì)有頻率為2F、3F、4F乃至nF的音。這個(gè)做過頻譜分析或傅立葉變換的朋友應(yīng)該會(huì)有更直觀的感受。 在物理學(xué)上，我們把這個(gè)頻率為F的音叫做基波（本文中未特別說明時(shí)，聲音頻率僅指基波），頻率為F的整數(shù)倍的那些音叫做諧波。更具體地，頻率為nF的音叫做n次諧波，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，叫奇次諧波，n為偶數(shù)時(shí)叫偶次諧波。因此，當(dāng)我們撥動(dòng)一條弦時(shí)，弦能發(fā)出頻率為F、2F、3F、4F乃至nF的音。 1.1.4 樂音和噪音 對(duì)于一些不規(guī)則物體，其基波頻率不僅只有一個(gè)，聽上去就會(huì)感覺很吵，因此這樣的物體發(fā)出來的聲音就是噪音。對(duì)于像琴弦這樣的規(guī)則物體，它的基波頻率只有一個(gè)，因此它發(fā)出來的聲音就是樂音。由于弦全部參與振動(dòng)時(shí)其幅度最大，各部分振動(dòng)時(shí)其幅度依次減小，因此通常頻率為F的基波的幅度是最大的，因而也最容易被聽到。而諧波頻率越高，其幅度就越小，就沒那么容易聽到。所以我們一般感受到頻率的高低由基波頻率F決定，而諧波nF部分則產(chǎn)生不同的音色。諧波所占的比例不一樣就會(huì)導(dǎo)致我們所聽到的音色不一樣（當(dāng)然了，音色除了受到諧波比例的影響之外，還跟基波及諧波的上升速度、保持時(shí)間、衰減速度等都有很大關(guān)系）。 1.2 不同的律制：五度相生律、純律 “諧”字是一個(gè)形聲字。在小篆文中，“諧”字左邊好像一種排簫類編管樂器，用來代表字義；右邊為“皆”，用來表示字音。因此，“諧”字的本義與音樂有關(guān)，即音樂要和諧才能動(dòng)聽悅耳。正如《爾雅》中所說的：“諧，和也。”在現(xiàn)代漢語中，“諧”字常用來表示社會(huì)和諧、自然界和諧。這也是“諧”字后來的引申義?！爸C”字用作動(dòng)詞，意思是事情辦妥、辦成功。感興趣的讀者可以去搜搜“諧”字的字源。 對(duì)于音樂來說，講究的是聲音的“和而不同、諧而不一”。從物理角度這句話怎么理解呢？和諧，就是盡可能讓各個(gè)音的諧波成分重合。不一，就是基波部分卻不一樣。這樣聽上去不單調(diào)，但卻很諧和。我們現(xiàn)在常掛在嘴邊的和諧社會(huì)中的“和諧”，就是從這里演化來的，和諧（通假“合諧”）就是指音的諧波部分頻率相重合。 因此，當(dāng)我們定下一個(gè)基波頻率為F的音之后，我們就要去找那些與之和而不同的音。 1.2.1 八度音的概念 那怎么去找“和而不同”的音呢？最容易想到的音就是基波頻率為其2倍的音，即基波頻率為2F的音。因?yàn)槠渌幸纛l信號(hào)為2F、4F、6F、2nF，也就是說，這些音全部是頻率為F的音的偶次諧波，換個(gè)說法，頻率為2F的音，其所有頻率成分都可以在頻率為F的音的諧波中找到（即跟頻率為F的音的偶次諧波相重合）。由于這種諧波重合的關(guān)系，我們聽上去頻率為2F的音和頻率為F的音他們之間的相似度極高。在音樂中，我們把頻率為2F的音叫做頻率為F的音的高八度音，把頻率為F的音叫做頻率為2F的音的低八度音。正是由于這種諧波重合的關(guān)系，我們?cè)谘莩獣r(shí)隨意升高或降低一個(gè)八度并不會(huì)導(dǎo)致音樂太大的走樣。由于八度音的高度重合性，因此其不太符合我們提出的“諧而不同”的宗旨。因此，對(duì)于八度音，我們習(xí)慣上會(huì)給他相同的名字。例如在唱名上，不管是高八度還是低八度，都唱一樣。而在音名上，不管是高八度還是低八度，都用一樣的字母（用大小寫及附帶數(shù)字區(qū)分不同的八度）。至于為什么叫做八度，看完下面的七聲自然音階之后就明白了。 1.2.2 五度相生律的物理學(xué)原理 由于八度音的極度諧和性，因此我們要找那些“諧而不同”的音，就鎖定在F到2F之間的這個(gè)八度之內(nèi)了，因?yàn)檫@之外的音只要由這些音升高或降低一個(gè)八度即可得到。 由于我們是在頻率為F的音基礎(chǔ)之上去找與其“諧而不同”的音，因此我們就把頻率為F的這個(gè)音叫做主音，用數(shù)字1表示。 要在F和2F之間尋找諧波與F的諧波重合較多的音，我們很自然的就想到了頻率為1.5F的音。因?yàn)樗乃?/font>偶次諧波（即2*1.5F為3F、4*1.5F為6F等等），都能在主音1的諧波中找到。而其基波及奇次諧波則不與主音的諧波相重合，因此這就達(dá)到了“和而不一，諧而不同”的目的。這是我們?cè)?