高一數(shù)學(xué)必修一知識點歸納總結(jié)

第一章 集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念：

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

（1）元素的確定性；  （2）元素的互異性； （3）元素的無序性

說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

 (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。

（Ⅰ）列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

（Ⅱ）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、常用數(shù)集及其記法：

5、“屬于”的概念（集合與元素的關(guān)系）

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A 記作 a∈A ，相反，a不屬于集合A 記作 aA

6、集合的分類：

1．有限集 含有有限個元素的集合2．無限集 含有無限個元素的集合3．空集 不含任何元素的集合

二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系———子集

對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說兩集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AB

注意： 有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

集合A中有n個元素,則集合A子集個數(shù)為2ⁿ.

2．“相等”關(guān)系(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設(shè)  A={x|x²-1=0}    B={-1,1}   “元素相同”

結(jié)論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

① 任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果 AB, BC ,那么 AC

④ 如果AB  同時 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為?。

規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運(yùn)算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．

記作A∩B(讀作：“A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.

4、全集與補(bǔ)集

（1）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

（2）補(bǔ)集：設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集（即AS），由S中

所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集）。

記作： C_SA，即 C_SA ={x | xS且 xA}

（3）性質(zhì)：⑴C_U(C _UA)=A  ⑵(C _UA)∩A=Φ  ⑶(C _UA)∪A=U

(4)(C _UA)∩(C _UB)=C _U(A∪B)  (5)(C _UA)∪(C _UB)=C_U(A∩B)

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域．

注意：1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；

2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

定義域補(bǔ)充：

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. 

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

(6）指數(shù)為零底不可以等于零

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

(注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

注意：（1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）。

（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。   相同函數(shù)的判斷方法：①定義域一致；②表達(dá)式相同 (兩點必須同時具備)

值域補(bǔ)充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. 

(2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3. 函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象．

C上每一點的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x，y)，均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

(2) 畫法：

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法：

常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換

Ⅰ、對稱變換:

（1）將y= f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=∣f(x)∣的圖象

（2） y= f(x)和y= f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱。如

（3） y= f(x)和y= -f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。如

Ⅱ、平移變換:    由f(x)得到f(xa)    左加右減；     由f(x)得到f(x)a    上加下減

(3)作用：A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；C、提高解題的速度；發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．映射

定義：一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng)，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明:函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的；②對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng)，它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；

③對于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6、函數(shù)的表示法：

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)：作垂直于x軸的直線與曲線最多有一個交點。

2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；

3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；

4 列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．

注意：解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值

補(bǔ)充一：分段函數(shù)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．注意：（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)  稱為f是g的復(fù)合函數(shù)。

7．函數(shù)單調(diào)性

（1）．增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x₁，x₂，當(dāng)x₁<x₂時，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x₁，x₂，當(dāng)x₁<x₂時，都有f(x₁)＞f(x₂)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.

注意：1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；

2、必須是對于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x₁，x₂；當(dāng)x₁<x₂時，總有f(x₁)<f(x₂) （或f(x₁)＞f(x₂)）。

（2） 圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

(A) 定義法：

1 任取x₁，x₂∈D，且x₁<x₂；2 作差f(x₁)－f(x₂)；3 變形（通常是因式分解和配方）；4 定號（即判斷差f(x₁)－f(x₂)的正負(fù)）；5 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

 (B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律如下：

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：口訣：同增異減

 注意：1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

（4）判斷函數(shù)的單調(diào)性常用的結(jié)論

①函數(shù)與的單調(diào)性相反；

②當(dāng)函數(shù)恒為正或恒有負(fù)時，與函數(shù)的單調(diào)性相反；

③函數(shù)與函數(shù)（C為常數(shù)）的單調(diào)性相同；

④當(dāng)C > 0（C為常數(shù)）時，與的單調(diào)性相同；

當(dāng)C < 0（C為常數(shù)）時，與的單調(diào)性相反；

⑤函數(shù)、都是增（減）函數(shù)，則仍是增（減）函數(shù)；

⑥若且與都是增（減）函數(shù)，則也是增（減）函數(shù)；

若且與都是增（減）函數(shù)，則也是減（增）函數(shù)；

⑦設(shè)，若在定義域上是增函數(shù)，則、、都是增函數(shù)，而是減函數(shù).

