一課研究之“負(fù)數(shù)引起了哪些新變化？”

石巖雪云 2016-06-14

展開(kāi)全文

向你介紹我是誰(shuí)

蘇陳林

○浙江臺(tái)州市椒江區(qū)云健小學(xué)

○朱樂(lè)平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”團(tuán)隊(duì)第一組成員

本期內(nèi)容有哪些

聽(tīng)一聽(tīng)：咱們一起聊聊“0”與“負(fù)數(shù)”

讀一讀：負(fù)數(shù)引起了哪些新變化？

想一想：你會(huì)怎么回答？

輕輕松松聽(tīng)聽(tīng)書(shū)

當(dāng)前瀏覽器不支持播放音樂(lè)或語(yǔ)音，請(qǐng)?jiān)谖⑿呕蚱渌麨g覽器中播放 5:41 咱們一起聊聊“0”和“負(fù)數(shù)” 來(lái)自一課研究

堅(jiān)持閱讀8分鐘

負(fù)數(shù)引起了哪些新變化？

有了負(fù)數(shù)后，數(shù)的范圍也就從正數(shù)和零擴(kuò)大到了有理數(shù)。數(shù)系完成了第一次擴(kuò)充，數(shù)的范圍擴(kuò)大了，這就引起了一系列相關(guān)概念、法則的變化。小編稍稍整理了一下，至少引起了以下六大變化：

一、減法運(yùn)算總可以實(shí)施

在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之前我們已經(jīng)學(xué)過(guò)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)，但在實(shí)際生活中，這些數(shù)是不夠用的。例如:某地白天最高溫度為3℃，由于冷空氣的到來(lái)，溫度急劇下降了5℃，那么這時(shí)溫度是多少呢?對(duì)這一實(shí)際問(wèn)題，可以用減法來(lái)解，即求出(3－5)的差，但在沒(méi)有負(fù)數(shù)之前，這個(gè)差是不存在的，而實(shí)際上這時(shí)的氣溫卻是客觀存在的。

為了解決類似的許多實(shí)際問(wèn)題中存在的“不夠減”的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)上引進(jìn)了一種新數(shù)，即負(fù)數(shù)，如:3一5=﹣2。這里的“﹣2”是一個(gè)比0還小的數(shù)，數(shù)字2前面的“﹣”號(hào)讀作“負(fù)”?；氐綄?shí)際問(wèn)題中，﹣2℃就是我們熟悉的零下2℃。這樣，有了負(fù)數(shù)，就可以解決以往數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較小數(shù)不能減較大數(shù)的實(shí)際問(wèn)題。在所學(xué)數(shù)的范圍內(nèi)，減法運(yùn)算總可以實(shí)施了。

二、和可能比加數(shù)小

在引進(jìn)負(fù)數(shù)之前，兩個(gè)數(shù)相加，和一定不小于任意一個(gè)加數(shù)；兩個(gè)數(shù)相減，差一定不大于被減數(shù)。而引進(jìn)負(fù)數(shù)后，和可能比加數(shù)小。因此，我們就不能再用原來(lái)的結(jié)論來(lái)解決與有理數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。比如：a/5一定小于a嗎？m+10一定大于10嗎？有了負(fù)數(shù)后，這些都可能發(fā)生變化。所以，我們不能再用“和大于加數(shù)”、“差小于被減數(shù)”來(lái)判斷加減的運(yùn)算結(jié)果是否正確。

三、“0”的意義發(fā)生了一些變化

1.“0”不再是最小的數(shù)了。在負(fù)數(shù)沒(méi)有學(xué)習(xí)之前，“0”是最小的數(shù)，“0”之外的其它數(shù)都比“0”大。而隨著負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，它不再是最小了，比“0”小的數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，因?yàn)樗械恼龜?shù)都大于“0”，而一切負(fù)數(shù)都小于“0”。由此，有了負(fù)數(shù)之后的有理數(shù)集合里，沒(méi)有了最大的數(shù)，也沒(méi)有了最小的數(shù)。數(shù)的家族中再?zèng)]有最小了，而只有更小了。