/font>F到2F之間所能找到的諧波重合最多的一個(gè)音（它有一半的諧波能夠與主音的諧波相重合），因此這個(gè)音處于第二重要的位置，我們把它叫做屬音，即從屬的意思。由于頻率與弦長(zhǎng)成反比，因此在琴弦上，3/2倍（即1.5倍）頻率的音高對(duì)應(yīng)的就是2/3弦長(zhǎng)的位置的音。這就是我國(guó)古代著名的找屬音的方法：三分損一法。所謂三分損一，就是把弦平均分為三等份，去掉一份（損就是拿掉、損失掉的意思），因此就剩下了2/3弦長(zhǎng)，這個(gè)弦彈奏出來的就是頻率為主音的1.5倍的屬音。另外還有三分益一法，就是分成3等份之后再加上一份，其實(shí)就是原來弦長(zhǎng)的4/3，即頻率為原來的3/4，即0.75倍，其實(shí)是屬音的一個(gè)低八度音。我們把三分損一和三分益一統(tǒng)稱為三分損益法。 按照這個(gè)原理，我們?nèi)フ业綄僖舻膶僖簦ê?jiǎn)稱屬之屬），即頻率為主音的1.5*1.5倍，也就是2.25倍的音，應(yīng)該也是和主音相諧和的。但是2.25倍已經(jīng)超出了F和2F之間的范圍，按照我們之前對(duì)八度音的分析，應(yīng)該將其降低一個(gè)八度使之在F到2F的范圍之內(nèi)，即頻率為2.25/2=1.125倍（即9/8）。按照這個(gè)關(guān)系，我們一直往下找，直到我們找到一個(gè)等于或非常接近F的音時(shí)，我們認(rèn)為回到了起點(diǎn)（回到起點(diǎn)之后再往下找就沒意義了，因?yàn)橄嗤寺?/span>）。按照這個(gè)思路，我們依次來計(jì)算這些倍數(shù)（當(dāng)結(jié)果大于2時(shí)就除以2，使其落在F到2F之間），分別為1.125*1.5=1.6875，1.6875*1.5/2=1.265625，1.265625*1.5=1.8984375。我們將1.8984375除以2得到0.94921875，約等于0.95，已經(jīng)非常接近1了，即非常接近主音F了，我國(guó)古代人民認(rèn)為到這里就回到了起點(diǎn)。 1.2.3 民族五聲音階和七聲自然音階 在我國(guó)古代，就選取了主音F、1.5F、1.125F、1.6875F、1.265625F這5個(gè)音來作為音樂的5個(gè)基本元素，這就是我們民族音樂中的五聲音階。 而西方人則比中國(guó)人更精細(xì)一些，他們不單取了這5個(gè)音，還增加了兩個(gè)音。其中之一就是我們剛剛計(jì)算得到的非常接近主音的那個(gè)頻率為1.8984375F的音。那么還有一個(gè)音是怎么來的呢？我們剛剛在尋找屬音時(shí)，只想到了往上升高1.5倍，卻未曾想過往下降到1/1.5得到的音其實(shí)也是和主音相諧和的，這其實(shí)就是把主音當(dāng)作是那個(gè)音的屬音。這個(gè)音的頻率為2*1/1.5=1.3333……（因?yàn)?/font>1/1.5F不在F和2F之間，所以將其升高一個(gè)八度，即頻率升高一倍），對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)就是3/4弦長(zhǎng)。由于這個(gè)音是將主音降低1.5倍計(jì)算得來的，因此把它叫做下屬音。這樣我們就得到了7個(gè)音，這就是西方音樂中的七聲自然音階。我們將其按照從低到高的順序排列（保留小數(shù)點(diǎn)后3位），就有F、1.125F、1.266F、1.333F、1.5F、1.688F、1.898F，分別用數(shù)字1到7表示（分別唱作do、re、mi、fa、so、la、si），其中主音是1，屬音就是5，下屬音就是4。按照這個(gè)排列，再對(duì)照一下我們的五聲音階，我們發(fā)現(xiàn)里面少了4和7，也就是說，我們把七聲自然音階里的4和7拿掉，就得到了我們民族的五聲音階。例如我國(guó)的古箏就是典型的五聲音階樂器，它每隔五個(gè)音一個(gè)循環(huán)。而像普通的竹笛、口琴等則是七聲自然音節(jié)樂器。由于1到5之間，存在著5個(gè)音，因此我們把它們之間的距離叫做五度，這種通過依次尋找高五度音來找到其它音的方法叫做五度相生律。由于1和5之間的相似程度較高，圈圈有時(shí)不小心也會(huì)弄混。而1到高音1，存在著個(gè)8個(gè)音，即八度，所以頻率為2倍關(guān)系的音叫做八度音。 1.2.4 音的距離：度的概念 在音階中，兩個(gè)音的頻率差距（即頻率的距離），我們用度來表示。當(dāng)兩個(gè)音相臨時(shí)，叫做二度，中間隔一個(gè)音時(shí)，叫做三度。通用的計(jì)算方法就是，包括兩頭的音，總共有幾個(gè)音就是幾度。