初中數(shù)學(xué) | 平面幾何的模型與方法系列分享（四） “兩形”之等邊三角形3

博雅居308 2017-03-07

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周五 | 全科專欄

師訓(xùn)君評

在上一篇文章《初中數(shù)學(xué) | 平面幾何的模型與方法系列分享（三）“兩形”之等邊三角形2》里，作者對等邊三角形+外部一點(diǎn)的模型進(jìn)行了深入研究，講解了等邊三角形+120度角模型的五個(gè)變式。

此外，還將外部的一個(gè)角從120度變成30度、60度、75度、90度，分別得出了不同的結(jié)論。

真是一波未平一波又起，在這一篇文章中，作者又繼續(xù)將上一篇文章中最后一個(gè)模型進(jìn)行拓展，講解和等邊三角形有關(guān)的一個(gè)最值模型。

往期文章點(diǎn)擊下方標(biāo)題即可觀看：

《初中數(shù)學(xué) | 平面幾何的模型與方法系列分享（一）總綱》

《初中數(shù)學(xué) | 平面幾何的模型與方法系列分享（二）“兩形”之等邊三角形》

《初中數(shù)學(xué) | 平面幾何的模型與方法系列分享（三）“兩形”之等邊三角形2》

如圖，在上一篇文章的最后，我們講到了這個(gè)模型。△ABC是等邊三角形，在其外部有一點(diǎn)D，當(dāng)∠BDC=90度時(shí)，把△ABD旋轉(zhuǎn)至△ACM，連接CM、DM，可以證明∠DCM=150度。

延長DC，過M做MQ垂直于DQ，運(yùn)用勾股定理可以得出m,x,y,之間的數(shù)量關(guān)系，即AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系如下：

此時(shí)，∠BDC=90度，我們也可以換一個(gè)角度來理解，把BD和CD看成坐標(biāo)系的y軸和x軸，這就變成了一個(gè)和等邊三角形相關(guān)的一個(gè)非常重要的最值模型：

問題描述：

如圖，邊長為2的等邊三角形△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，求OC的最大值和最小值？

要解決這個(gè)問題，我們介紹兩種方法。

第一種方法叫做“三角形法則“。

如圖所示：

當(dāng)我們需要求一條“未知”的線段（AC）的最大值或最小值的時(shí)候，通常的做法就是將這條線段“放進(jìn)”一個(gè)另外兩邊（AB、BC）都已知的三角形中，利用三角形“兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊”的法則，得出未知線段的最值。

在上述示意圖中，|AB-BC|≤AC≤AB+BC ，當(dāng)AB和BC反向共線時(shí)取得最大值，當(dāng)AB和BC同向重合時(shí)取得最小值。

運(yùn)用這個(gè)方法，我們要求OC的最值，首先要想辦法把OC放進(jìn)一個(gè)另外兩邊都已知的三角形中，我們發(fā)現(xiàn)△OAC，△OBC都不可以，因?yàn)镺A和OB都不是已知線段。這時(shí)，聯(lián)想到要在“變化之中尋找不變量”，應(yīng)該取AB的中點(diǎn)M，因?yàn)樾边呏芯€OM的長度始終等于AB的一半，等于1，這就是不變量。繼續(xù)連接CM，它也是可求的，等于根3。

于是，當(dāng)O，M，C共線時(shí)，OC取得最大值=1+根3。

當(dāng)OC取最小值的時(shí)候，比較難直觀理解，我們來看一下圖：

第二種方法是“構(gòu)造輔助圓”，如圖：

要求一條線段的最值，通常的情況是這條線段一個(gè)端點(diǎn)是定點(diǎn)，一個(gè)端點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)。（兩個(gè)端點(diǎn)都是定點(diǎn)就是定值啦，兩個(gè)端點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)的情況以后講“最值專題”的時(shí)候?qū)ｉT再講。）如果我們能找到這個(gè)動(dòng)點(diǎn)是在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，就可以利用“圓外一個(gè)定點(diǎn)到圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”的法則來求最值：如圖，當(dāng)線段過圓心時(shí)，PA最大，PB最小。

