斯坦納-雷米歐司定理

　　斯坦納-雷米歐司定理:

　　兩內(nèi)角的平分線相等的三角形是等腰三角形

　　設(shè)在三角形ABC中，有B、C的角平分線CF、BE交于O 

BE是角平分線推出：BC/CE=AB/AE，同理：BC/BD=AC/AD，因?yàn)?/span>BD=CE，所以等量代換得出： 

AB/AE=AC/AD，角A是公共角，所以三角形ACD與ABE相似，所以LACD=LABE，同理LBDC=LBEC，再加上BD=CE，所以三角形BOD全等于三角形OEC，所以OB=OC且LDBE=LECD，OB=OC推出LOBC=LOCB，再等量代換得到LABC=LACB，所以AB=AC 

注:"L"為角的符號(hào)

證明一：

　　已知：三角形ABC，角B、角C的平分線是BE、CD

作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC

　　∵BE=DC

　　∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF

　　設(shè)∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β

　　∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);

　　∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);

　　∴∠FBC=∠CEF

　　∵2α+2β<180°,∴α+β<90°

　　∴∠FBC=∠CEF>90°

　　∴過C點(diǎn)作FB的垂線和過F點(diǎn)作CE的垂線必都在FB和CE的延長(zhǎng)線上.

　　設(shè)垂足分別為G、H;

　　∠HEF=∠CBG;

　　∵BC=EF,

　　∴Rt△CGB≌Rt△FHE

　　∴CG=FH,BG=HE

　　連接CF

　　∵CF=FC,FH=CG

　　∴Rt△CGF≌△FHC

　　∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD

　　∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB

　　∴∠ABC=∠ACB

　　∴AB=AC

　　證明二：

　　設(shè)二角的一半分別為α、β

　　sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,

　　∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0

　　→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0

　　→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0

　　→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0

　　，∴sin[(α-β)/2]=0

　　∴α=β,∴AB=AC.

　　證明三：

　　用張角定理：

　　2cosα/BE=1/BC+1/AB

　　2cosβ/CD=1/BC+1/AC

　　若α>β 可推出AB>AC矛盾！

　　若α<β 可推出AB<AC矛盾！

　　所以AB=AC

　　定理來源：

　　1840年，德國(guó)數(shù)學(xué)家雷米歐斯給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家斯圖姆的一封信中說到：“幾何題在沒有證明之前，很難說它是難還是容易。等腰三角形的兩底角平分線相等，初中生都會(huì)證明。但反過來，三角形的兩內(nèi)角平分線相等，這個(gè)三角形一定是等腰三角形嗎？我至今還沒想出來。”此后，斯圖姆又向許多數(shù)學(xué)家提出了這個(gè)問題，請(qǐng)求給出一個(gè)純幾何證明。一年多后，瑞士達(dá)幾何學(xué)家斯坦納（1796-1873）首次證明了它，于是，這個(gè)問題以“斯坦納-雷米歐斯”定理而聞名于世。

　　后世發(fā)展：

　　斯坦納的證明發(fā)表后，引起了數(shù)學(xué)界極大反響。論證這個(gè)定理的文章發(fā)表在1842年到1864年的幾乎每一年的各種雜志上。后來，一家數(shù)學(xué)刊物公開征解，竟然收集并整理了60多種證法，編成一本書。直到1980年，美國(guó)《數(shù)學(xué)老師》月刊還登載了這個(gè)定理的研究現(xiàn)狀，隨后又收到了2000多封來信，增補(bǔ)了20多種證法并收到了一個(gè)最簡(jiǎn)單的直接證法。經(jīng)過幾代人的努力，100多年的研究，“斯坦納-雷米歐斯”定理已成為數(shù)學(xué)百花園中最惹人喜愛的瑰麗花朵！

答案(1)

△ABC中，BD CE為角平分線，若BD=CE，求證：AB=AC
證明：（反證法）
 設(shè)AB＜AC，則∠ABC＞∠ACB，從而∠ABD＞∠ACE.在∠ABD內(nèi)作∠DBF＝∠ACE，則在△FBC中，由∠FBC＞∠FCB得FB＜FC。
 在CF上取CH=BF，過H作HK‖BF交CE于K。
 在△BFD和△CHK中，BF=CH，∠BFD=∠CHK，∠FBD=∠HCK，故△BFD≌△CHK
所以BD=CK＜CE，與已知BD=CE矛盾。
又若AB＞AC，同理可得BD＞CE，也與BD=CE矛盾。
所以AB=AC

若用直接證法證明命題“兩內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形”,在很多資料上表明問題已被用不同方法得到完全解決,但證題過程較為復(fù)雜,尋找簡(jiǎn)捷的證明方法有待于進(jìn)一步探索,在間接證法中最多見的是反證法,讀者在閱讀、理解方面都存在諸多不便,如果選用間接證法中的“同一法”,可使證題過程簡(jiǎn)化,且便于理解,于是將該證法整理如下,并作一些探討.定理兩內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形.已知:如圖1,△ABC中,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,且BD=CE.求證:AB=AC.圖1分析結(jié)合題目的條件,要證AB=AC,必先證∠ABC=∠ACB,又兩角被平分,且平分后的角不易找到直接的相等關(guān)系,仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)∠EBD與∠ECD所對(duì)的是同一條邊DE,若轉(zhuǎn)化在圓中就是兩圓周角所對(duì)的公共弦,便可找出互相之間的聯(lián)系,于是可以考慮B、E、C、D是否在同一個(gè)圓上,恰好用“同一法”可以解決這一點(diǎn),問題就得到簡(jiǎn)化.證明過點(diǎn)B、D、C作⊙O交CE或其延長(zhǎng)線于點(diǎn)H因?yàn)?/span>BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,所以CD=HD,HD=BH,所以CDH=BHD.所以CH=BD.因?yàn)?/span>BD=CE所以CH=CE,又