6·3 素?cái)?shù)新定理的證明.

為了証明本定理，必須要熟練掌握前面介紹的河洛圖、先后天太極八卦圖及其自然分系，掌握整數(shù)六神數(shù)系與整數(shù)八卦數(shù)系的一系列性質(zhì)以及2ⁿ 的冪的四象性。

証明：可分三步進(jìn)行。因

連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">

即 連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">
.....................................(1)
由（1式）知，若連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 為非負(fù)整數(shù)，則必有 
連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> （i=1,2,3,...,n）..................(2)
其中因子 連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 的和前的同方冪的和因子?；蛘撸艉颓暗耐絻绲暮蜑楹蠑?shù)時(shí)，設(shè)其因子為Pi (i=1，2，……，k) ，亦必有

連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> （i=1,2,3,...,n）..................(3)
或者，存在異于(2)、(3)式中的因子外的整數(shù)因子qj (j =1,2,3,...,k)，仍必有.

連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> (j =1,2,3,...,k) …………… (4)

這里q_j 稱之為連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  的和外因子。

顯然，當(dāng)(2)、(3)、(4)式任一式成立時(shí)，則整數(shù)連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 必為合數(shù)；反之，(2)、(3)、(4)式同時(shí)不成立，則 連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 必為素?cái)?shù)。

第一步 由（1）式，必有

連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> (i = 1，2，3，…，n ) …………… (5) 連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">

這就証明了整數(shù)連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 不含有和前的任一同方冪和因子連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ， 即不含因子3、5、7、17、257、…、連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ；

第二步 因?yàn)?nbsp;連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  
又 (2ⁿ + 1 ) 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系">  {3 + 6n}， 或 (2ⁿ + 1) 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系">  {5 + 6n}，

所以，和前同方冪和因子連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 可能是素?cái)?shù)或?yàn)楹蠑?shù)，若連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 合數(shù)時(shí)，設(shè)

連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">
仍由(1)式，亦必有 Pi _{連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">(i=1,2.3,...,k)}

第三步 在題設(shè)2ⁿ + 1為素?cái)?shù)的前提條件下，欲証整數(shù)連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 不含任一和外的外因子Qj( j = 1，2，3，……，k)，須給出如下的引理：

引理：2的同底既約多項(xiàng)式乘積的項(xiàng)數(shù)等于各因式項(xiàng)數(shù)之積，且其積必為合數(shù)。

若2的同底既約多項(xiàng)式乘積的結(jié)果是一個(gè)關(guān)于2的同底完全降冪多項(xiàng)式，則該多項(xiàng)式又可并寫成2的同底二項(xiàng)式。且2的同底二項(xiàng)式的指數(shù)加1必等于乘積的項(xiàng)數(shù)。

一般地，任意同底既約多項(xiàng)式乘積的項(xiàng)數(shù)等于各因式項(xiàng)數(shù)之積，且其積必為合數(shù)。例如

連載（22）第六章 素?cái)?shù)定理新論">

一般地，任意同底既約多項(xiàng)式乘積的項(xiàng)數(shù)等于各因式項(xiàng)數(shù)之積，且其積必為合數(shù)。例如

連載（23）第六章 素?cái)?shù)定理新論">
= 2³¹+2³⁰+2²⁹+2²⁸+2²⁷+2²⁶+2²⁵+2²⁴+2²³+2²²+2²¹+2²⁰+2¹⁹+2¹⁸+2¹⁷+2¹⁶+2¹⁵+2¹⁴+2¹³+2¹²+2¹¹+2¹⁰+2⁹+2⁸+

2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+2+1

= (2⁹+ 2⁷ + 1) + (2¹⁶+ 2¹⁴+ 2⁷) + (2¹⁷ +2¹⁵ + 2⁸+ (2³¹+2³⁰+ 2²⁹ + 2²⁸ + 2²⁷ + 2²⁶ + 2²⁵ + 2²⁴

+2²³ + 2²² +2²¹) + (2²⁰ +2¹⁹+2¹⁸+2¹³ +2¹² +2¹¹ +2¹⁰)

= (2⁹+ 2⁷ + 1) +2⁷ (2⁹+ 2⁷ + 1) + 2⁹(2⁹ + 2⁷ + 1) + 2²² (2⁹ + 2⁷ + 1)

+ 2²¹ (2⁹ + 2⁷ + 1) + 2¹¹(2⁹ + 2⁷ + 1) + 2²⁷ + 2²⁶ + 2²⁵ + 2²⁴ +2²³ + 2¹⁹ + 2¹³ + 2¹² + 2¹⁰