2.“0”不僅僅表示沒(méi)有了。在引入負(fù)數(shù)前，我們都知道0可以表示沒(méi)有、起點(diǎn)等，但自從引入負(fù)數(shù)之后，“0”則表示一種可以作為區(qū)別的狀態(tài)，即通常說(shuō)的“標(biāo)準(zhǔn)”。

在溫度計(jì)上，0℃不是表示沒(méi)有溫度，而是表示冰點(diǎn)這樣一個(gè)完全確定的溫度。零上溫度我們可以用正數(shù)來(lái)表示，零下溫度我們可以用負(fù)數(shù)來(lái)表示。

在地理中也經(jīng)常用到正負(fù)數(shù)，科學(xué)家是以海平面為零點(diǎn)，以向上的垂直高度為正，以向下的垂直高度為負(fù)來(lái)描述海拔高度。某地的海拔高度是0米，這并不是這個(gè)地點(diǎn)沒(méi)有高度，而是指這一地點(diǎn)與海平面的高度一樣高。

在方位上，我們也可以用“0”為參照點(diǎn)來(lái)進(jìn)行描述。正向和反向是一對(duì)相反的事物，從中可以看出正負(fù)數(shù)的痕跡，如果向東走可以用負(fù)數(shù)來(lái)表示的話，那向西走就可以用正數(shù)來(lái)表示。反之如果向東走用正數(shù)來(lái)表示的話，那向西走就可以用負(fù)數(shù)來(lái)表示。不論怎么走，它們都是以零點(diǎn)為參照點(diǎn)進(jìn)行描述的。

3.“0”還可以表示標(biāo)準(zhǔn)水位、身高比較的基準(zhǔn)等等。引入正負(fù)數(shù)后，“0”的意義就是如此的豐富，“0”還可以表示與數(shù)軸上的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

“0”是一個(gè)非常特殊的數(shù)字。它的意義和作用伴隨著我們學(xué)習(xí)的深人，也在不斷發(fā)生著變化。“0”小于所有正數(shù)，大于所有負(fù)數(shù)。它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)?！?”相對(duì)于正數(shù)與負(fù)數(shù)而言也就成了唯一的中性數(shù)。因?yàn)樨?fù)數(shù)的出現(xiàn)，讓我們對(duì)“0”又有了新認(rèn)識(shí)！

四、見(jiàn)到符號(hào)“＋”、“－”不只是想到了“加”、“減”

我們知道，在引進(jìn)負(fù)數(shù)之前，“+”號(hào)和“﹣”號(hào)只是運(yùn)算符號(hào)，分別表示加和減，但引入負(fù)數(shù)后，它們除了仍表示運(yùn)算符號(hào)(加、減)外，還有下述意義：

1.可以看作是一個(gè)數(shù)(“正數(shù)”、“負(fù)數(shù)”)的性質(zhì)符號(hào)。如(﹣6)﹣(+4 )中6前面的“﹣”號(hào)表示“負(fù)號(hào)”，中間的“﹣”號(hào)還是表示“減號(hào)”，后面的4前面的符號(hào)“+”號(hào)就表示“正號(hào)”。

把“正號(hào)”放在一個(gè)非零的數(shù)前面時(shí)，表示這個(gè)數(shù)是正數(shù)。如9本來(lái)就是正數(shù)，有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)它是正數(shù)，可以在它的前面再放上“＋”號(hào)，變成了“＋9”，讀作“正9”。也就是說(shuō)“＋9”和“9”是一樣的，都是正數(shù)。但是如果在9前面放上“﹣”號(hào)，所得的數(shù)“－9”就是個(gè)負(fù)數(shù)，讀作“負(fù)9”。

2.對(duì)于“—”號(hào)還可以作為關(guān)系符號(hào)，表示一個(gè)數(shù)的相反數(shù)。把“﹣”號(hào)寫(xiě)在一個(gè)數(shù)（比如說(shuō)是正數(shù)或是負(fù)數(shù)，也可以是零）的前面，就表示這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。如﹣(﹣1)表示﹣1的相反數(shù)；﹣（a+b）表示“a、b兩數(shù)之和的相反數(shù)”。