例如1到4，總共有1234這四個(gè)音，因此叫做四度。 剛剛計(jì)算時(shí)使用的是小數(shù)，現(xiàn)在用分?jǐn)?shù)再來表示一下，即主音1為F，2為9/8F，3為81/64F，4為4/3F，5為3/2F，6為27/16F，7為243/128F。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，1和2、2和3、4和5、5和6、6和7之間的頻率比都是9/8（1.125）倍的關(guān)系，我們把這個(gè)叫做大二度。而3和4、7和高八度1之間的距離都是256/243（1.053）倍的關(guān)系，我們把它叫做小二度。而1和4、1和5之間，由于其諧和程度很高，我們分別叫做純四度和純五度。當(dāng)然，八度的諧和程度更高，因此我們也把它叫做純八度。 1.2.5 大、小三度和純五度 前面已經(jīng)介紹過大二度、小二度、純四度、純五度和純八度，接下來我們?cè)賮斫榻B一下三度，它是理解三和弦的構(gòu)成的基礎(chǔ)。 在七聲自然音階中，只有兩種三度，即大三度和小三度。兩個(gè)大二度連在一起（例如1到3、4到6、5到7）就是一個(gè)大三度。而一個(gè)大二度連一個(gè)小二度（例如2到4、6到高八度1）或者一個(gè)小二度連一個(gè)大二度（例如3到5、7到高八度2），就構(gòu)成一個(gè)小三度。再來看看純四度（即1到4），其實(shí)就是一個(gè)大三度（1到3）再加一個(gè)小二度（3到4）。而純五度（即1到5），其實(shí)就是一個(gè)大三度（即1到3）再加一個(gè)小三度（3到5）。 純五度的特點(diǎn)是5個(gè)音之間只有一個(gè)小二度，其他都為大二度。按照這個(gè)原理，我們?cè)谄呗曌匀灰綦A中總共可以找出6個(gè)純五度：1到5、2到6、3到7、4到高八度1、5到高八度2、6到高八度3。如果我們把純五度的前一個(gè)音看作主音，那么后一個(gè)音就是前一個(gè)音的屬音。而7到高八度4之間，由于存在著7到高八度1和3到4之間的兩個(gè)小二度，因此它不是純五度，我們把它叫做減五度。 在七聲自然音階中，如果我們把4當(dāng)作第一個(gè)音，然后依次去尋找后面的音，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)七聲自然音階其實(shí)就是一個(gè)純五度的音頻序列（簡(jiǎn)稱音序），即4152637，任意后面一個(gè)音都比前面一個(gè)音高一個(gè)純五度。這也正是五度相生律的由來，即4升高純五度生出1，1升高純五度生出5。記住這個(gè)規(guī)律，對(duì)后面的轉(zhuǎn)調(diào)的理解會(huì)很有幫助。另外，觀察一下可以發(fā)現(xiàn)，其實(shí)五聲音階就是把這個(gè)序列中的開頭4和結(jié)尾7拿掉了。 1.2.6 純律 我們?cè)賹⑽宥认嗌傻钠呗曌匀灰綦A的頻率關(guān)系拉出來再看看，即主音1為F，2為9/8F，3為81/64F，4為4/3F，5為3/2F，6為27/16F，7為243/128F。由于這里面出現(xiàn)了像81/64、27/16、243/128等分?jǐn)?shù)，它們的諧和性不是那么好，看上去也比較復(fù)雜，因此有人就將這里面的關(guān)系進(jìn)行了簡(jiǎn)化，使用分子和分母更小的值來近似，最終得到了純律。純律的音階：主音1為F，2為9/8F，3為5/4F，4為4/3F，5為3/2F，6為5/3F，7為15/8F。的確，經(jīng)過近似簡(jiǎn)化后，看上去簡(jiǎn)潔多了，并且聲音也會(huì)好聽一些。 1.3 和弦、調(diào)式和調(diào)性 和弦是指三個(gè)或三個(gè)以上按照一定關(guān)系排列的音同時(shí)或先后發(fā)聲。 1.3.1 三和弦 接下來我們來談?wù)勅拖?。所謂的三和弦，就是指三個(gè)頻率不一樣的音按照一定的關(guān)系排列在一起同時(shí)或先后發(fā)音。我們以主音1的三和弦為例來說明如何構(gòu)成一個(gè)三和弦。 考慮到諧和性，如果讓你再選兩個(gè)音來構(gòu)成這個(gè)三和弦，你會(huì)怎么做呢？對(duì)，首先想到的當(dāng)然是純五度了（即對(duì)應(yīng)的屬音），因?yàn)榧兾宥鹊闹C波與主音的諧波重合部分多，因此我們就找到一個(gè)5。在1到5之間，我們?cè)偃≈虚g的3，就得到了135這個(gè)三和弦。我們把這三個(gè)音中頻率最低的1叫做根音（樹根的根，最低的意思），最高的5叫做冠音（樹冠的冠，最高的意思）。