（許興華選編）

三視圖的投影特征是“長對正，高平齊，寬相等”，即正、俯視圖的長對正，正、側(cè)視圖的高平齊，俯、側(cè)視圖的寬相等．

將物體的三視圖復原成其所表示的幾何體，需抓住以下幾個讀圖要點：

思路：由正、側(cè)視圖可以看出，該幾何體可分解成上、下兩部分(也可由正、俯視圖將幾何體分解為左、中、右三部分)，結(jié)合俯視圖，得上半部分是長、寬、高分別為3、3、l的長方體，下半部分是長、寬、高分別為1、3、3的長方體，因而，所求幾何體的體積為3×3×l+1×3×3=18(cm立方)．

[例2]一個幾何體的三視圖如圖2所示，則該幾何體的表面積為多少?
思路：從各視圖的外圍部分看，該幾何體的構(gòu)成中有一個長、寬、高分別為8、6、2的長方體，再從各視圖內(nèi)的其他線條來看，該幾何體是從長方體中挖去了一個直徑為4、高為2的圓柱體，且挖去圓柱體的軸線為長方體兩豎直對角面的交線，因而，幾何體的表面積

思路：如圖4，我們在俯視圖的各正方形中分別標出在該位置上搭疊的長方塊個數(shù)，由正視圖第2列有2個長方形知，標記“2或1”的3個框中，右邊二框至少有一框應(yīng)為“2”，由側(cè)視圖第2列有2個長方形知，標記“2或1”的3個框中，下邊二框至少有一框應(yīng)為“2”，所以這3個框中的標記有5種可能的情形．圖4的

右邊標示出了這3個框的對應(yīng)位置上各自搭疊的長方塊個數(shù)所有情形)

二、辨識圖形特征

【例4 】一空間幾何體的三視圖如圖5所示，則該幾何體的體積為(     )

思路：由正、側(cè)視圖，將該幾何體分解成上、下兩半部分，再由三視圖的投影特征，將上、下兩半部分的三視圖分離開來，即可得上半部分為一正四棱錐，下半部分為一圓柱(圖6)．且正四棱錐的底面正方形內(nèi)接于圓柱的底面圓，正四棱錐的側(cè)棱長和底面正方形對角線長均為2，圓柱的底面直徑和高均為2．故所求幾何體的體積

【例5】一個幾何體的三視圖如圖7所示，則這個幾何體的體積為多少？

思路：由俯、側(cè)視圖，將該幾何體分解成前、后兩半部分，再由三視圖的投影特征，將前、后兩半部分的三視圖分離開來(略)，即可得前半部分為一正六棱柱，后半部分為一圓柱，從而

思路：我們可應(yīng)用排除法，由正、側(cè)、俯視圖依次排除(A)、(B)、(C)選項，得正確選項為(D)．以下則通過對三視圖的分析，辨識特征，還原幾何體．

由正、側(cè)視圖，將該幾何體分解成上、下兩半部分，再由三視圖的投影特征，將上、下兩半部分的三視圖分離開來(圖9)，即可得上半部分為一直三棱柱，下半部分為一長方體．(還可由正視圖中的虛實線條關(guān)系知，兩部分簡單幾何體的前面在同一平面內(nèi)；由側(cè)視圖中的虛實線條關(guān)系知，兩半部分簡單幾何體的左面在同一平面內(nèi))據(jù)此得正確選項為(D)．

三、注意垂直與平行關(guān)系

如果我們將各投影面均看成由2條橫線、2條豎線所組成的矩形，則(1)垂直于某一投影面的線段在與其垂直的投影面上的投影為一個點，在另外二個投影面上的投影均為一條保持其長度的橫線或豎線；平行于某一投影面且不垂直于其他投影面的線段，在與其平行的投影面上的投影為一條保持其長度的非橫非豎線段，在另外二個投影面上的投影均為一條(長度縮短了的)橫線或豎線；不平行于任一投影面的線段在三個投影面上的投影均為一條(長度縮短了的)非橫非豎線段．(2)在幾何體中，垂直于某一投影面的面在該投影面上的投影為一條線段；平行于某一投影面的面在該投影面上的投影保持了原形狀，在另外兩個投影面上的投影均為一條橫向或豎向的線段．

思路：我們在三個視圖的各相關(guān)點處標上如圖11的字母。

由三視圖的投影特征知，俯視圖上的線段日G、H1分別與正視圖

上的點曰、側(cè)視圖上的點F相對應(yīng)；點A和D為三棱錐上的同一點，它們都與俯視圖上的點．，相對應(yīng)(正視圖上的線段AB、AC及側(cè)視圖上的線段DE、DF均分別對應(yīng)于俯視圖上的線段-，G、J，)．

故得原幾何體為圖12所示的三棱錐，其中垂直于上底面GHI．結(jié)合

注：問題破解的關(guān)鍵點，是找到正視圖、左視圖上的點A、D均與俯視圖上的點．，相對應(yīng)，并由此得到原三棱錐底面的垂線A上實際畫圖時，可不標記字母．

【例8】 一個空間幾何體的三視圖如圖13所示，則該幾何體的表面積為(    )

思路：由三視圖的投影特征知，俯視圖中正方形框上的2條橫線、框內(nèi)的2條橫線分別對應(yīng)于側(cè)視圖上梯形下底的2端點、上底的2端點，則原幾何體為左、右二側(cè)面為等腰梯形的直四棱柱(左、右二側(cè)面均與下側(cè)面垂直)，其表面積
思路：由三個視圖的輪廓均為三角形知，該幾何體為底面是直角三角形的三棱錐．現(xiàn)在三個視圖的各相關(guān)點處標上如圖15的字母．由三視圖的投影特征知，點A和E、B和H、G和．，分別為三棱錐上的同一點．由俯視圖的輪廓為直角三角形知，由側(cè)視圖為不含其他線條的直角三角形知，側(cè)視圖上的線段EF對應(yīng)于俯視圖上的點，，且正視圖上的線段AB、AC均對應(yīng)于側(cè)視圖上的線段EF，從而，后側(cè)面與下底面垂直，正視圖中的點A和俯視圖中的點K相對應(yīng)，由此得原三棱錐如圖16所示．

四、少于三個的視圖問題

【例10 】一個正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長相等，體積為23，它的三視圖中的俯視圖如圖17所示，左視圖是一個矩形，則這個矩形的面積是多少？

思路：設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長均為a，則

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