有了負(fù)數(shù)，我們就要注意：若一個(gè)式子中有幾個(gè)符號(hào)，則要先弄清它們分別表示什么，這樣才能正確讀出它們。

五、整數(shù)與分?jǐn)?shù)的范圍擴(kuò)大了

在數(shù)系的發(fā)展史上有三次重要的擴(kuò)充：一是從正數(shù)和零擴(kuò)充到有理數(shù)；二是從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)；三是從實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)概念的被接受，數(shù)的范圍也就從正數(shù)和零擴(kuò)大到了有理數(shù)，數(shù)系完成了第一次擴(kuò)充。

在負(fù)數(shù)出現(xiàn)之前，整數(shù)只有正整數(shù)和零，指的是0，1，2，3，這些自然數(shù)，負(fù)數(shù)到來(lái)后，整數(shù)范圍擴(kuò)大了，除了這些外，還多出了與正整數(shù)1，2，3，……相配對(duì)的﹣1，﹣2，﹣3，……這些負(fù)整數(shù)。整數(shù)也就包括了正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)三部分。如絕對(duì)值小于3的整數(shù)是﹣1、﹣2、 0、1、2。

對(duì)于所有整數(shù)之和等于0，我們也就不再奇怪了。至于分?jǐn)?shù)、小數(shù)也是如此，我們也懂得了不僅僅只有正分?jǐn)?shù)和正小數(shù)，還有負(fù)分?jǐn)?shù)、負(fù)小數(shù)，如：﹣2.9，﹣2/3……。整數(shù)與分?jǐn)?shù)的范圍徹底擴(kuò)大了。

六、運(yùn)算法則有些改變

我們知道，有理數(shù)有“符號(hào)”和“絕對(duì)值”兩個(gè)因素，所以在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)后，有理數(shù)在相加、相減、相乘、相除時(shí)，就要同時(shí)考慮運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)及運(yùn)算結(jié)果的絕對(duì)值。一般先要確定結(jié)果的符號(hào)，再計(jì)算出結(jié)果的絕對(duì)值。如：計(jì)算7＋（﹣9），這是異號(hào)兩數(shù)相加，這里結(jié)果的符號(hào)是“﹣”號(hào)，這是與絕對(duì)值較大的加數(shù)“﹣9”的符號(hào)是相同的，結(jié)果的絕對(duì)值是2，也就是說(shuō)是用較大的加數(shù)的絕對(duì)值減去較小的加數(shù)的絕對(duì)值得來(lái)的，所以運(yùn)算的最后結(jié)果是“﹣2”。

有理數(shù)的減法可以轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。而對(duì)于有理數(shù)的乘法和除法，結(jié)果的符號(hào)的確定法則是：兩數(shù)相乘（或相除），同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)。結(jié)果的絕對(duì)值的計(jì)算法則是：將兩數(shù)絕對(duì)值相乘（或相除），但相除時(shí)除數(shù)不能為0。

當(dāng)然，隨著對(duì)有理數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，隨著思考的深入，我們將會(huì)看到負(fù)數(shù)帶給我們的更多新變化，更多的新思考、新感受！

想一想

你會(huì)怎么回答？

1.對(duì)于﹣a盡管習(xí)慣上讀作“負(fù)a”，但它的意義是什么呢？

2.對(duì)于﹣0應(yīng)讀作什么呢？

你若盛開(kāi) 蝴蝶自來(lái)

審核人：吳玉蘭鄧招徒

本站是提供個(gè)人知識(shí)管理的網(wǎng)絡(luò)存儲(chǔ)空間，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，不代表本站觀點(diǎn)。請(qǐng)注意甄別內(nèi)容中的聯(lián)系方式、誘導(dǎo)購(gòu)買等信息，謹(jǐn)防詐騙。如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請(qǐng)點(diǎn)擊一鍵舉報(bào)。

轉(zhuǎn)藏 分享

QQ空間 QQ好友新浪微博微信

獻(xiàn)花（0） +1

來(lái)自：石巖雪云 > 《文件夾1》

舉報(bào)/認(rèn)領(lǐng)