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基礎(chǔ)系例說(shuō)明：啟動(dòng)｜基礎(chǔ)天文｜基礎(chǔ)物理｜系例科普

第一期：【基礎(chǔ)物理No.1】經(jīng)典力學(xué)之牛頓力學(xué)運(yùn)動(dòng)定律

第二期：美到極致｜極光之美

第三期：【基礎(chǔ)物理No.3】什么是光？

第四期：【基礎(chǔ)物理 No.4】萬(wàn)有引力定律及力學(xué)運(yùn)用

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【基礎(chǔ)天文】【基礎(chǔ)物理】?jī)蓚€(gè)基礎(chǔ)系例希望讓大家的認(rèn)知能更深刻方能更進(jìn)一步！

好高騖遠(yuǎn)可是大忌哦

阿爾伯特·愛因斯坦

E=mc2數(shù)學(xué)推導(dǎo)：

圖：云睿

（數(shù)學(xué)推導(dǎo)可能部分童鞋反應(yīng)不過(guò)來(lái)…沒(méi)事文章后面還有推導(dǎo)說(shuō)明及）

首先為什么E=mc2 ？

（請(qǐng)看下文）

根據(jù)狹義相對(duì)論，質(zhì)量和能量是等價(jià)的，并且是同一個(gè)物體的兩種不同表現(xiàn)。

物質(zhì)都具有質(zhì)量：大到星系、恒星和行星，小到分子、原子和基本粒子。不管它們有多小，所有我們已知的物質(zhì)都有基本的性質(zhì)：質(zhì)量。也就是說(shuō)即使它不再運(yùn)動(dòng)，或者讓它慢慢減速直至完全的靜止，它仍然會(huì)影響著宇宙中其它的物體。每個(gè)單獨(dú)的質(zhì)量對(duì)宇宙中其它的物體都具有引力作用，不管距離多遠(yuǎn)。它試圖吸引所有其它的物體，但也經(jīng)歷著被所有其它的物體所吸引。此外，它的存在也具有一定的能量。

想知道物質(zhì)為什么有質(zhì)量嗎？因?yàn)橛匈|(zhì)量E=mc2這個(gè)偉大的方程才得以成立，你我也才得以存在

于世！關(guān)于物質(zhì)或基本粒子為什么會(huì)有質(zhì)量這個(gè)問(wèn)題，本期文章不做探討，敬請(qǐng)關(guān)注微信公眾號(hào)：天文物理、和微信公眾號(hào)：博科園、未來(lái)某期會(huì)針對(duì)該問(wèn)題做進(jìn)一步探討

描述了大質(zhì)量物體（比如太陽(yáng)和地球）是如何影響時(shí)空的構(gòu)造。

但是，這并不意味著只有具有質(zhì)量的物體才能具備能量。在宇宙中也有完全沒(méi)有質(zhì)量的粒子，比如光子。光子也攜帶一定量的能量，它們可以與其它的物體作用，并被吸收，以及傳遞能量給其它的物體。足夠能量的光可以加熱物體，并傳遞額外的動(dòng)能（和速度）給它們。光子會(huì)把原子中的電子踢到更高的能量等級(jí)，或者完全電離它們，這都取決于光子的能量。

此外，無(wú)質(zhì)量粒子（比如光子）的能量只由它們的頻率和波長(zhǎng)決定，兩者的乘積等于無(wú)質(zhì)量粒子的速度，即光速。波長(zhǎng)越長(zhǎng)，頻率越小，能量也越低。反之短波長(zhǎng)意味著擁有更高的頻率和能量。

波長(zhǎng)越長(zhǎng)的光子能量越小。但是所有的光子，不論其波長(zhǎng)和能量為何，它們的速度都一樣，即光速。

在物理上，我們把能量當(dāng)做完成某項(xiàng)任務(wù)的能力，我們稱之為做功的能力。那么有質(zhì)量粒子和無(wú)質(zhì)量粒子之間的能量有什么關(guān)聯(lián)？

