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一.矩陣和空間的思想

我在這里，把線性代數(shù)歸于高等數(shù)學(xué)的范疇，因?yàn)樗睦碚撨m用于很多高等數(shù)學(xué)求解的領(lǐng)域，例如多項(xiàng)微分方程組的求解，離不開(kāi)它。方程組，有什么物理/幾何的意義嗎?有，就是一種映射關(guān)系。下圖中，左圖代表了2維到2維的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表對(duì)于滿秩矩陣A，[0]只能被映射為[0]。右圖代表A不滿秩，就是2維映射到1維的情況，一個(gè)線段映射到一個(gè)點(diǎn)，也就是存在一個(gè)'解系'。

換個(gè)角度，由于線性映射常常就是線性變換，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某種交點(diǎn)的性質(zhì)。根據(jù)向量之間相交的情況區(qū)分，定解(直線或面交于一點(diǎn)，1和2中的交點(diǎn))，無(wú)窮解(直線平行或面多面共線，這個(gè)線就構(gòu)成解系。1種的紅黃色重合線和3中的共線)，或者無(wú)解(平行或面沒(méi)有公共交點(diǎn)，1中的平行線和4中的平行交線)。如下圖所示。

符號(hào)系統(tǒng)還有什么作用？在線性代數(shù)和微分方程里面的算子理論就是符號(hào)系統(tǒng)的一種形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我們可以推出對(duì)于矩陣方程組Ax=B有確定解，,那么這個(gè)解集是x=(A^-1)*b。這里-1表示逆矩陣，*表示矩陣相乘，其中|A|!=0。這樣的表示是正確的科學(xué)的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是絕對(duì)值而是行列式。A此時(shí)稱為可逆矩陣----這個(gè)相當(dāng)于實(shí)數(shù)運(yùn)算里面要保證分母!=0。是不是很相似？

可逆有什么性質(zhì)：如果對(duì)一個(gè)矩陣做線性變換，使用一個(gè)滿秩的矩陣，那么做變換的結(jié)果，秩不變。要注意，把矩陣當(dāng)成算子的時(shí)候，乘法的交換律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<>

 二.矩陣運(yùn)算的物理含義，舉例

如果把矩陣看成一個(gè)2維坐標(biāo)系離散值的幾何，那么：

1.矩陣加法A+B就是A的各個(gè)點(diǎn)作平移，平移的度量是B當(dāng)中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。

2.矩陣乘法A*B就是一種線性映射：如果A是x/y坐標(biāo)系，B是y/z坐標(biāo)系，那么結(jié)果就是x->z的映射。舉個(gè)例子，有3個(gè)國(guó)家，A國(guó)有三個(gè)城市，B國(guó)有三個(gè)城市，C國(guó)有兩個(gè)城市。他們之間的道路狀況如下用矩陣表示

那么從A國(guó)的每個(gè)城市出發(fā)經(jīng)過(guò)B到達(dá)C的每個(gè)城市，各自有多少條線路?答案就是

A*B=[(2,1),(1,1),(2,1)]

3.我們深入的討論一下'映射'的概念。舉實(shí)數(shù)為例，y=ax是一個(gè)乘法映射，每一個(gè)x對(duì)應(yīng)一個(gè)y。那么如果知道y求x呢?x=a^(-1)*y。這里影射函數(shù)f(x)=ax和反函數(shù)g(x)=a^(-1)x互逆。那么我們推廣到N維坐標(biāo)系空間里面就看到，矩陣就是一個(gè)N*N的坐標(biāo)系映射。AX=B，把B看成Y，那么X=A^(-1)*Y。前提是A的范數(shù)!=0。我們構(gòu)造的得到的A的1范數(shù)就是它的行列式。那么到底什么是映射?萊布尼茨說(shuō)映射就是一組2元關(guān)系。在1維的時(shí)候表現(xiàn)為函數(shù)的形式f(z)=z，在多維的時(shí)候表現(xiàn)為矩陣的形式。1維的多次映射表現(xiàn)為函數(shù)的嵌套(gof)，多維的情形可以寫(xiě)成矩陣的乘法。當(dāng)然，限制條件是，矩陣能表示的是一個(gè)離散值的集合。當(dāng)然，方陣才有逆----方陣是維數(shù)不變的N->N的一一映射，所以可能有且只有一個(gè)反映射，或者沒(méi)有反映射。N->M的不同維數(shù)映射無(wú)法得到反映射。

