預(yù)告：春節(jié)后更新中考真題填空與選擇“壓軸題”的正經(jīng)分析與不正經(jīng)技巧！

題目：

如圖，拋物線L與x軸從左到右的交點(diǎn)為B，A，過線段OA的中點(diǎn)M作MP⊥x軸，交雙曲線J：y=k/x（k＞0，x＞0）于點(diǎn)P，且OA×MP=12。

1、求k值；

2、當(dāng)t=1時(shí)，求AB長(zhǎng)，并求直線MP與L對(duì)稱軸之間的距離；

3、把L在直線MP左側(cè)部分的圖象（含與直線MP的交點(diǎn)）記為G，用t表示圖象G最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

4、設(shè)L與雙曲線有個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x'，且滿足4≤x'≤6。通過L位置隨t變化的過程，直接寫出t的取值范圍。

分析：

題目1：

問：怎么找k的關(guān)聯(lián)條件？

答：倒著推：與k相關(guān)的是點(diǎn)P，但點(diǎn)P的坐標(biāo)是變化的；與P相關(guān)的是MP⊥x軸，以及OA×MP=12，其中M和A的坐標(biāo)與L相關(guān)。

第一步：求A與M的坐標(biāo)

• A是L與x軸交點(diǎn)中靠右的一個(gè)：L與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（t－4，0）與（t，0），由于t－4＜t，所以A（t，0），B（t－4，0） ；

• M是OA的中點(diǎn)：所以M（t/2，0）

第二步：求P的坐標(biāo)（表達(dá)式）

• MP⊥x軸：所以P的橫坐標(biāo)為t/2；

• P在J上：所以P的縱坐標(biāo)為2k/t

第三步：翻譯OA×MP=12

注意，也可以先翻譯這個(gè)條件求出P的縱坐標(biāo)的另一種表達(dá)式，然后代入J解析式。

• OA：由于t＞0，所以O(shè)A=︱O橫坐標(biāo)－A橫坐標(biāo)︱=t；

• MP：由于k＞0，所以MP=︱P縱坐標(biāo)－M縱坐標(biāo)︱=2k/t；

• OA×MP=12：即t×2k/t=12，可得k=6

題目2：

問：t=1時(shí)，AB=？

答：AB的長(zhǎng)度與t有關(guān)系嗎？AB=︱A橫坐標(biāo)－B橫坐標(biāo)︱≡4

問：MP與L對(duì)稱軸的距離是多少？

答：求出L與x軸的交點(diǎn)，然后計(jì)算此交點(diǎn)與M的距離即可。

第一步：求L的對(duì)稱軸

對(duì)L解析式變形，或者直接求AB中點(diǎn)，都可以求出L對(duì)稱軸的一般形式（含t）：x=t－2。當(dāng)t=1時(shí)，對(duì)稱軸為x=－1，與x軸交點(diǎn)為（－1，0）。

第二步：計(jì)算距離

M坐標(biāo)為（t/2，0），t=1時(shí)為（1/2，0）。所以MP與L的距離為3/2；

題目3：

問：G的坐標(biāo)怎么求？

答：當(dāng)沒有MP做限制時(shí)，L的最高點(diǎn)是頂點(diǎn)（t－2，2）。但是當(dāng)MP對(duì)L作“切割”后，L的頂點(diǎn)（對(duì)稱軸）有可能落在MP左側(cè)，也有可能在右側(cè)，還有可能在MP上，共計(jì)3種情形。我們分類陳述：

• 對(duì)稱軸在MP左側(cè)：即t－2＜t/2，此時(shí)G就是MP與L的交點(diǎn)；

• 對(duì)稱軸與MP重合：即t－2=t/2，此時(shí)G與L頂點(diǎn)重合；

• 對(duì)稱軸在MP右側(cè)：即t－2＞t/2，此時(shí)G就是L的頂點(diǎn)。

整理，即有

題目4：

預(yù)警：本題暫未找到初中學(xué)力范圍的“嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹睌?shù)學(xué)方法，甚至即便超出學(xué)力范圍的方法也比較復(fù)雜，不能快速實(shí)現(xiàn)解題。在復(fù)雜的嘗試后，會(huì)給出以解題為目標(biāo)的方法，請(qǐng)保持耐心。