由于1和5之間是五度音的關(guān)系，因此三和弦中的冠音也叫做五音。1和3是三度音的關(guān)系，因此三和弦中間的音叫做三音。由于135的根音到三音（1到3）之間是大三度，因此我們把這個(gè)三和弦叫做大三和弦。 按照同樣的方法，我們可以找出以2為根音的三和弦，即246。在這個(gè)和弦中，由于根音到三音（2到4）之間是小三度，因此叫做小三和弦。我們來對(duì)比一下這兩者之間的差別：大三和弦是由一個(gè)大三度再加上一個(gè)小三度構(gòu)成，而小三和弦剛好相反，是由一個(gè)小三度再加上一個(gè)大三度構(gòu)成。我們?cè)賮砜纯雌呗曌匀灰綦A中的其他幾個(gè)三和弦，357是一個(gè)小三和弦，461是一個(gè)大三和弦，572是一個(gè)大三和弦，613是一個(gè)小三和弦。那么724是什么和弦？由于它由兩個(gè)小三度構(gòu)成，因此它既不是小三和弦也不是大三和弦，它是一個(gè)減三和弦。由于7到4不是純五度，因此這個(gè)和弦不怎么和諧，所以通常不用，在此不詳細(xì)介紹了。從聽覺上來看，大三和弦給人歡快、明亮的感覺，而小三和弦則給人抒情、憂傷的感覺。這應(yīng)該是由根音和三音之間的距離不一樣引起的，距離遠(yuǎn)給人寬敞明亮的感覺，距離近給人壓抑憂郁的感覺。 1.3.2 調(diào)式和調(diào)性 如果我們一個(gè)曲子想要表達(dá)的是歡快、明亮的感情，那么應(yīng)該多使用大三和弦，我們把這樣的曲子叫做大調(diào)式。相反，如果我們一個(gè)曲子想要表達(dá)的是抒情、憂傷的感情，那么應(yīng)該多使用小三和弦，我們把這樣的曲子叫做小調(diào)式。我們知道，主音的屬音和下屬音是非常重要的兩個(gè)音，所以在一個(gè)曲子中，如果主音、屬音、下屬音這三個(gè)音的三和弦都是大三和弦，那么這個(gè)曲子理所當(dāng)然的就是一個(gè)大調(diào)的曲子。相反，如果主音、屬音、下屬音這三個(gè)音的三和弦都是小三和弦，那么這個(gè)曲子理所當(dāng)然的就是一個(gè)小調(diào)的曲。當(dāng)我們作曲時(shí)選擇1作為主音時(shí)，它的屬音是5，下屬音是4，剛好135、572、461這三個(gè)和弦都是大三和弦，因此選1為主音時(shí)就是大調(diào)式的。如果我們作曲時(shí)選擇6當(dāng)作主音，那么它的屬音應(yīng)該是高八度的3，它的下屬音為2（即6到高八度3和2到6都為純五度）。剛好613、357、246這三個(gè)和弦都為小三和弦，因此當(dāng)我們選6為主音時(shí)，就是小調(diào)式的。選擇其他的音作為主音，都沒辦法同時(shí)滿足主音、屬音和下屬音的三和弦同為大三或小三和弦，因此在七聲音階里常見的就只有選1為主音的大調(diào)式和選6為主音的小調(diào)式。通常大調(diào)式的曲子以135中的音開頭和結(jié)尾，而小調(diào)式的曲子以613中的音開頭和結(jié)尾。同樣在民族的五聲音階中，選擇不同的音作為主音，就會(huì)得到不同的調(diào)式。 1.3.3 十二平均律 不管是五聲民族音階還是七聲自然音階，它們都存在一個(gè)問題，就是在一個(gè)只有這些音的樂器上進(jìn)行移調(diào)或轉(zhuǎn)調(diào)是非常困難或是根本無法完成的。這是因?yàn)槊績(jī)蓚€(gè)相臨的音之間的頻率的比值是不一樣的，一旦更換一個(gè)音作為主音，他們之間的關(guān)系就會(huì)發(fā)生改變，從而調(diào)性也會(huì)生改變（例如選1做主音時(shí)為大調(diào)，而選6為主音時(shí)就變成小調(diào)了）。這主要的原因就是，在原來的五度音序中，不管是把第一個(gè)4降低純五度，還是把最后一個(gè)7升高一個(gè)純五度，得到的音都不能在原來的序列中找到。這是由于7到4之間的減五度引起的。因此在七聲自然音階中就無法完成將音序整體平移的功能，也就不能實(shí)現(xiàn)移調(diào)或轉(zhuǎn)調(diào)。 那么怎么解決這個(gè)問題呢？我們能否想辦法制作一種樂器，讓任意兩個(gè)相臨的音之間的比值都一樣呢？ 從我們前面的分析可以知道，七聲音階中存在著大二度和小二度，那么能否將一個(gè)大二度拆分成兩份從而變成兩個(gè)小二度呢？由于一個(gè)大二度的比值是1.125，將其按比例平均拆成兩份，就是對(duì)其開根號(hào)，可得約為1.061，這跟一個(gè)小二度的比值1.053已經(jīng)非常接近了。