4.形式化的定義。我們?nèi)绻丫仃嚳闯梢粋€(gè)'算子'的話，矩陣的乘法就能看成一個(gè)狀態(tài)機(jī)的推演，推算的過(guò)程就是一次算子入棧，反推的過(guò)程就是算子出棧。那么顯然就能夠理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1)，(AB)*=(B*)*(A*)。我們從伴隨矩陣的性質(zhì)AA*=|A|E得到A^(-1)=A*/|A|。矩陣左乘是行變換，右乘是列變換。把矩陣看成算子，同時(shí)可以把子矩陣看成算子，分塊矩陣的相成和行列式求解也就很簡(jiǎn)單了?？梢园研〉木仃嚠?dāng)成一個(gè)數(shù)來(lái)看待。三角陣通過(guò)初等變換可以變成分塊陣。

5.初等矩陣有3種，對(duì)應(yīng)3種最基本的矩陣變換，也就是行列互換，行列數(shù)乘，一行/列數(shù)乘以后加到另一個(gè)行/列上面。初等矩陣都可逆。線性變換的結(jié)果是'相抵'的。一個(gè)矩陣總是能等于一個(gè)初等變換矩陣，并且逆矩陣的屬性不變。對(duì)于可逆矩陣A，總有P1P2P3...PnAQ1Q2...Qn=E?；蛘哒f(shuō)存在可逆矩陣P/Q使得PAQ=E。例如，如果A,B和A+B都可逆，那么A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。 

6.于是有了線性空間的概念：線性空間V就是一個(gè)集合，它同時(shí)滿足V上的元素加法和對(duì)于數(shù)域K上面的乘法滿足8條線性運(yùn)算的規(guī)則。

7.為什么要討論相似?這里面包含了一種不變性，是研究變換的數(shù)學(xué)工具。實(shí)數(shù)變換可以拆分成復(fù)數(shù)變換，例如酉矩陣，在晶體學(xué)里，酉變換叫做幺正變換，也就是將空間（可以是任意維的）中一組基矢做一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，不改變矢量的大小和內(nèi)積。而在量子力學(xué)里面，這個(gè)用處就更大了，本質(zhì)上就是量子力學(xué)所說(shuō)的表象變換。是連接兩個(gè)表象的橋梁。

矩陣代表了一種二元關(guān)系。函數(shù)映射是一種1維的二元關(guān)系，那么矩陣就是一種N維的二元關(guān)系。矩陣的方法就是一種映射的運(yùn)算，之所以成為線形運(yùn)算，是因?yàn)槊恳粋€(gè)投影都是具有拉伸和整體旋轉(zhuǎn)的幾何意義，相當(dāng)于向量通過(guò)平面鏡映射到一個(gè)投影平面上面的結(jié)果。這里只有平面鏡和投影平面，沒(méi)有哈哈鏡和投影曲面。如果我們把2元的對(duì)應(yīng)關(guān)系寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式z=x+yi，那么f(z)就是一種投影的關(guān)系，只不過(guò)f(z)是直線方程的時(shí)候?qū)?yīng)于一個(gè)等效的矩陣，f(z)如果不是直線方程，那么就是一種非線性變換。線形變換有許多很好的性質(zhì)，能夠保持信息的數(shù)量和結(jié)構(gòu)保持某種程度的不變性，同時(shí)使得結(jié)果方便理解和處理。