問：t的變化范圍？

答：t的限制條件有哪些？3個(gè)：

• 題目預(yù)設(shè)的t＞0；

• L與J有交點(diǎn)：如果t僅僅滿足t＞0，則L與J有可能沒有交點(diǎn)；

• 交點(diǎn)橫坐標(biāo)x'滿足4≤x'≤6：交點(diǎn)不能隨意，必須在這個(gè)范圍內(nèi)。

翻譯上述條件：

第一步：求交點(diǎn)坐標(biāo)

能對(duì)上式進(jìn)行因式分解嗎？肯定可以，但暫時(shí)我沒有找到分解方法。所以，換思路。

第二步：既然解不出x關(guān)于t的表達(dá)式，能解出t關(guān)于x的表達(dá)式嗎？

能！將上式變形為關(guān)于t的方程，把t看做關(guān)于x的函數(shù)。

注意到，4≤x≤6時(shí)，x+2＞2√（1－3/x），即總有t＞0。

第三步：判斷t的取值范圍

超學(xué)力內(nèi)容來了

問：怎么判斷？

答：對(duì)t關(guān)于x求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，從而得到x在區(qū)間[4,，6]變化時(shí)t的取值范圍。

如此，可以得到取值范圍如下

天阿魯?shù)模∵@也太復(fù)雜了吧，再說考試的時(shí)候時(shí)間也不夠啊！別急，下面分享

題目4的“正確打開方式”：讓L“動(dòng)”起來

我們把L從左向右的運(yùn)動(dòng)大致分為3個(gè)階段：

• L第一次與J（4≤x≤6，即標(biāo)黃部分）有交點(diǎn)開始，直到不再有交點(diǎn)，如圖

在這個(gè)階段，L（右半側(cè)）與J（4≤x≤6）始終有交點(diǎn)，我們將x=4和x=6代入J，得到兩個(gè)邊界交點(diǎn)的坐標(biāo)（4，3/2）與（6，1），然后再代入L得到t=5、t=7（對(duì)應(yīng)x=4）與t=8－√2、t=8+√2（對(duì)應(yīng)x=6）。根據(jù)圖像，我們?nèi)取值中較小的一對(duì)，即t=5與t=8－√2；

• L橫跨過J（4≤x≤6），無交點(diǎn)，如圖

• L第二次與J（4≤x≤6）有交點(diǎn)開始，直到不再有交點(diǎn)，如圖

在這個(gè)階段L（左半側(cè)）與J（4≤x≤6）始終有交點(diǎn)，此時(shí)得到t=7與t=8+√2。

最后，上一張全家福圖片，密集癥患者慎入哦。

回顧：

1、個(gè)人認(rèn)為題目4最后陳述的方法借助了大量的幾何想象，不算是個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法。但是，能快速得到答案；

2、題目4畫草圖即可，沒有必要畫那么精細(xì)；

3、可以看到，L向右運(yùn)動(dòng)過程中，與J的第一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)一定小于4；

4、交點(diǎn)（4，3/2）對(duì)應(yīng)了L的第1和第4個(gè)位置形態(tài)，交點(diǎn)（6，1）對(duì)應(yīng)了L的第2和第5個(gè)位置形態(tài)。但在實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程中，L是依次到達(dá)第1、第2個(gè)位置形態(tài)，然后進(jìn)入“放空”階段，橫跨雙曲線標(biāo)黃的那一段，然后再依次到達(dá)第4、第5個(gè)位置形態(tài)。

（微信公眾號(hào)：數(shù)雅。分享“找到解題方法”的方法?。?/strong>