在一個(gè)八度內(nèi)，我們有五個(gè)大二度，因此就可以拆成10個(gè)接近小二度的音，再加上原有的兩個(gè)小二度，總共就有12個(gè)音。如果我們將一個(gè)八度按照比例關(guān)系平均分成12等份，這樣制造出來的樂器就可以在保持調(diào)性不變的前提下隨便移調(diào)和轉(zhuǎn)調(diào)了。這樣的律制叫做十二平均律。根據(jù)十二平均律制作出來的樂器有鋼琴、吉他、長(zhǎng)笛等樂器。 那么如何將一個(gè)八度音平均分成12等份呢？我們假設(shè)12平均律中任意相臨的兩個(gè)音之間的比例為x，那么x連續(xù)自乘12次之后就得到2（即頻率升高一倍達(dá)到高八度），即x的12次方等于2。由此我們可以知道x等于2的十二分之一次方，即值約為1.059，它的值非常接近五度相生律中的小二度的比例1.053。因此我們可以將十二平均律中任意兩個(gè)相臨的音當(dāng)作是一個(gè)小二度。再由兩個(gè)小二度構(gòu)成一個(gè)大二度，那么它的比值為1.122（2的12分之2次方），與五度相生律中的大二度的比例1.125也非常接近。按照原來七聲音階中大小二度的排列方式（即34、71之間為小二度，其他相臨音之間為大二度），我們?cè)賮碛?jì)算一下十二平均律中的1~7的各頻率，然后再分析一下誤差。 我們還是假設(shè)主音頻率為F，那么十二平均律中1~7的各音的頻率分別為（分別為2的0/12次方、2的2/12次方、2的4/12次方、2的5/12次方、2的7/12次方、2的9/12次方、2的11/12次方）：F、1.122F、1.260F、1.335F、1.498F、1.682F、1.888F。通過與五度相生律對(duì)比可以知道，偏差最大的為7和2，偏差率為約0.5%，這樣的誤差還是可以接受的，畢竟人耳的辨別能力有限。從這里我們也可以得出一個(gè)結(jié)論：不要太過于迷信那些音響設(shè)備中吹噓的頻率穩(wěn)定度到小數(shù)點(diǎn)后多少個(gè)0、電源線有多么牛逼等，那純粹是燒錢，因?yàn)闃菲鞅旧碓陬l率上的誤差就已經(jīng)達(dá)到了0.5%這么多。以目前的電子技術(shù)水平，很容易就能夠滿足這些要求。 1.3.4 關(guān)于音名和標(biāo)準(zhǔn)音高 之前在介紹音階時(shí)，所選取的頻率F并不固定，只要按照相應(yīng)的比列關(guān)系排列即可構(gòu)成對(duì)應(yīng)的音階。這樣得到的音高叫做相對(duì)音高，通常用1~7這樣的唱名表示。為了音樂行業(yè)的規(guī)范，相關(guān)組織規(guī)定了音樂的標(biāo)準(zhǔn)音高，并用A~G這7個(gè)字母來表示不同的絕對(duì)音高，我們把這些字母叫做音的名字，簡(jiǎn)稱音名。 其中規(guī)定了A音的頻率為440Hz。那其它幾個(gè)字母的頻率怎么得來的呢？也許是相關(guān)組織比較喜歡小調(diào)的原因吧，在制定標(biāo)準(zhǔn)音高時(shí)，選擇了以A為主音的小調(diào)式的音階作為A~G的頻率，即A對(duì)應(yīng)6、B對(duì)應(yīng)7、C對(duì)應(yīng)1、D對(duì)應(yīng)2、E對(duì)應(yīng)3、F對(duì)應(yīng)4、G對(duì)應(yīng)5。對(duì)應(yīng)的大調(diào)式的1~7就是CDEFGAB。我們知道34、71之間為小二度，因此對(duì)應(yīng)的EF、BC之間也為小二度。而其他相臨兩個(gè)音之間則為大二度。在十二平均律中，每?jī)蓚€(gè)音之間的距離都是相等的，我們把這樣的距離叫做半音，并且約為一個(gè)小二度。兩個(gè)相臨的半音連在一起，我們就叫它全音，并且約為一個(gè)大二度。因此，在A和B、C和D、D和E、F和G、G和A這些全音之間還存在著5個(gè)音，我們把它們記為#A、#C、#D、#F、#G，#表示在原來的基礎(chǔ)上升高半音的意思（念作升X）。由于E和F、B和C之間是半音，因此就沒有#E和#B，事實(shí)上#E就是F，#B就是C。同樣，我們也可以將高的音降低半音來得到中間的音，在字母前面增加小寫字母b表示（念作降X），這樣就有bA、A、bB、B、C、bD、D、bE、F、bG、G。同樣沒有bC和bF，因?yàn)?/font>bC就是B、bF就是E。 假若我們按照十二平均律來制造一件樂器，并按照頻率由低到高的順序排列，那么這件樂器上的音應(yīng)該就是A、#A、B、C、#C、D、#D、E、F、#F、G、#G。如果這件樂器的音域夠?qū)?，那么?yīng)該就還有其它的八度音，但由于八度音的名字都一樣，因此事實(shí)上也是按照這個(gè)次序排列，只不過是A~G之間的不斷重復(fù)。