= (2⁹+2⁷+ 1)(2²² +2²¹ +2¹¹ + 2⁸ +2⁷+ 1) + 2²⁷ + 2²⁶ + 2²⁵ + 2²⁴

+ (2²² +2²¹ +2²⁰ +2¹⁹+2¹⁸+2¹⁷+2¹⁷) +2¹⁹ +2¹³+2¹²+ 2¹⁰

= (2⁹+ 2⁷+ 1)(2²²+2²¹+2¹¹+2⁸ +2⁷ + 1) + 2¹⁸(2⁹ + 2⁷ + 1) + 2¹⁷(2⁹ + 2⁷ + 1)

+ 2¹³(2⁹ + 2⁷ + 1) + 2¹²(2⁹ + 2⁷ + 1) + 2¹⁰(2⁹ + 2⁷ + 1)

= (2⁹+ 2⁷+ 1)(2²²+2²¹+2¹⁸+2¹⁷+2¹³+2¹² +2¹¹+2¹⁰+2⁹+2⁷+ 1)

= 641×6700417 ……………………………… (7)

 即

(2⁹+ 2⁷+ 1)(2²²+2²¹+2¹⁸+2¹⁷+2¹³+2¹² +2¹¹+2¹⁰+2⁹+2⁷+ 1)

=2³¹+2³⁰+2²⁹+2²⁸+2²⁷+2²⁶+2²⁵+2²⁴+2²³+2²²+2²¹+2²⁰+2¹⁹+2¹⁸+2¹⁷+2¹⁶+2¹⁵+2¹⁴+2¹³+2¹²+2¹¹+2¹⁰+2⁹+2⁸+

2⁷+2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+2+1= 2³²+1

…………………………………… (7')

(7')中，一個(gè)2的同底既約三項(xiàng)式與另一個(gè)2的同底既約十一項(xiàng)式的乘積，是一個(gè)2的同底31次方完全降冪三十三項(xiàng)式。據(jù)引理必有

3×11 = 33 = 32 + 1

是一個(gè)合數(shù)。換一個(gè)角度看，其規(guī)律可概述為：

一個(gè)2的同底二項(xiàng)式合數(shù)，可以表示為降一次冪的一個(gè)2的同底完全降冪多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)等于其同底二項(xiàng)式合數(shù)的指數(shù)加1。

∵ 連載（23'）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  ..............................(8)

∴ 整數(shù)（連載（23'）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ）與整數(shù)（2ⁿ+1）的積冪四象性同一，故只須進(jìn)一步研究｛2ⁿ + 1｝的整數(shù)性質(zhì)。 又 ∵ 2ⁿ 的冪的四象性規(guī)律為

2^4k＋1 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系">  ｛2 +30 n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛2 + 6 n｝， 2^4k＋2 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系">  ｛4 +30 n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛4 + 6 n｝，

2^4k＋3易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛8 +30 n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛2 + 6 n｝， 2^4k＋4 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛16+30n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛4 + 6 n｝

(k、n 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系"> N)

∴ 對(duì)整數(shù)系｛2ⁿ + 1｝ （n 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系"> N）存在下列關(guān)系：

當(dāng) n = 4k+1時(shí) ，必有

｛2ⁿ + 1｝=｛2^4k＋1 + 1}連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛3+30n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛3+6n｝，

當(dāng) n = 4k+2時(shí) ，必有

｛2ⁿ+ 1｝=｛2^4k＋2 + 1｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛5+30n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛5+6n｝，

當(dāng) n = 4k+3時(shí) ，必有

｛2ⁿ+1｝=｛2^4k＋3 + 1｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛9+30n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛3+6n｝，

當(dāng)n = 4k+4時(shí)， 必有

｛2ⁿ+1｝=｛2^4k＋4 +1｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛17+30n｝連載（19） 第四章 八卦素合數(shù)系"> ｛5+6n｝ (k、n 易數(shù)博覽 連載（15） 第四章 八卦素合數(shù)系">  N)   ……(9)

由素?cái)?shù)分布規(guī)律知，在(9)中，地?cái)?shù)系｛3+30n｝只有3是唯一素?cái)?shù)，地?cái)?shù)系｛5+30n｝只有5是唯一素?cái)?shù)，地?cái)?shù)系｛9+30n｝的全部整數(shù)均為合數(shù)，地?cái)?shù)系｛17+30n｝中有無窮多的素?cái)?shù)與無窮多的合數(shù)(由本定理的証明同時(shí)可得到這一結(jié)論)。