我們可以想象，將一個(gè)電子（物質(zhì)）和一個(gè)正電子（反物質(zhì)）相互碰撞，它們會(huì)湮滅并產(chǎn)生無(wú)質(zhì)量粒子（比如兩個(gè)光子）。但是為什么兩個(gè)光子的能量等于電子（和正電子）的質(zhì)量乘以光速的平方？為什么是E=mc2，而不是E=2mc2，或者是其它常數(shù)（? 或 π 等）？

愛因斯坦在講堂上推導(dǎo)狹義相對(duì)論 @1934年。

有趣的是，如果狹義相對(duì)論是正確的，那么方程式必須是E=mc2。為什么是會(huì)這樣？要回答這個(gè)問(wèn)題，我們先開始想象在你空間中有一個(gè)完全靜止的盒子，在盒子的兩邊分別有兩面鏡子，有一個(gè)光子在盒子里朝著一端的鏡子傳播。如下圖：

思想實(shí)驗(yàn)的裝置：一個(gè)具備動(dòng)量和能量的光子在一個(gè)帶有質(zhì)量M的靜止的（動(dòng)量=0，動(dòng)能=0）盒子里運(yùn)動(dòng)。（? E.Siegel）

最初，這個(gè)盒子完全的靜止，但是由于光子攜帶能量（和動(dòng)量），當(dāng)光子撞上盒子一端的鏡子時(shí)就會(huì)反彈，盒子則開始向光子最初的傳播方向移動(dòng)。光子朝另一端的鏡子再次反彈折回，使盒子的動(dòng)量再次改變?yōu)榱恪９庾訉⒉粩嗟膩?lái)回反彈，因此盒子一半的時(shí)間向前移動(dòng)，一半的時(shí)間保持靜止。

換句話，平均上這個(gè)盒子是在移動(dòng)的，由于盒子擁有質(zhì)量，它就具有一定的動(dòng)能，這一切都是因?yàn)楣庾拥哪芰?。但更重要的是?dòng)量（是描述一個(gè)物體運(yùn)動(dòng)的量）這個(gè)概念。光子具有動(dòng)量，其關(guān)系很簡(jiǎn)單明了：波長(zhǎng)越短、能量越高，因此動(dòng)量也越大。

光子的能量取決于波長(zhǎng)：波長(zhǎng)越大能量越小，波長(zhǎng)越短能量越大。

為了更好的理解，我們來(lái)做一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)。我需要你想象，最初當(dāng)光子自身在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)發(fā)生什么。它具有一定的能量以及一定的動(dòng)量，這兩者都必須是守恒的?，F(xiàn)在光子的能量由它的波長(zhǎng)決定，盒子的能量由靜止質(zhì)量決定。此外光子具有整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)量，也就是盒子的動(dòng)量為零。

現(xiàn)在光子撞上盒子，并暫時(shí)被吸收。動(dòng)量和能量?jī)烧叨急仨毷睾悖鼈兪怯钪嬷凶罨镜氖睾愣?。如果光子被吸收，這意味著只有一個(gè)方法能保持動(dòng)量守恒：盒子獲得了一定的速度往光子移動(dòng)的方向移動(dòng)。

吸收了光子后盒子的能量（KE）和動(dòng)量（M'v）。如果盒子沒(méi)有在該作用中獲得了額外質(zhì)量，能量和動(dòng)量就不可能守恒。（? E.Siegel）

現(xiàn)在，我們可以問(wèn)自己，盒子的能量是多少？結(jié)果是我們熟知的動(dòng)能公式：KE = ?mv2，m是盒子的質(zhì)量，v是盒子的速度。但是，當(dāng)我們比較現(xiàn)在盒子的能量與光子被吸收之前的能量，我們發(fā)現(xiàn)盒子現(xiàn)在的能量不夠。

難道是已知的物理定律在哪里錯(cuò)了？并不是，有一個(gè)非常簡(jiǎn)單的解決方法。盒子/光子系統(tǒng)的能量是盒子的靜止能量加上盒子的動(dòng)能再加上光子的能量。當(dāng)盒子吸收光子時(shí)，大部分光子的能量轉(zhuǎn)換成了盒子的質(zhì)量。一旦盒子吸收光子，它的質(zhì)量跟它與光子作用之前不同（增加了）。