鋼琴就是這樣一件樂器，它總共有88個(gè)鍵，大約有7個(gè)八度，每個(gè)八度為一組。每組都是按照A、#A、B、C、#C、D、#D、E、F、#F、G、#G的順序排列，其中帶#的為黑鍵，不帶#的為白鍵。因此當(dāng)我們選擇鋼琴上所有的白鍵為一個(gè)自然音階時(shí)，剛好就可以構(gòu)成以C為主音的大調(diào)式，我們把它叫做C大調(diào)。同樣，剛好也可以構(gòu)成以A為主音的小調(diào)式，我們把它叫做A小調(diào)。由于C大調(diào)和A小調(diào)旋律所用的音都是一樣的，我們把C大調(diào)和A小調(diào)叫做關(guān)系大小調(diào)。根據(jù)上面的原理，我們也很容易找到C在哪，兩個(gè)連續(xù)黑鍵的左邊一個(gè)就是C，而三個(gè)連續(xù)黑鍵的左邊就是F。 然而世界上就是有這么巧合和神奇的事情，如果我們把所有的黑鍵拉出來，發(fā)現(xiàn)它竟然剛好就構(gòu)成了我們的民族五聲調(diào)式！也就是說，#F、#G、#A、#C、#D這五個(gè)音剛好構(gòu)成了五聲調(diào)式，讀者可以自行分析一下。 1.3.5 移調(diào)和轉(zhuǎn)調(diào) 由于鋼琴上的各個(gè)琴鍵頻率已經(jīng)固定了，因此如果我們只用白鍵的話，就只能演奏C大調(diào)或A小調(diào)，那如果C大調(diào)或A小調(diào)不適合某些人的演唱，例如需要把曲子整體抬高一點(diǎn)時(shí)怎么辦？對(duì)，這時(shí)就要用到移調(diào)了。所謂的移調(diào)就是，在保持原來調(diào)式和調(diào)性不變的前提下（即要保持原來各音的頻率比例關(guān)系不變），將整個(gè)曲子的音高往上或往下移動(dòng)。 最簡(jiǎn)單的“移調(diào)”當(dāng)然就是直接移一個(gè)八度了，因?yàn)樗械囊粢痪褪穷l率減半，要不就是頻率翻倍，所以其比例關(guān)系還是保持不變的。那如果不是移一個(gè)八度，例如升高一個(gè)純五度，怎么辦呢？保持調(diào)式和調(diào)性不變，事實(shí)上只要保持原有的大、小二度的位置不變就可以了，即34、71之間為小二度，其他相臨音之間為大二度。如果在原有的七聲音階中，另選一個(gè)非1的音作為主音來構(gòu)成大調(diào)式，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致其它的某個(gè)或某些音做升高或降低的調(diào)整，才能保持其大、小二度的關(guān)系不變。 那么是否存在這樣一種可能，我們只將一個(gè)音升高，就可以轉(zhuǎn)到另一個(gè)音為主音的大調(diào)上呢？回答是肯定的，并且被調(diào)整的這個(gè)音以及轉(zhuǎn)調(diào)之后的主音的位置還相當(dāng)?shù)靥厥?，你能想象出來他們是什么音嗎？?duì)，就是下屬音和屬音，這也正是音樂的神奇和魅力所在。具體一點(diǎn)就是，將原來的下屬音升高半音，就可以得到一個(gè)新的音階，原來的屬音就會(huì)變?yōu)樾乱綦A中的主音，而原來的主音就變成了新音階中的下屬音。 以C大調(diào)為例來說，主音為C，下屬音為F，屬音為G。因此我們只要將下屬音F升高半音，就可以得到以屬音G為主音的G大調(diào)了，而原來的主音C則成為了G大調(diào)中的下屬音。按照這個(gè)結(jié)論，我們將G大調(diào)的音按照1~7的順序列出來，就是G、A、B、C、D、E、#F。我們知道BC之間是半音（對(duì)應(yīng)34），而#FG之間也是半音（對(duì)應(yīng)71），而其他兩個(gè)相臨之間的距離都為全音，因此這個(gè)序列剛好滿足七聲自然大調(diào)音階的排布規(guī)律。 按照這個(gè)原理，我們還可以找到在G大調(diào)的基礎(chǔ)上只升一個(gè)音的大調(diào)，其實(shí)就是D大調(diào)（D是G大調(diào)的屬音），只需要將屬音C升高半音，對(duì)應(yīng)的音階的音就是D、E、#F、G、A、B、#C，它剛好也滿足七聲自然大調(diào)音階的全全半全全全半的關(guān)系。G大調(diào)中有一個(gè)升記號(hào)，而D大調(diào)中有兩個(gè)升記號(hào)，以次類推，每轉(zhuǎn)一次調(diào)，就會(huì)在原來的基礎(chǔ)上增加一個(gè)升記號(hào)，并且升的位置都是固定的。