映射還有一個(gè)性質(zhì)，就是保角性。假設(shè)我們要研究x/y平面上面的x^2-y^2=c和xy=d這兩個(gè)雙曲線之間的夾角，怎么辦?我們可以用微元的辦法(微分幾何)來(lái)求出。但是這樣當(dāng)然很麻煩，而且是一題一解(牛頓喜歡這樣做，但是萊布尼茨反對(duì)這種解決方案)，不太符合公理系統(tǒng)和形式化推理的思想?？紤]z1=x+yi,z2=y-xi,f(z)=z^2費(fèi)波納契數(shù)列的求解遇到過(guò)這樣的問(wèn)題:

一個(gè)數(shù)列a(-1)=1,a(0)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)求an的通項(xiàng)公式。用中學(xué)時(shí)代的眼光我們可以觀察到，如果an當(dāng)n->無(wú)窮的時(shí)候，是個(gè)等比數(shù)列，顯然符合遞推公式。那么我們就可以假設(shè)an=入a(n-1)，那么由遞推公式我們就可以得到:入^2*a(n-1)=入*a(n-1)+a(n-1)，求得入=(1+根號(hào)5)/2(應(yīng)為這個(gè)比值要>1)，那么an=入^n*a0。當(dāng)然這個(gè)只是一個(gè)近似公式，結(jié)果不準(zhǔn)確而且推導(dǎo)的過(guò)程不嚴(yán)格。那么我們用大學(xué)的線形代數(shù)來(lái)求解。我們考慮修正方案構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列，an+Aa(n-1)=B(a(n-1)+A(a(n-2)，化簡(jiǎn)得到an=(B-A)a(n-1)+Aa(n-2)，于是B-A=1,AB=1，解得A/B=(根號(hào)5+-1)/2。

三.具體的性質(zhì)和計(jì)算

1.對(duì)于克萊姆法則求解的過(guò)程，我們看到Ax=0的情況，對(duì)應(yīng)于每個(gè)解分量的克萊姆除法式，Xn=Dn/DA，Dn矩陣中有一個(gè)全為0的列向量，那么求行列式的過(guò)程(全乘)結(jié)果肯定為0，所以方程組至少有個(gè)解向量就是[0,0,0,....]。這驗(yàn)證了我們前面說(shuō)的，空間直線/面相交于原點(diǎn)的情況。

2.對(duì)于行列式除法，如果有分母等于0的情況，Ax=b就“可能“對(duì)應(yīng)于無(wú)窮個(gè)解。當(dāng)然，解之間符合一定

的數(shù)學(xué)約束關(guān)系(例如3維空間中的某個(gè)直線方程)。舉個(gè)例子，x=1,y=1,x-y=0這3個(gè)平面交匯于直線

(x=1,y=1)，那么分母行列式些出來(lái)就是

|1,0,0|

|0,1,0|

|1,-1,0|

第三個(gè)行向量是冗余的，它的行列式＝0。為什么說(shuō)可能無(wú)窮個(gè)解(去窮個(gè)z)，因?yàn)閎不同，可能還會(huì)導(dǎo)致無(wú)解。那么，我怎么知道有解還是無(wú)解呢?那就要求出所有克萊姆除法式的分子，如果有分子分母同為0的情況，就是無(wú)解，例如x=1,y=1,x-y=1這3個(gè)平面兩兩相交，但是就是沒(méi)有公共的部分，克萊姆解法求z分量的過(guò)程，克萊姆分子就是下面這個(gè)矩陣的行列式

|1,0,0|

|0,1,0|

|1,-1,1|

顯然行列式=0。

 克萊姆法則提供一個(gè)同用的解方程的方法：我們不再需要通過(guò)觀察數(shù)字拼湊的方式來(lái)消元了。當(dāng)然，直接用克萊姆法則還是太復(fù)雜了。首先，隨著維數(shù)的升高，計(jì)算復(fù)雜度指數(shù)增加O(N!)，然后只有求出了所有的克萊姆分子行列式才能判斷是否有解，冗余度很高。所以我們需要進(jìn)一步廣義地研究矩陣的特性，矩陣的秩，特征矩陣/向量/值，等等。我們需要從Ax=0推理到Ax=b。

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