8．函數(shù)的奇偶性

（1）偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

（2）奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

注意：1、 函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

函數(shù)可能沒有奇偶性,也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。

      2、 由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）．

（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

    偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱．

總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；2 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系；3 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)．

注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定; (2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難，可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .

函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；

偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

②奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.

③若為偶函數(shù)，則.

④若奇函數(shù)定義域中含有0，則必有.

⑤定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”.如設(shè)是定義域為R的任一函數(shù)， 則，.

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個（，定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集）.

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

（1）函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域.

（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法、換元法、消參法等，A、如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時，可用待定系數(shù)法；B、已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時，可用換元法，這時要注意元的取值范圍；當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時，也可用湊配法；C、若已知抽象函數(shù)表達(dá)式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)

10．函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p30頁）

（1） 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?；

（2） 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?；

（3） 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

第二章 基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1．根式的概念：

負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作=0。

注意：(1)

(2)當(dāng) n是奇數(shù)時， ，當(dāng) n是偶數(shù)時， 

2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義： 

0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義

3．實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

（1）

（2）

（3）

注意：在化簡過程中，偶數(shù)不能輕易約分；如

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1．即 a>0且a≠1

2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

注意： 指數(shù)增長模型：y=N(1+p)x       指數(shù)型函數(shù)： y=kax

3 考點：（1）a^b=N, 當(dāng)b>0時，a,N在1的同側(cè)；當(dāng)b<0時，a,N在1的 異側(cè)。

（2）指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較冪的大小，同底找對應(yīng)的指數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同指數(shù)也不同插進(jìn)1(=a⁰)進(jìn)行傳遞或者利用（1）的知識。

（3）求指數(shù)型函數(shù)的定義域可將底數(shù)去掉只看指數(shù)的式子，值域求法用單調(diào)性。

（4）分辨不同底的指數(shù)函數(shù)圖象利用a¹=a，用x=1去截圖象得到對應(yīng)的底數(shù)。

(5)指數(shù)型函數(shù)：y=N(1+p)^x   簡寫：y=ka^x

二、對數(shù)函數(shù)

（一）對數(shù)

1．對數(shù)的概念：一般地，如果 ，那么數(shù)x 叫做以a 為底N 的對數(shù)，記作：

（ a— 底數(shù)， N— 真數(shù)，— 對數(shù)式）

說明：1. 注意底數(shù)的限制，a>0且a≠1；2. 真數(shù)N>0  3. 注意對數(shù)的書寫格式．

2、兩個重要對數(shù)：

（1）常用對數(shù)：以10為底的對數(shù),    ；

（2）自然對數(shù)：以無理數(shù)e 為底的對數(shù)的對數(shù) , ．

3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化

對數(shù)式        指數(shù)式

對數(shù)底數(shù)← a → 冪底數(shù)

對數(shù)← x → 指數(shù)

真數(shù)← N → 冪

結(jié)論：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)

（2）logaa=1,   loga1=0  特別地， lg10=1,  lg1=0 ,  lne=1,  ln1=0

(3) 對數(shù)恒等式：

（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果 a > 0，a 1 1，M > 0， N > 0  有：

1、      兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和

2 、        兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差

3 、        一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的對數(shù)n倍

說明:

1) 簡易語言表達(dá):”積的對數(shù)=對數(shù)的和”……

2) 有時可逆向運(yùn)用公式

3) 真數(shù)的取值必須是(0,＋∞)

4) 特別注意：

注意：換底公式

利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論

① ②③

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) (a>0，且a≠1) 叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）．

注意：（1） 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。

如：， 都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．

（2） 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：a>0，且a≠1

2、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)(a>0，且a≠1)

重要結(jié)論：在logab中，當(dāng)a ,b 同在(0,1)或(1,+∞)內(nèi)時，有l(wèi)ogab>0;

當(dāng)a,b不同在(0,1) 內(nèi)，或不同在(1,+∞) 內(nèi)時,有l(wèi)ogab<0.

口訣：底真同大于0（底真不同小于0）.