反過來說，當(dāng)我們知道多少個(gè)升記號(hào)之后，就可以知道它是什么調(diào)了，例如一個(gè)升為G大調(diào)，兩個(gè)升為D大調(diào)等等。這在我們看五線時(shí)很有用，一看到幾個(gè)#記號(hào)，就可以知道它是什么調(diào)了。從另一方面來說，最后一次加#記號(hào)的那個(gè)音，它的下一個(gè)音就是對(duì)應(yīng)的大調(diào)。例如，如果最后一個(gè)升的音為F，那么它的下一個(gè)音為G，就是G大調(diào)。而五線譜上的#記號(hào)也是按照每次轉(zhuǎn)調(diào)的順序依次標(biāo)記#的，也就是說，你只要看最右邊一個(gè)#記號(hào)在哪，那么它的上方一個(gè)音就是該大調(diào)式的主音。 剛剛我們是將一個(gè)音升高半音，如果我們朝相反的方向考慮，只把一個(gè)音降低半音，是否可以轉(zhuǎn)到另一種大調(diào)式呢？回答當(dāng)然是肯定的，因?yàn)槲覀冎灰褎倓偵胍舻膭?dòng)作退回去，其實(shí)就是等價(jià)這個(gè)音降半音。例如從C大調(diào)轉(zhuǎn)到G大調(diào)，我們是將C大調(diào)的下屬音F升高了半音，那么如果我們?cè)?/font>G大調(diào)的基礎(chǔ)上，想找一個(gè)音降低半音而得到另外一個(gè)大調(diào)，那么很自然地，我們只要將G大調(diào)中的#F音再降回去變成F，就得到C大調(diào)了！我們?cè)賮碛^察一下這個(gè)規(guī)律，C是原來G大調(diào)中的下屬音，通過只將一個(gè)音降半音的方式轉(zhuǎn)調(diào)，就變成了新的C大調(diào)中的主音。而原來的主音G，則變成了新的C大調(diào)中的屬音。被降的這個(gè)音#F，降完之后就變成了新的C大調(diào)中的下屬音F。 你看，整個(gè)轉(zhuǎn)調(diào)過程都是圍繞著主音、屬音、下屬音在轉(zhuǎn)。我們知道在G大調(diào)中，#F為7，也就是主音G前一個(gè)音，因此我們只要將原大調(diào)中的主音前的7降低半音，就可以得到以下屬音為主音的新的大調(diào)音階。按照這個(gè)原則，我們?cè)囍鴮?/font>C大調(diào)中的某個(gè)音降低半音而得到一個(gè)新的大調(diào)音階。我們知道，在C大調(diào)中的下屬音是F，那么轉(zhuǎn)調(diào)后應(yīng)該就是F大調(diào)。而主音C前面的一個(gè)音（即7）為B，所以應(yīng)該將B降低半音，記做bB。我們將F大調(diào)的音階1~7列出來，就是F、G、A、bB、C、D、E，讀者自己去分析一下，它剛好是滿足七聲自然音階的全音和半音排布規(guī)律的。 那么在F大調(diào)的基礎(chǔ)上再通過降半音的方式得到下一個(gè)大調(diào)，應(yīng)該是什么呢？對(duì)，是降B大調(diào)，應(yīng)該將E降半音。如果再來一次，應(yīng)該是什么大調(diào)呢？就是降E大調(diào)。為什么圈圈知道得這么快呢？不知道你發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律沒，上一次降了哪個(gè)音，那么下一次就會(huì)以降完之后的音為主音。例如，我們第一次是將#F降半音從G調(diào)得到了C調(diào)，所以在C調(diào)的基礎(chǔ)上將B降半音就得到了F大調(diào)，再在F大調(diào)的基礎(chǔ)上將E降半音就可以得到降B大調(diào)。因此，在五線譜上，我們只要找到倒數(shù)第二個(gè)b記號(hào)在哪，就可以知道它是什么大調(diào)了。當(dāng)然，通過數(shù)b記號(hào)的個(gè)數(shù)，也可以知道，但就沒那么快了。由于出現(xiàn)升記號(hào)或降記號(hào)的個(gè)數(shù)越多，就越麻煩，因此我們經(jīng)常見到的大調(diào)式就有C大調(diào)、G大調(diào)、F大調(diào)、D大調(diào)、降B大調(diào)、A大調(diào)以及E和降E大調(diào)等幾個(gè)。由于關(guān)系大小調(diào)的旋律音都是一樣的，所以我們找到大調(diào)后，其實(shí)對(duì)應(yīng)的關(guān)系小調(diào)就有了，例如C大調(diào)對(duì)應(yīng)的就是a小調(diào)，而G大調(diào)對(duì)應(yīng)的就是e小調(diào)等。 1.3.6 轉(zhuǎn)調(diào)的原理 再次總結(jié)一下，將大調(diào)音階的下屬音升高半音，就變成了以屬音為主音的新的大調(diào)音階。