當(dāng)盒子重新輻射出光子時(shí)，能量和動(dòng)量仍然必須守恒。（? E.Siegel）

當(dāng)盒子重新輻射出光子（往相反的方向）時(shí)，它獲得了更多的動(dòng)量和速度（為了平衡往反方向運(yùn)動(dòng)具有負(fù)動(dòng)量的光子），甚至更多的動(dòng)能，但是它必須失去一定的靜止質(zhì)量來(lái)補(bǔ)償。在一點(diǎn)點(diǎn)的數(shù)學(xué)計(jì)算，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)為了得到能量守恒和動(dòng)量守恒，我們最終會(huì)得到質(zhì)能關(guān)系E=mc2。

如果在方程式加上其它常數(shù)，就得不到守恒，每次吸收或輻射光子的時(shí)候都會(huì)得到會(huì)失去能量。直到1930年，當(dāng)反物質(zhì)最終被發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，物理學(xué)家得到了E=mc2的第一次驗(yàn)證，在這之前是上述的思想實(shí)驗(yàn)幫助我們得到的該結(jié)果。

能量守恒與動(dòng)量守恒是我們現(xiàn)在生活在這個(gè)宇宙所要求的，這也正是為什么E=mc2。

質(zhì)能方程：

質(zhì)能方程E=mc2，E表示能量，m代表質(zhì)量，而c則表示光速（常量，c=299792.458km/s）。由阿爾伯特·愛因斯坦提出。該方程主要用來(lái)解釋核變反應(yīng)中的質(zhì)量虧損和級(jí)和計(jì)算高能物理中粒子的能量。這也導(dǎo)致了德布羅意波和波動(dòng)力學(xué)的誕生。

質(zhì)能方程表述如：

其中，E是能量，單位是焦耳（J）。M是質(zhì)量，單位是千克（Kg）。C在數(shù)值上等于光速的數(shù)值大小，c=299792458m/s

該公式表明物體相對(duì)于一個(gè)參照系靜止時(shí)仍然有能量，這是違反牛頓系統(tǒng)的，因?yàn)樵谂ｎD系統(tǒng)中，靜止物體是沒(méi)有能量的。這就是為什么物體的質(zhì)量被稱為靜止質(zhì)量。公式中的E可以看成是物體總能量，它與物體總質(zhì)量（該質(zhì)量包括靜止質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)所帶來(lái)的質(zhì)量）成正比，只有當(dāng)物體靜止時(shí)，它才與物體的（靜止）質(zhì)量（牛頓系統(tǒng)中的'質(zhì)量'）成正比。這也表明物體的總質(zhì)量和靜止質(zhì)量不同。

反過(guò)來(lái)講，一束光子在真空中傳播，其靜止質(zhì)量是0，但由于它們有運(yùn)動(dòng)能量，因此它們也有質(zhì)量。

表達(dá)形式1：

上式中的  為物體的靜止質(zhì)量，  為物體的靜止能量。中學(xué)物理教材中所講的質(zhì)能方程含義與此表達(dá)式相同，通常簡(jiǎn)寫為  。表達(dá)形式2：

 為隨運(yùn)動(dòng)速度增大而增大了的質(zhì)量。

  為物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量，即物體的靜止能量和動(dòng)能之和。

表達(dá)形式3：

上式中的Δm通常為物體靜止質(zhì)量的變化，即質(zhì)量虧損。ΔE為物體靜止能量的變化。實(shí)際上這種表達(dá)形式是表達(dá)形式1的微分形式.這種表達(dá)形式最常用，也是學(xué)生最容易產(chǎn)生誤解的表達(dá)形式。

注意術(shù)語(yǔ)不同：有些術(shù)語(yǔ)使用中，質(zhì)量單指靜止質(zhì)量，因?yàn)榭傎|(zhì)量和能量是等價(jià)的概念。若  

