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28銳角三角函數(shù)
【編者按】本章內(nèi)容主要學(xué)習(xí)正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念以及研究直角三角形中的邊角關(guān)系和解直角三角形的內(nèi)容。通過本章的學(xué)習(xí)應(yīng)該掌握銳角三角函數(shù)以及直角三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。
一、目標(biāo)與要求
1.通過實(shí)例認(rèn)識直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA），記憶30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函數(shù)值，并會(huì)由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角；
2.會(huì)使用計(jì)算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值會(huì)求它的對應(yīng)的銳角．
3.運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的簡單的實(shí)際問題．
4.理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會(huì)用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題；初步感受高等數(shù)學(xué)中的微積分思想．
5.通過綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．
6.能綜合運(yùn)用直角三角形的勾股定理與邊角關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題．
二、重點(diǎn)與難點(diǎn)
1．重點(diǎn)
（1）銳角三角函數(shù)的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函數(shù)值也很重要，應(yīng)該牢牢記住．
（2）能夠運(yùn)用三角函數(shù)解直角三角形，并解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題．
2．難點(diǎn)
（1）銳角三角函數(shù)的概念．
（2）經(jīng)歷探索30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的過程，鍛煉學(xué)生觀察、分析，解決問題的能力．
三、知識框架
四、知識點(diǎn)、概念總結(jié)
 1.Rt△ABC中
(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝
(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝
(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝
(4)∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作cota＝
2.特殊值的三角函數(shù)：
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a
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sina
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cosa
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tana
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cota
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30°
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45°
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1
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1
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60°
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3. 互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系
sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,
tan(90°-α)=cotα,
cot(90°-α)=tanα.
4. 同角三角函數(shù)間的關(guān)系
平方關(guān)系：
sin2(α)+cos2(α)=1
tan2(α)+1=sec2(α)
cot2(α)+1=csc2(α)
積的關(guān)系：
sinα=tanα·cosα
cosα=cotα·sinα
tanα=sinα·secα
cotα=cosα·cscα
secα=tanα·cscα
cscα=secα·cotα
倒數(shù)關(guān)系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
5. 三角函數(shù)值
（1）特殊角三角函數(shù)值
?。?span lang="EN-US">2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。
?。?span lang="EN-US">3）銳角三角函數(shù)值的變化情況
（i）銳角三角函數(shù)值都是正值
?。?span lang="EN-US">ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，
正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?
余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?
正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?
余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）
?。?span lang="EN-US">iii）當(dāng)角度在0°≤∠A≤90°間變化時(shí)，
0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0,
當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí)，
tanA>0, cotA>0.
特殊的三角函數(shù)值 （包含90度角）
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0°
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30°
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45°
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60°
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90°
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sinA
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0
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1/2
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√2/2
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√3/2
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1
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cosA
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1
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√3/2
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√2/2
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1/2
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0
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tanA
|
0
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√3/3
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1
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√3
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None
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cotA
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None
|
√3
|
1
|
√3/3
|
0
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6.解直角三角形的基本類型
解直角三角形的基本類型及其解法如下表：
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類型
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已知條件
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解法
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兩邊
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兩直角邊a、b
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c= ，tanA= ，∠B=90°-∠A
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一直角邊a，斜邊c
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b= ，sinA= ，∠B=90°-∠A
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一邊一銳角
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一直角邊a，銳角A
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∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
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斜邊c，銳角A
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∠B=90°-∠A，a=c·sinA，
b=c·cosA
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7.仰角、俯角
當(dāng)我們進(jìn)行測量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．
（參考教材：初中數(shù)學(xué)九年級人教版）
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