于是可知，整數(shù)系（連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ）中的素?cái)?shù)全部屬于整數(shù)系｛2ⁿ+1｝，且全部都是 2 的同底二項(xiàng)式素?cái)?shù) 。逆向思考，當(dāng)｛2ⁿ+ 1｝中的素?cái)?shù)確定后，它與整數(shù)系（連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ）中的整數(shù)必是素?cái)?shù)的自在聯(lián)系在哪里?回答這個(gè)問題的答案只能在整數(shù)的八卦性質(zhì)中去尋求。要証明的是素?cái)?shù)問題，但還必須研究相應(yīng)數(shù)系中的合數(shù)的規(guī)律性。否則，任何努力將是徒勞的。

易知

連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論">
（10）的右式是2的同底(2ⁿ －1)次完全降冪多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)必等于 (2 ⁿ + 1)項(xiàng)。

顯然，整數(shù)系｛2ⁿ +1｝(n 連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N)是素合數(shù)系，其中的整數(shù)或?yàn)樗財(cái)?shù)，或?yàn)楹蠑?shù)。因此，

若2ⁿ+ 1為素?cái)?shù)，則 (10)式的右式項(xiàng)數(shù).

2ⁿ+ 1 連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論">  Pi· Pj (Pi、Pj是素?cái)?shù)) ……………… (11)

若2ⁿ + 1為合數(shù) ，則(10)式的右式項(xiàng)數(shù).

2ⁿ + 1 ＝ Ri·Rj· … Rk (Ri 、Rj 、…、Rk 是素?cái)?shù)) …… (12)

(11)與(12)兩式嚴(yán)格區(qū)別的意義不在它們本身，而在于依據(jù)整數(shù)八卦性去區(qū)別相應(yīng)數(shù)系中整數(shù)的素合性方面的特別作用。

前面對(duì) (9) 式進(jìn)行了分析，可據(jù) 2ⁿ的冪的四象性，拋開地?cái)?shù)系｛3+30n｝、

｛5+30n｝、｛9+30n｝ (n 連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N)外， 只須在地?cái)?shù)系｛17+30n｝（n連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N）中去探求結(jié)論。又依據(jù)整數(shù)八卦素合數(shù)系的積冪同一性法則，必有相應(yīng)地?cái)?shù)系之間積的下列關(guān)系成立：

(7+30n') (11+30n'')連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ｛17+30n｝

(13+30n') (29+30n'')連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ｛17+30n｝

(19+30n') (23+30n'')連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ｛17+30n｝

(31+30n') (17+30n'')連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ｛17+30n｝ (n'、 n''連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N)

………………………… (13)

由前面所証知，(13)式中所反映出的合數(shù)是地?cái)?shù)系｛17+30n｝(n連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N)中合數(shù)的全體。

毫無疑義，整數(shù)連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 、2ⁿ + 1是素?cái)?shù)(除去2、3、5三極素?cái)?shù)外)只須在地?cái)?shù)系｛17+30n｝(n連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N)中去研究。為了証明“ 若2ⁿ + 1為素?cái)?shù)，則連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  (n連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N)必是素?cái)?shù)”這一問題，絕不能只在科學(xué)問題本身上兜圈子，即不能只為了証明素?cái)?shù)而証明素?cái)?shù)問題，必須一反常規(guī)跳出原有圈子之外，從研究整數(shù)系的整體性質(zhì)上進(jìn)行探索，只須要分析研究地?cái)?shù)系 ｛17+30n｝(n連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N)中的合數(shù)的存在性及其規(guī)律即可，這正是八卦科學(xué)的奧秘所在。

(13)式左式的八個(gè)整數(shù)因子所屬的八大地?cái)?shù)系是本步証明的關(guān)鍵，它們均可作如下

7+30n = 2² +2 +1+ (2⁴+2³+2²+2)n ，

13+30n = 2³+2²+1+ (2⁴+2³+2²+2)n ，

19+30n = 2⁴+2 +1 +(2⁴+2³+2²+2)n ，

31+30n = 2⁴+2³+2²+2+1+(2⁴+2³+2²+2)n ，

11+30n = 2³+2+1+(2⁴+2³+2²+2)n ，

17+30n = 2⁴+1+(2⁴+2³+2²+2)n ，

23+30n = 2⁴+2² +2 +1+(2⁴+2³+2²+2)n ，

29+30n = 2⁴+2³+2²+1+(2⁴+2³+2²+2)n (n連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N) .............(14)