指代靜止質(zhì)量，則公式應(yīng)改寫為而，因此，  

也就是總質(zhì)量的表達(dá)式，其中  為洛倫茲因子。

推導(dǎo)1：

首先要認(rèn)可狹義相對(duì)論的兩個(gè)假設(shè)：1、任一光源所發(fā)之球狀光在一切慣性參照系中的速度都各向同性總為c。 2、所有慣性參考系內(nèi)的物理定律都是相同的。

如果你的行走速度是v，你在一輛以速度u行駛的公車上，那么當(dāng)你與車同向走時(shí)，你對(duì)地面的速度為u+v，反向時(shí)為u-v，你在車上過(guò)了1分鐘，別人在地上也過(guò)了1分鐘——這就是我們腦袋里的常識(shí)。也是物理學(xué)中著名的伽利略變換，整個(gè)經(jīng)典力學(xué)的支柱。該理論認(rèn)為空間是獨(dú)立的，與在其中運(yùn)動(dòng)的各種物體無(wú)關(guān)，而時(shí)間是均勻流逝的，線性的，在任何觀察者來(lái)看都是相同的。

而以上這個(gè)變換恰恰與狹義相對(duì)論的假設(shè)相矛盾。

事實(shí)上，在愛因斯坦提出狹義相對(duì)論之前，人們就觀察到許多與常識(shí)不符的現(xiàn)象。物理學(xué)家洛倫茲為了修正將要傾倒的經(jīng)典物理學(xué)大廈，提出了洛倫茲變換，但他并不能解釋這種現(xiàn)象為何發(fā)生，只是根據(jù)當(dāng)時(shí)的觀察事實(shí)寫出的經(jīng)驗(yàn)公式——洛倫茲變換——而它卻可以通過(guò)相對(duì)論的純理論推導(dǎo)出來(lái)。

然后根據(jù)這個(gè)公式又可以推導(dǎo)出質(zhì)速關(guān)系，也就是時(shí)間會(huì)隨速度增加而變慢，質(zhì)量變大，長(zhǎng)度減小。

一個(gè)物體的實(shí)際質(zhì)量為其靜止質(zhì)量與其通過(guò)運(yùn)動(dòng)多出來(lái)的質(zhì)量之和。

當(dāng)外力作用在靜止質(zhì)量為  的自由質(zhì)點(diǎn)上時(shí)，質(zhì)點(diǎn)每經(jīng)歷位移  ，其動(dòng)能的增量是 ，如果外力與位移同方向，則上式成為  ，設(shè)外力作用于質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間為

  ，則質(zhì)點(diǎn)在外力沖量  作用下，其動(dòng)量增量是  ，考慮到  ，有上兩式相除，即得質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式為  ，亦即  ，根據(jù)洛倫茲變換，得質(zhì)量的變換公式為

  ，兩邊平方得  ,對(duì)速度  求導(dǎo)：得

注意到等式右邊為0，即上式可化為

代入上式得  。

上式說(shuō)明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度v增大時(shí)，其質(zhì)量m和動(dòng)能Ek都在增加，質(zhì)量的增量dm和動(dòng)能的增量 之間始終保持  所示的量值上的正比關(guān)系。當(dāng)  時(shí)，質(zhì)量  ，動(dòng)能  ，據(jù)此，將上式積分，即得

  。

上式是相對(duì)論中的動(dòng)能表達(dá)式。愛因斯坦在這里引入了經(jīng)典力學(xué)中從未有過(guò)的獨(dú)特見解，他把 叫做物體的靜止能量，把  叫做運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量，我們分別用  和  表示：  ,  。

推導(dǎo)：

首先是狹義相對(duì)論得到

洛倫茲因子

所以，運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量

然后利用泰勒展開（展開后第二項(xiàng)為零，此處為第一項(xiàng)和第三項(xiàng)）：

得到

其中

為靜止能，

就是我們平時(shí)見到的在低速情況下的動(dòng)能，后面的是高階的能量。

（當(dāng)可以測(cè)出

時(shí)，由此公式可以計(jì)算出物體運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)速度。）

