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角形中，角的數(shù)量關(guān)系一般考慮內(nèi)角和定理，在加上角平分線之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)很多有意思的數(shù)量關(guān)系，讓我們一起去探索吧。（1）三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°。如圖，△ABC中，∠A ∠B ∠C=180°.（2）三角形的外角的性質(zhì)：三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。如圖，∠ 1是△ABC的一個(gè)外角，則∠ 1=∠ A ∠B（3）鄰補(bǔ)角的角平分線互相垂直，如圖，OE與OF分別是一組鄰補(bǔ)角∠AOC與∠BOC的平分線，則OE⊥OF.如圖，△ ABC中，∠A=80°，∠ABC與∠ ACB的平分線交于O,求∠ BOC的度數(shù).想求∠ BOC的度數(shù)，考慮使用三角形內(nèi)角和定理，如圖這個(gè)結(jié)論對(duì)于任意的∠ A都成立，所以此時(shí)∠ BOC=90° 1/2*80°=130°.這里，我們得出了一個(gè)三角形中，兩內(nèi)角平分線所成的角與另一個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系：如圖，△ABC 的一個(gè)內(nèi)角的平分線PB與一個(gè)外角的的平分線PC交于P,已知，∠ A=60°，求∠P的度數(shù).此題很多書上都介紹了一種證明方法，就是直接利用三角形外角之間的關(guān)系進(jìn)行代換，這里我們介紹另一種辦法，在例1的基礎(chǔ)上，我們已經(jīng)知道了兩內(nèi)角平分線所成的角與另一個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，作∠ ACB的平分線與PC交于O,則∠ BOC=90° 1/2∠A，此時(shí)∠ BOC也是△PCO的一個(gè)外角，∠ BOC=∠PCO ∠P,根據(jù)知識(shí)準(zhǔn)備3，∠PCO=90°，則∠ BOC=90° ∠P,而∠ BOC=90° 1/2∠A，所以∠P=1/2∠A.則∠P=1/2×60°=30°.這里，巧妙借助第一種情況的結(jié)論，利用三角形外角的性質(zhì)得到了三角形一個(gè)外角的平分線與一個(gè)內(nèi)角平分線相交所成的角與三角形另一個(gè)角的數(shù)量關(guān)系△ABC的兩外角∠ CBD與∠ BCE的平分線交于點(diǎn)P，求∠ P與∠A的數(shù)量關(guān)系.能否再次借助例1所得的數(shù)量關(guān)系呢？不妨作出∠ABC與∠ACB的平分線，交于O，則由例1可得∠ BOC=90° 1/2∠A，由知識(shí)準(zhǔn)備3，∠ OBP=∠OCP=90°，在四邊形OBPC中，由內(nèi)角和定理，可得∠P ∠OBP ∠OCP ∠BOC=360°，∠P=90°-1/2∠A.這里，我們得出了一個(gè)三角形中，兩外角平分線所成的角與另一個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系：如圖，在△ ABC中，∠ A=m°，∠ ABC與∠ ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠ A1BC與∠ A1CD的平分線交于A2，得∠ A2，……，∠ A2012BC和∠ A2012CD交于點(diǎn)A2013，則∠A2013=________.后記：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，嘗試從不同的角度去思考同一個(gè)題目，往往會(huì)出現(xiàn)一題多解，而從同一個(gè)角度去解決相關(guān)的題目，體現(xiàn)多題一解的思想。個(gè)人認(rèn)為多題一解比一題多解更好，體現(xiàn)了化歸的思想，把不同的但有些相關(guān)的題目尋求同一種或者類似的方法去解決。學(xué)習(xí)中我們要有意識(shí)地這樣去思考。
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