(14)這組式子說明，這組八大地?cái)?shù)系(素合數(shù)系)各式均可表示為2的同底既約多項(xiàng)式，除去2的同底二項(xiàng)數(shù)外(第1步已証， 2、3、5、17均是2的同底二項(xiàng)素?cái)?shù))，全是2的同底二項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，且全部是整數(shù)2² + 1的和外因子。所以(13)式的地?cái)?shù)系｛17+30n｝中的八卦合數(shù)均可表示為兩個(gè)關(guān)于2的同底既約多項(xiàng)式之積，又都必能寫成一個(gè)關(guān)于2的同底降冪多項(xiàng)式，其中有且僅有兩類性質(zhì)相對(duì)的多項(xiàng)式，一類是2的同底完全降冪多項(xiàng)式；另一類是2的同底不完全降冪多項(xiàng)式。二者的區(qū)別在于：凡是2的同底完全降冪多項(xiàng)式則可合并成關(guān)于2的同底二項(xiàng)式，且是一個(gè)2的同底二項(xiàng)式合數(shù)，其最高指數(shù)加1必為合數(shù)，恰好等于2的同底完全降冪多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)；凡是2的同底不完全降冪多項(xiàng)式則不能合并成關(guān)于2的同底二項(xiàng)式，只能是 2 的同底三項(xiàng)以上的 多 項(xiàng) 式，這一類合數(shù)無一能等于連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> (n連載（24） 第六章 素?cái)?shù)定理新論"> N) ，不屬定理所証。

設(shè)(14)中的八個(gè)2的同底既約多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相應(yīng)為P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8項(xiàng)，則(13)中的合數(shù)(7+30n')(11+30n'')、(13+30n')(29+30n'')、(19+30n')(23+30n'')、(31+30n')(17+30n'') 的項(xiàng)數(shù)就相應(yīng)為P1·P5、 P2·P8 、 P3·P7、 P4·P6項(xiàng)。

又由(14)知，無論n取任一正整數(shù)，八卦素合數(shù)系的任一素?cái)?shù)，必是2的同底三項(xiàng)及三項(xiàng)以上的多項(xiàng)式素?cái)?shù)。而２的同底二項(xiàng)式素?cái)?shù)是整數(shù)系｛2ⁿ+1｝的特有素?cái)?shù)。

據(jù)定理題設(shè)條件，即若2ⁿ + 1為素?cái)?shù)，則有

連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">
.....................(15)

設(shè)(15)右式的項(xiàng)數(shù)為P，由引理知P等于2ⁿ + 1 (P為素?cái)?shù))。

若地?cái)?shù)系｛17+30n｝中的乘積是關(guān)于2的同底完全降冪多項(xiàng)式時(shí)，其項(xiàng)數(shù)相應(yīng)為P1·P5、 P2·P8 、 P3·P7、 P4·P6 項(xiàng),又必能合并成2的同底二項(xiàng)式，同底二項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的最高指數(shù)分別加1，就相應(yīng)等于P1·P5、 P2·P8 、 P3·P7、 P4·P6項(xiàng)。 故恒有

P1·P5連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> P, P2·P8 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> P, P3·P7連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> P, P4·P6 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> P

連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">, 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">, 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">, 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">,

連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">+1連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論">, 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  +1連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論">,

連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">+1連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論">, 連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  +1連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論">

.............................(16)

(16)的4式恒成立。

由上述分析推理証明知，地?cái)?shù)系｛17+30n｝中的合數(shù)無一等于連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> ，這就証明了連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論">  不含和前的任一外因子Qj ( j = 1，2，…，k)。

所以，綜合上述三大步的証明一定有，當(dāng)2 ⁿ +1為素?cái)?shù)時(shí)，連載（21）第六章 素?cái)?shù)定理新論"> 必為素?cái)?shù)。

本素?cái)?shù)定理証畢。

二　關(guān)于素?cái)?shù)定理的一些猜想

附記：猜想

作為整數(shù)性質(zhì)的科學(xué)，可以毫不掩飾地說：古中國的太極八卦圖是活化了的整數(shù)性質(zhì)科學(xué)。上述素?cái)?shù)定理的証明，是我們對(duì)太極八卦科學(xué)粗淺認(rèn)識(shí)的一個(gè)嘗試。為了走近《易經(jīng)》科學(xué)，對(duì)東方古老神秘的科學(xué)進(jìn)行深刻廣泛的探索，同時(shí)也是為了獲得真誠賜教，我們在此冒昧提出下述假設(shè)：

連載（25）第六章 素?cái)?shù)定理新論">
…………………

研究的實(shí)踐告訴我們：對(duì)于八卦科學(xué)的深刻認(rèn)識(shí)只能建立在對(duì)著名科學(xué)問題的解決之中。換言之，著名科學(xué)問題的最終解決只能在八卦科學(xué)中尋求答案。