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二次函數 I.定義與定義表達式 一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關系： y=ax2+bx+c（a,b,c為常數,a≠0） 則稱y為x的二次函數. 二次函數表達式的右邊通常為二次三項式. II.二次函數的三種表達式 一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數,a≠0） 頂點式：y=a(x-h)2+k [拋物線的頂點P（h,k）] 交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點A（x1,0）和 B（x2,0）的拋物線] 注：在3種形式的互相轉化中,有如下關系: h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a III.二次函數的圖象 在平面直角坐標系中作出二次函數y=x2的圖象, 可以看出,二次函數的圖象是一條拋物線. IV.拋物線的性質 1.拋物線是軸對稱圖形.對稱軸為直線 x = -b/2a. 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P. 特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個頂點P,坐標為 P [ -b/2a ,(4ac-b2)/4a ]. 當-b/2a=0時,P在y軸上；當Δ= b2-4ac=0時,P在x軸上. 3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小. 當a＞0時,拋物線向上開口；當a＜0時,拋物線向下開口. |a|越大,則拋物線的開口越小. 4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置. 當a與b同號時（即ab＞0）,對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0）,對稱軸在y軸右. 5.常數項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點個數 Δ= b2-4ac＞0時,拋物線與x軸有2個交點. Δ= b2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點. Δ= b2-4ac＜0時,拋物線與x軸沒有交點. V.二次函數與一元二次方程 特別地,二次函數（以下稱函數）y=ax2+bx+c, 當y=0時,二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程）, 即ax2+bx+c=0 此時,函數圖象與x軸有無交點即方程有無實數根. 函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根. 與問題無關的僅供參考 |
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