推導(dǎo)2：

根據(jù)公式，運(yùn)動(dòng)時(shí)物體質(zhì)量增大，同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)將會(huì)有動(dòng)能，質(zhì)量與動(dòng)能均隨速度增大而增大。

根據(jù)，得，因?yàn)?，所以，由易得?span style="line-height: 1.6;">將該式對(duì)  和  

進(jìn)行微分，得，代入得，對(duì)其積分，。

這就是相對(duì)論下的動(dòng)能公式。當(dāng)速度為0，，動(dòng)能為0。為物體靜止時(shí)的能量，而 總能量=靜止能量+動(dòng)能，因此總能量。

靜止能量

物體的靜止能量是它的總內(nèi)能，包括分子運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能、分子間相互作用的勢(shì)能、使原子與原子結(jié)合在一起的化學(xué)能、原子內(nèi)使原子核和電子結(jié)合在一起的電磁能，以及原子核內(nèi)質(zhì)子、中子的結(jié)合能…….物體靜止能量的揭示是相對(duì)論最重要的推論之一，它指出，靜止粒子內(nèi)部仍然存在著運(yùn)動(dòng)。一定質(zhì)量的粒子具有一定的內(nèi)部運(yùn)動(dòng)能量，反過(guò)來(lái)，帶有一定內(nèi)部運(yùn)動(dòng)能量的粒子就表現(xiàn)出有一定的慣性質(zhì)量.在基本粒子轉(zhuǎn)化過(guò)程中，有可能把粒子內(nèi)部蘊(yùn)藏著的全部靜止能量釋放出來(lái)，變?yōu)榭梢岳玫膭?dòng)能。例如，當(dāng)π介子衰變?yōu)閮蓚€(gè)光子時(shí)，由于光子的靜止質(zhì)量為零而沒(méi)有靜止能量，所以，π介子內(nèi)部蘊(yùn)藏著的是全部靜止能量。

虧損守恒

當(dāng)一組粒子構(gòu)成復(fù)合物體時(shí)，由于各粒子之間有相互作用能以及有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，因而，當(dāng)物體整體靜止時(shí)，它的總能量一般不等于所有粒子的靜止能量之和，即

  ，其中  

為第i個(gè)粒子的靜止質(zhì)量。

兩者之差稱為物體的結(jié)合能：

與此對(duì)應(yīng)，物體的靜止質(zhì)量

亦不等于組成它的各粒子的靜止質(zhì)量之和，兩者之差稱為質(zhì)量虧損：

質(zhì)量虧損與結(jié)合能之間有關(guān)系：

由于在中學(xué)物理教材中，對(duì)此式的解釋較淺，因此，有些學(xué)生就誤認(rèn)為核反應(yīng)過(guò)程中，質(zhì)量不再守恒，且少掉的質(zhì)量轉(zhuǎn)化為能量了。

守恒定律

在一個(gè)孤立系統(tǒng)內(nèi)，所有粒子的相對(duì)論動(dòng)能與靜能之和在相互作用過(guò)程中保持不變，稱為質(zhì)能守恒定律。

在相對(duì)論里，質(zhì)能公式

描述了質(zhì)量與能量存在固定關(guān)系。在經(jīng)典力學(xué)中，質(zhì)量和能量之間是相互獨(dú)立、沒(méi)有關(guān)系的，但在相對(duì)論力學(xué)中，能量和質(zhì)量只不過(guò)是物體力學(xué)性質(zhì)的兩個(gè)不同方面而已。這樣，在相對(duì)論中質(zhì)量這一概念的外延就被大大地?cái)U(kuò)展了.愛因斯坦指出：“如果有一物體以輻射形式放出能量ΔE，那么它的質(zhì)量就要減少  .

