電磁感應(yīng)中兩種終態(tài)模型總結(jié)

重慶  張開(kāi)華

導(dǎo)體棒做切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的分析和推理是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，涉及規(guī)律較多，過(guò)程復(fù)雜，其解題關(guān)鍵在于能否正確分析出棒在運(yùn)動(dòng)中各量的動(dòng)態(tài)變化，列出相關(guān)表達(dá)式，找出導(dǎo)體棒終極狀態(tài)時(shí)的隱含條件. 下面對(duì)兩種常見(jiàn)模型進(jìn)行總結(jié)并加以拓展.

一、“棒配電阻”模型

例1. 如圖1所示，MN、PQ是兩根足夠長(zhǎng)且相距為L的固定平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直于導(dǎo)軌平面斜向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在導(dǎo)軌的N、Q端連接有阻值為R的電阻，另一根質(zhì)量為m、垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒ab從靜止釋放后沿導(dǎo)軌下滑. 求棒的最大速度.

解法1. 動(dòng)態(tài)分析法：

金屬棒下滑后，速度v增大→感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E增大→感應(yīng)電流I增大→導(dǎo)體棒受安培力F_安增大→導(dǎo)體棒受合外力F_合減小→加速度a減小→……，周而復(fù)始地循環(huán)→循環(huán)結(jié)束時(shí)，可知金屬棒ab最終做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)

終態(tài)時(shí)根據(jù)平衡條件，導(dǎo)體棒在斜面方向上有

因，又，可求得最大速度。

解法2. 一般位置分析法：

導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到任一個(gè)位置時(shí)，在斜面方向上由牛頓第二定律可列方程

而，又，求得

隨著速度的增大，棒的加速度逐漸減小，當(dāng)加速度減小到零時(shí)、速度最大（設(shè)為v_m），以后一直做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).

即所受合外力為0，，求得最大速度

。

模型拓展：

1. 若磁場(chǎng)方向豎直向上，如圖2所示. 則終態(tài)時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

斜面方向上合外力為0，有

求得。

2. 如圖3、4所示情況下導(dǎo)體棒的動(dòng)態(tài)特征和能量轉(zhuǎn)化與本題相似.

3. 原模型中若導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，

則終態(tài)時(shí)斜面方向上有

求得

4. 若將兩平行金屬導(dǎo)軌（無(wú)論是否光滑）水平放置且只給金屬棒初速度，如圖5所示. 則棒切割磁感線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，回路中產(chǎn)生感應(yīng)電流，棒受到反方向的安培力而做減速運(yùn)動(dòng)，其安培力減小、加速度減小，當(dāng)棒的速度減小到零時(shí)，加速度也減小到零. 即棒的終態(tài)是靜止?fàn)顟B(tài).

由此也可推得：導(dǎo)軌光滑時(shí)、棒的初動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為感應(yīng)電流的焦耳熱. 導(dǎo)軌不光滑時(shí)，棒的初動(dòng)能一部分轉(zhuǎn)化為焦耳熱，另一部分由于摩擦轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.

二、“棒配電容”模型

例2. 兩水平放置的足夠長(zhǎng)的光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為L，電阻不計(jì)，左端串接有電容為C的理想電容器（不會(huì)被擊穿），質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒始終處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中. 金屬棒在水平向右的恒力F作用下由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng). 判斷金屬棒最終的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并求出金屬棒在終態(tài)時(shí)的加速度.

解析：金屬棒運(yùn)動(dòng)后，產(chǎn)生的感應(yīng)電流對(duì)電容器充電，兩極板間的電勢(shì)差隨之增大，同時(shí)金屬棒又受到反方向的安培力作用，加速度開(kāi)始減小，當(dāng)棒由于速度的增大而增大的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與電容器由于充電而增加的電勢(shì)差相等時(shí)，即時(shí)，其電流開(kāi)始穩(wěn)定（這一步對(duì)“棒配電容”類(lèi)電磁感應(yīng)定量計(jì)算問(wèn)題很關(guān)鍵），棒受到的安培力穩(wěn)定，從而棒受合外力穩(wěn)定而最終做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).

棒勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，時(shí)間△t內(nèi)導(dǎo)體棒增大的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

電容器增加的電壓，

根據(jù)

求得電路中電流I=BLaC

對(duì)導(dǎo)體棒由牛頓第二定律F－BIL=ma

求得，即棒最終做勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

模型拓展：

1. 若把導(dǎo)軌放在豎直平面內(nèi)，棒的重力也可看作恒力F，棒最終狀態(tài)仍然是勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).

2. 若把導(dǎo)軌放在斜面內(nèi)，棒受重力在斜面方向上的分力也可替代恒力F，棒最終狀態(tài)仍然是勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng).

3. 如圖7所示，若只給棒一個(gè)初速度時(shí)，棒運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的感應(yīng)電流對(duì)電容器充電，同時(shí)棒會(huì)受到反方向的安培力而做減速運(yùn)動(dòng)，棒由于速度的減小而使感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小，電容器由于充電而使兩板間的電勢(shì)差增大，其充電電流逐漸減小，棒受安培力逐漸減小，棒運(yùn)動(dòng)的加速度逐漸減小. 當(dāng)電容器兩極板間的電勢(shì)差與其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，回路中電流消失，棒不受安培力而做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。即棒最終狀態(tài)是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)（不是靜止）.

警示：終態(tài)不一定都是平衡狀態(tài)，有可能是靜止、也有可能是勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)、還有可能是勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài). “棒配電阻”和“棒配電容”是兩類(lèi)不同的模型，解題時(shí)要區(qū)別對(duì)待.