導數及其應用·易混易錯4點 所屬專輯：一輪復習高考數學易混易錯88點 高考復習講義數學編輯部  筆記簡介 導數及其應用·易混易錯4點 易錯點 1：求導法則用錯致誤
(1)函數y= 的導數是 A. B.-sin x C. D. (2)求函數y=ax·x2的導數.  【易錯分析】 導數的概念與運算是導數的基礎,但往往因為對公式的結構規(guī)律或求導法則記憶不正確而出錯,如(1)中對商的求導公式的記憶不正確,(2)中將 與 的求導法則相混淆，致結果出錯. 【正確解答】 (1) = = , 故選C. (2)y'=(ax·x2)' =ax·ln a·x2+2x·ax =ax(x2ln a+2x). zhuangyuanbiji
導數的運算 基本初等函數的求導公式和導數的四則運算法則是進行導數運算的基礎,必須牢記 .另外,要學會逆用運算法則. 導數的運算有很多變形技巧,稍有疏忽就會出錯.對有些函數而言,將它們的解析式化簡后再求導會極大地簡化運算,而有些函數,必須先將它們的解析式變形后才能求其導數,求導時要先觀察解析式的特征,盡可能將其化為基本初等函數求導.一般來說,分式函數的求導,要先觀察函數的結構特征,看是否可以化為整式函數或較為簡單的分式函數;三角函數的求導,先進行化簡再求導. 易錯題2：導數的幾何意義不明致誤
已知函數f(x)=x+(t>0)和點P(1,0)，過點P作曲線 的兩條切線PM,PN,切點分別為M(x1,y1),N(x2,y2). (1)求證:x1,x2為關于x的方程x2+2tx-t=0的兩根; (2)設|MN|=g(t),求函數g(t)的表達式. 【易錯分析】 解本題易出現的錯誤為:(1)不理解導數的幾何意義,求錯切線方程;(2)不能根據第(1)問的結果尋找合理的方法求解 g(t),在根據兩點間的距離公式求出g(t)后,不能正確利用根與系數的關系進行整體代入,導致最后結果出錯. 【正確解答】 (1)由題意,可知, 因為 所以切線PM的方程為 又切線PM過點P(1,0), 所以 即+2tx1-t=0.① 同理,由切線PN也過點P(1,0),得+2tx2-t=0.② 由①②,可得x1,x2是方程x2+2tx-t=0的兩根. (2)由(1),知 |MN|= = = , 所以g(t)=(t>0). 利用導數的幾何意義求解曲線的切線斜率時,一定要檢驗已知點是否是曲線上的點,如【典例8】中,雖然點P的坐標是確定的,但該點不是切點,因為t>0,f(1)=1+t≠0,并且函數圖像上任意一點處的切線只有一條,而【典例8】中“過點P作曲線的兩條切線”,所以點P不是切點. zhuangyuanbiji
導數的幾何意義的應用 函數y=f(x)在點x0處導數的幾何意義就是曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線的斜率.關于導數幾何意義的常見題型主要有以下三種: 一是已知曲線切線的切點坐標,求切線方程. 這類題通常已知切點的坐標(或橫坐標),可根據導數的幾何意義直接求出切線的斜率.即先求出函數y=f(x)在點x0處的導數f '(x0),再得切線方程y-f(x0)=f '(x0)(x-x0). 二是已知曲線外一定點,求經過該點的切線方程. 此時要注意“過點A的切線”與“點A處的切線”是不同的.如果已知點不是切點,則在求解時應先設切點為(x0,y0),再根據條件求出切點坐標及切線斜率,最后確定切線方程. 三是已知曲線的切線方程(或斜率),求切點坐標. 由于曲線斜率為某一定值的切線不一定唯一,利用已知直線的斜率求出的切點未必滿足已知切線方程,因此應注意將所求切點代入直線(或曲線)方程進行檢驗. 易錯點3：導數與單調性關系運用不當致誤
已知二次函數f(x)=ax2+bx+c,滿足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是-. (1)求f(x)的解析式; (2)設函數h(x)=ln x-2x+f(x),若函數h(x)在區(qū)間[,m-1]上是單調函數,求實數m的取值范圍. 【易錯分析】 求函數的單調區(qū)間就是解導數大于零或小于零的不等式,受此思維定式的影響,容易認為導函數在區(qū)間[,m-1]上大于零或小于零,而忽視了導函數在區(qū)間[,m-1]上的個別點處可以等于零,這樣的點不影響函數的單調性. 【正確解答】 (1)因為二次函數f(x)滿足f(0)=f(1)=0,所以其對稱軸為x=. 又f(x)的最小值是-, 故f(x)=a(x-)2-. 因為f(0)=0, 所以a=1, 故f(x)=x2-x. (2)因為h(x)=ln x-2x+x2-x=ln x+x2-3x, 所以h'(x)=+2x-3=, 所以h(x)的單調遞增區(qū)間為(0,]和[1,+∞),單調遞減區(qū)間為[,1]. 