（其中，底指底數(shù)，真指真數(shù)，大于0指logab的值）                                             3、如圖，底數(shù) a對函數(shù) 的影響。

規(guī)律:  底大枝頭低,  頭低尾巴翹。

4考點：

Ⅰ、log_ab, 當(dāng)a,b在1的同側(cè)時, log_ab >0；當(dāng)a,b在1的異側(cè)時, log_ab <0

Ⅱ、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性由底數(shù)決定的，底數(shù)不明確的時候要進(jìn)行討論。掌握利用單調(diào)性比較對數(shù)的大小，同底找對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)，底數(shù)不同真數(shù)也不同利用（1）的知識不能解決的插進(jìn)1(=log_aa)進(jìn)行傳遞。

Ⅲ、求指數(shù)型函數(shù)的定義域要求真數(shù)>0，值域求法用單調(diào)性。

Ⅳ、分辨不同底的對數(shù)函數(shù)圖象利用1=log_aa ，用y=1去截圖象得到對應(yīng)的底數(shù)。

Ⅴ、y=a^x(a>0且a ≠1)與y=log_ax(a>0且a ≠1) 互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y=x對稱。

5 比較兩個冪的形式的數(shù)大小的方法:

(1)  對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.

(2)  對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.

(3)  對于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,則應(yīng)通過中間值來判斷.常用1和0.

6 比較大小的方法

(1)  利用函數(shù)單調(diào)性(同底數(shù))；(2)  利用中間值（如:0,1.）；(3)   變形后比較；(4)   作差比較

（三）冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；

（2）α>0 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在[0,+ ∞）上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時，冪函數(shù)的圖象上凸；

（3）α<0 時，冪函數(shù)的圖象在（0，+∞）上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．

第三章 函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=f(x),使f(x)=0 的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點。（實質(zhì)上是函數(shù)y=f(x)與x軸交點的橫坐標(biāo)）

2、函數(shù)零點的意義：方程f(x)=0有實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y=f(x)有零點

3、零點定理：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的，并且有f(a)f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）至少有一個零點c，使得f( c)=0,此時c也是方程 f(x)=0 的根。

4、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)y=f(x)的零點：

（1） （代數(shù)法）求方程f(x)=0 的實數(shù)根；

（2） （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點．

5、二次函數(shù)的零點：二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(a≠0)．

1）△＞0，方程f(x)=0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點．

2）△＝0，方程f(x)=0有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．

3）△＜0，方程f(x)=0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點．

二、二分法

1、概念：對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法。

2、用二分法求方程近似解的步驟:

⑴確定區(qū)間[a,b],驗證f(a)f(b)<0，給定精確度ε；

⑵求區(qū)間(a,b)的中點c;

⑶計算f(c),

①若f(c)=0,則c就是函數(shù)的零點；

②若f(a)f(c)<0,則令b=c（此時零點x₀∈(a,c)）

③若f(c)f(b)<0,則令a=c（此時零點x₀∈(c,b)）

(4)判斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a-b|<ε,則得到零點近似值為a(或b);否則重復(fù)⑵~⑷

三、函數(shù)的應(yīng)用：

（1）評價模型： 給定模型利用學(xué)過的知識解模型驗證是否符合實際情況。

（2）幾個增長函數(shù)模型：一次函數(shù)：y=ax+b(a>0)

指數(shù)函數(shù)：y=a^x(a>1)      指數(shù)型函數(shù)： y=ka^x(k>0,a>1)

冪函數(shù)：y=xⁿ（ n?N*)    對數(shù)函數(shù)：y=log_ax(a>1)

二次函數(shù)：y=ax²+bx+c(a>0)  

增長快慢：V(a^x)>V(xⁿ)>V(log_ax)

解不等式  (1) log₂x< 2^x < x²           (2) log₂x< x² < 2^x

（3）分段函數(shù)的應(yīng)用：注意端點不能重復(fù)取，求函數(shù)值先判斷自變量所在的區(qū)間。

（4）二次函數(shù)模型： y=ax²+bx+c(a≠0) 先求函數(shù)的定義域，在求函數(shù)的對稱軸，看它在不在定義域內(nèi)，在的話代進(jìn)求出最值，不在的話，將定義域內(nèi)離對稱軸最近的點代進(jìn)求最值。

（5）數(shù)學(xué)建模：

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布