接下來，我們再看原題，也可以理解為△ABC不動(dòng)，坐標(biāo)系在運(yùn)動(dòng)，這是相對運(yùn)動(dòng)的思想。由于∠AOB始終等于90度，可以知道，點(diǎn)O在以AB為直徑的⊙M上運(yùn)動(dòng)。

此時(shí)，當(dāng)OC過圓心M時(shí)取得最大值和最小值。

取最大值的情況如下：

取最小值的情況如下：

到這里我們要小結(jié)一下：請記住這兩種方法，求“單條線段的最值”，一是用三角形法則，二是用輔助圓法則。（還是要備注一下，這里我們僅僅講到了最值問題的皮毛，詳細(xì)的最值問題以及分類我們后面會講到哈。）

接下來，我們繼續(xù)進(jìn)行拓展，又繼續(xù)思考當(dāng)∠AOB不等于90度，而是其他特殊角度的時(shí)候，如何求最值。

變式一：如下圖：當(dāng)∠AOB=60度時(shí)，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在直線OA和OB上運(yùn)動(dòng)，求OC的最大值和最小值。

這個(gè)時(shí)候，我們經(jīng)過實(shí)踐探究就會發(fā)現(xiàn)，“三角形法則”在這里不太好用，OC無法放進(jìn)一個(gè)兩邊都已知的三角形中。這里用輔助圓法則更好。

如圖：

當(dāng)OC過△ABC的外接圓圓心時(shí)可以求最值，此時(shí)，求解的關(guān)鍵是要求出△ABC的外接圓半徑，求解過程如下：

此時(shí)，OC的最大值和最小值如下：

變式二：如下圖：當(dāng)∠AOB=30度時(shí)，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在直線OA和OB上運(yùn)動(dòng)，求OC的最大值和最小值。

變式三：如下圖：當(dāng)∠AOB=45度時(shí)，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在直線OA和OB上運(yùn)動(dòng)，求OC的最大值和最小值。

變式四：如下圖：當(dāng)∠AOB=62.5度時(shí)，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在直線OA和OB上運(yùn)動(dòng)，求OC的最大值和最小值。

變式五：如下圖：當(dāng)∠AOB=75度時(shí)，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在直線OA和OB上運(yùn)動(dòng)，求OC的最大值和最小值。

以上幾種變式的最值，請各位讀者自行參考變式一的求解方法進(jìn)行求解，順便可以鞏固一下這個(gè)模型及方法。

此外，這個(gè)模型的出題方式還可以作一點(diǎn)修改，比如說限定點(diǎn)A和點(diǎn)B只能在“射線”O(jiān)A和OB上運(yùn)用，請思考OC有最大值還是有最小值？

總結(jié)

好了，又到了總結(jié)的時(shí)間。在本篇文章中，我們從上一篇文章《初中數(shù)學(xué) | 平面幾何的模型與方法系列分享（三）“兩形”之等邊三角形2》的最后一個(gè)模型出發(fā)，將等邊三角形外部的一個(gè)直角變成了“直角坐標(biāo)系”，進(jìn)而引入了一個(gè)非常重要的和等邊三角形相關(guān)的最值模型。我們對這個(gè)最值模型給出了兩種求解方法：1三角形法則；2輔助圓法則。

同時(shí)，我們又繼續(xù)進(jìn)行拓展和變形，將“直角坐標(biāo)系”變成了“特殊角度的兩條直線”，給出了五個(gè)變式。對第一個(gè)變式，給出了證明過程，其余變式留給讀者思考。

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更多幾何模型和方法，敬請期待下期師訓(xùn)講堂文章分享。

下期內(nèi)容預(yù)告

初中數(shù)學(xué) | 平面幾何的模型與方法系列分享（五）“兩形”之等邊三角形4

關(guān)于作者

樊浪，新東方教育科技集團(tuán)中級教學(xué)培訓(xùn)師，新東方優(yōu)能中學(xué)推廣管理中心高級產(chǎn)品架構(gòu)師，新東方二十周年功勛教師。

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