根據題意,得 解得m≤2. 故實數m的取值范圍是(,2]. 【典例9】第(2)問中,根據題設條件,知對于區(qū)間[,m-1]有m-1>,再結合二次函數y=(2x-1)(x-1)的圖像與性質,得出導函數h'(x)在區(qū)間[,m-1]上不大于零,或區(qū)間[,m-1]是使導函數h'(x)不大于零的集合的子集,對這個結論要弄清楚,不要混淆. 研究函數的單調性與其導函數的關系時,考生要注意以下細節(jié)問題:f '(x)<>x∈(a,b))是f(x)在(a,b)上單調遞減的充分不必要條件.實際上,可導函數f(x)在(a,b)上為單調遞增(減)函數的充要條件為:對于任意x∈(a,b),有f'(x)≥0(f '(x)≤0)且f '(x)在(a,b)的任意子區(qū)間上都不恒為零. 已知函數的極值求參數時,通常利用函數的導數在極值點處的極值等于零來建立關于參數的方程,但所求得的參數值必須進行檢驗. zhuangyuanbiji
函數的導函數與其單調性之間的關系 (1)在區(qū)間(a,b)上,若f '(x)>0,則f(x)在這個區(qū)間上單調遞增;若f '(x)<>則f(x)在這個區(qū)間上單調遞減;若f '(x)=0恒成立,則f(x)在這個區(qū)間上為常函數;若f '(x)的符號不確定,則f(x)不是單調函數.(2)若函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增,則 其逆命題不成立，因為f '(x)≥0包括f '(x)>0或f '(x)=0,當f '(x)>0時,函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增,當f '(x)=0時,f(x)在這個區(qū)間內為常函數;同理,若函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減,則f '(x)≤0,其逆命題不成立.(3)使f '(x)=0的離散的點不影響函數的單調性. 易錯點4：導數與極值關系運用不當致誤
設函數f(x)=ax3-2x2+x+c(a>0). (1)當a=1,且函數圖像過(0,1)時,求函數的極小值; (2) 若f(x)在R上無極值點,求a的取值范圍 【易錯分析】 求出導函數f '(x)的零點,然后判斷導函數在零點兩側的函數值符號,若符號相反,則該零點是可導函數f(x)的極值點,若符號相同,則不是極值點. 【正確解答】 由題得f '(x)=3ax2-4x+1. (1)函數圖像過(0,1)時,有f(0)=c=1. 當a=1時,f '(x)=3x2-4x+1. 令f '(x)>0,解得x或x>1; 令f '(x)<>解得x<> 所以函數在(-∞,]和[1,+∞)上單調遞增,在[,1]上單調遞減,極小值是f(1)=13-2×12+1+1=1. (2)若f(x)在R上無極值點,則f '(x)在R上是單調函數,即f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立. ①當a=0時,f '(x)=-4x+1,顯然不滿足條件; ②當a≠0時,f '(x)≥0或f '(x)≤0恒成立的充要條件是Δ=(-4)2-4×3a×1≤0, 即16-12a≤0,解得a≥. 綜上,a的取值范圍為[,+∞). 考生應該注意區(qū)分極值與最值的概念.函數的極值表示函數在某一點附近的情況,是在局部對函數值的比較;函數的最值表示函數在一個區(qū)間上的情況,是對函數在整個區(qū)間上的函數值的比較.函數的極值不一定是最值,最值點也不一定是極值點. zhuangyuanbiji
函數的導數和極值點之間的關系 f '(x0)=0只是可導函數f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件,從以下三個方面理解函數的導數與極值點的關系:(1)定義域D上的可導函數f(x)在x0處取得極值的充要條件是 f '(x0)=0,并且 f '(x)在x0兩側異號,若“左負右正”則x0為極小值點,若“左正右負”則x0為極大值點;(2)函數f(x)在x0處取得極值時,它在這點的導數不一定存在,例如函數y=|x|,結合圖像,知它在x=0處有極小值,但它在x=0處的導數不存在;(3)f '(x0)=0既不是函數f(x)在x=x0處取得極值的充分條件也不是必要條件.最后提醒考生一定要注意對極值點進行檢驗. 感謝你閱讀微學筆記！ 這里是您的云端筆記資料庫，長圖文筆記貼，一頁盡覽知識點！ 剪輯、粘貼、拼接，輕松三步，即可快速創(chuàng)建自己的私人微筆記！ |