至于物體所失去的能量是否恰好變成輻射能，在這里顯然是無(wú)關(guān)緊要的，于是我們被引到了這樣一個(gè)更加普遍的結(jié)論上來(lái).物體的質(zhì)量是它所含能量的量度，”他還指出，“這個(gè)結(jié)果有著特殊的理論重要性，因?yàn)樵谶@個(gè)結(jié)果中，物體系的慣性質(zhì)量和能量以同一種東西的姿態(tài)出現(xiàn)……我們無(wú)論如何也不可能明確地區(qū)分體系的‘真實(shí)’質(zhì)量和‘表現(xiàn)’質(zhì)量。把任何慣性質(zhì)量理解為能量的一種儲(chǔ)藏，看來(lái)要自然得多。”這樣，原來(lái)在經(jīng)典力學(xué)中彼此獨(dú)立的質(zhì)量守恒和能量守恒定律結(jié)合起來(lái)，成了統(tǒng)一的“質(zhì)能守恒定律”，它充分反映了物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一性。質(zhì)能方程說(shuō)明，質(zhì)量和能量是不可分割而聯(lián)系著的。一方面，任何物質(zhì)系統(tǒng)既可用質(zhì)量m來(lái)標(biāo)志它的數(shù)量，也可用能量E來(lái)標(biāo)志它的數(shù)量；另一方面，一個(gè)系統(tǒng)的能量減少時(shí)，其質(zhì)量也相應(yīng)減少，另一個(gè)系統(tǒng)接受而增加了能量時(shí)，其質(zhì)量也相應(yīng)地增加。

質(zhì)能方程——著名的公式

  ，人們把這個(gè)方程叫做愛因斯坦質(zhì)能方程。

機(jī)械能守恒定律的主要公式：

(1 表示物體初狀態(tài)，2為末狀態(tài)）。

影響意義

這個(gè)等式源于阿爾伯特·愛因斯坦對(duì)于物體慣性和它自身能量關(guān)系的研究。研究的著名結(jié)論就是物體質(zhì)量實(shí)際上就是它自身能量的量度。為了便于理解此關(guān)系的重要性，可以比較一下電磁力和引力。電磁學(xué)理論認(rèn)為，能量包含于與力相關(guān)而與電荷無(wú)關(guān)的場(chǎng)（電場(chǎng)和磁場(chǎng)）中。在萬(wàn)有引力理論中，能量包含于物質(zhì)本身。因此物質(zhì)質(zhì)量能夠使時(shí)空扭曲，但其它三種基本相互作用（電磁相互作用，強(qiáng)相互作用，弱相互作用）的粒子卻不能，這并不是偶然的。

這個(gè)方程對(duì)于原子彈的發(fā)展是關(guān)鍵性的。通過(guò)測(cè)量不同原子核的質(zhì)量和那個(gè)數(shù)量的獨(dú)立質(zhì)子和中子的質(zhì)量和的差，可以得到原子核所包含的結(jié)合能的估計(jì)值。這不僅顯示可能通過(guò)輕核的核聚變和重核的核裂變釋放這個(gè)結(jié)合能，也可用于估算會(huì)釋放的結(jié)合能的量。注意質(zhì)子和中子的質(zhì)量還在那里，它們也代表了一個(gè)能量值。

一個(gè)著名的花絮是愛因斯坦最初將方程寫為

（用了一個(gè)“L"，而不是“E"來(lái)表示能量，而E在其它地方也用來(lái)表示能量）。

重要的是要注意實(shí)際的靜質(zhì)量到能量的轉(zhuǎn)換不大可能是百分之百有效的。一個(gè)理論上完美的轉(zhuǎn)化是物質(zhì)和反物質(zhì)的湮滅；對(duì)于多數(shù)情況，有很多帶靜質(zhì)量的副產(chǎn)品而不是能量，因而只有少量的靜質(zhì)量真正被轉(zhuǎn)換。在該方程中，質(zhì)量就是能量，但是為了簡(jiǎn)明起見，轉(zhuǎn)換這個(gè)詞常常被用于代替質(zhì)能等價(jià)關(guān)系，實(shí)際上通常所指的一般是靜質(zhì)量和能量的轉(zhuǎn)換。

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