將大調(diào)音階的導(dǎo)音（即7）降低半音，就變成了以下屬音為主音的新的大調(diào)音階。那么這個(gè)規(guī)律是基于怎樣一個(gè)原理呢？因?yàn)槲宥认嗌傻脑?，其?shí)七聲音階就是一個(gè)純五度的音頻序列。假設(shè)我們從4開始，那么41、15、52、26、63、37都是純五度的關(guān)系，其實(shí)五度相生律就是按照這個(gè)順序，生了6次得出來的，所以剛好有6個(gè)純五度，共7個(gè)音。所以與主音最近的調(diào)應(yīng)該就是以屬音或下屬音為主音的調(diào)了，因?yàn)檫@樣剛好利用了原來大部分的純五度，剛好也就符合了五度相生律的原理。為了方便我們往前或往后移一個(gè)純五度，我們將原來的音頻序列4、1、5、2、6、3、7前后各補(bǔ)一個(gè)純五度，就變成了b7、4、1、5、2、6、3、7、#4（由于7到4是減五度，所以前面的7要降半音，而后面的4要升半音）。因此，當(dāng)我們將屬音變?yōu)橹饕魰r(shí)，只需取后半段，即1、5、2、6、3、7、#4，因此就出現(xiàn)了一個(gè)#4，即把原來的下屬音升高半音。而如果我們把原來的下屬音變成主音，那么只要取前半段，即b7、4、1、5、2、6、3，從而就出現(xiàn)了一個(gè)b7。為了更方面看出來，將原調(diào)、升純五度、降純五度的音階列出來如下： 1.3.7 和弦的名字 我們?cè)倩氐胶拖疑蟻?。前面介紹過三和弦，在七聲自然音階中，有3個(gè)大三和弦，分別為135、461和572，另外還有3個(gè)小三和弦，分別為246、357和613。拿C大調(diào)來說，1對(duì)應(yīng)的是C，因此135這個(gè)和弦對(duì)應(yīng)的就是CEG，我們把它叫做C和弦，以此類推，461對(duì)應(yīng)的就是F和弦，572對(duì)應(yīng)的就是G和弦。而對(duì)于小三和弦，我們?cè)诤竺婕由闲懽帜?/font>m來表示，例如246對(duì)應(yīng)的就是Dm和弦，357對(duì)應(yīng)的就是Em和弦，613對(duì)應(yīng)的就是Am和弦。 在大調(diào)中，由于1是主音，所以135也叫做主和弦，因此C和弦就是C大調(diào)的主和弦。同理，4是下屬音，因此461叫做下屬和弦，而F和弦就是C大調(diào)中的下屬和弦。572就叫做屬和弦，而G和弦就是C大調(diào)中的下屬和弦。 1.3.8 和弦編配 在和弦編配上，一般的曲子都是以主和弦開始，以主和弦結(jié)束，并且通常結(jié)束前的一個(gè)和弦為屬和弦，如常見的1645（和弦級(jí)數(shù)）進(jìn)行。而在旋律音上，大調(diào)式的一般以1和5兩個(gè)開頭、以1結(jié)尾的居多；而對(duì)于小調(diào)式，則以6和3兩個(gè)開頭、以6結(jié)尾的居多。一般我們給曲子配和弦時(shí)，大調(diào)式的就是使用大三和弦居多，小調(diào)式的就使用小三和弦居多。 為了方便描述和記錄，人們也會(huì)用級(jí)數(shù)來表示和弦，這和我們使用1~7這些數(shù)字來表示相對(duì)音高是一樣的道理。在大調(diào)中，135我們叫做I級(jí)和弦，246我們叫做II級(jí)和弦，以次類推。當(dāng)我們轉(zhuǎn)調(diào)后，各級(jí)和弦的性質(zhì)應(yīng)該是保持不變的。例如原來的C大調(diào)曲子中，I級(jí)和弦是大三和弦C，當(dāng)轉(zhuǎn)成G大調(diào)之后，I級(jí)和弦就應(yīng)該是大三和弦G。而原來的五級(jí)和弦（即屬和弦）是大三和弦G，所以轉(zhuǎn)為G大調(diào)后，五級(jí)和弦應(yīng)該是大三和弦D。我們知道在C大調(diào)中II級(jí)和弦為小三和弦Dm，D和Dm的區(qū)別在于，D和弦為D#FA，而Dm和弦為DFA。因此當(dāng)我們轉(zhuǎn)調(diào)伴奏時(shí)，要注意到原來習(xí)慣了的和弦大小關(guān)系的變化。由于一個(gè)八度內(nèi)總共有12個(gè)音，因此就有12個(gè)大三和弦和12個(gè)小三和弦，對(duì)應(yīng)的就有12種大調(diào)式和12種小調(diào)式。 （本文轉(zhuǎn)自http://bbs.21ic.com/blog-157621-114736.html） |
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