一直以來，數(shù)學(xué)都被視為描述世界的絕對有效的方法，因此，人們很自然地就會考慮到：數(shù)學(xué)本身固有的不確定性是否會造成世界運行方式固有的不確定性？

撰文 阿亞盧爾·克里希南（Ayalur Krishnan）

編譯 史星宇

審校 丁家琦

1918年，格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）在德國哈雷的一座療養(yǎng)院里與世長辭。作為一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，康托爾在19世紀70年代為超窮數(shù)理論的建立奠定了基礎(chǔ)。當時，他的思想受到了歐洲許多著名數(shù)學(xué)家的反對，其中一位最主要的反對者是康托爾曾經(jīng)的老師——利奧波德·克羅內(nèi)克爾（Leopold Kronecker）。開始的時候，康托爾十分沮喪。在他寫給瑞典數(shù)學(xué)家約斯塔·米塔格－萊弗勒（G?staMittag-Leffler）的52封信中，每一封信都提起過克羅內(nèi)克爾。

讓康托爾感到痛苦的不僅僅是克羅內(nèi)克爾的反對，還有他自己于1878年提出的，被稱為“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”的猜想。他對該猜想深信不疑，卻又苦于無法證明，可這并不是他的錯。一直以來，數(shù)學(xué)界關(guān)于這個假設(shè)得出的結(jié)論反復(fù)無常，充滿了爭議。1940年，庫爾特·哥德爾（Kurt G?del）證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)無法被證明為誤（準確地說，是無法證明假設(shè)的否命題成立）。1963年，保羅·科恩（Paul Cohen）又證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)無法被證明為正確。幸虧那時可憐的康托爾早已去世，不然他一定會被這兩個看似矛盾的結(jié)論弄得不知所措。

但這怎么可能呢？怎么可能有一件事情既無法被證實，又無法被否定？要想回答這個問題，可能要寫上好幾頁紙的定義、前提和證明才能解釋清楚。不過，這里有一個更快捷的方法來幫助我們理解，究竟要滿足哪些條件才能算作真理。

康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是關(guān)于無限集合大小的陳述。要想比較無限集合的大小，首先要搞清楚普通數(shù)字的大小是怎么比較的?？紤]一座小森林里的一群羊：我們假設(shè)有6只羊和6棵樹，每一只羊都被拴在一棵樹上，每一只羊和它對應(yīng)的樹都是唯一的組合，或稱羊和樹之間形成了“一一對應(yīng)”。如果有6只羊和8棵樹，就無法形成這種一一對應(yīng)：不管我們怎么嘗試，總會有兩棵樹上沒有栓羊。

這種一一對應(yīng)同樣適用于比6只羊大得多的集合，當然也可以用來比較無限集合。如果兩個集合之間存在一一對應(yīng)，那么這兩個集合的大小就相同。如果不存在這種一一對應(yīng)，那么其中一個集合一定要比另一個集合大。比如說，自然數(shù)集{1,2,3,4,…}里包含了5的倍數(shù)集{5,10,15,20,…}。一眼看上去，自然數(shù)集似乎顯然要比5的倍數(shù)集大。可實際上，這兩個集合一樣大，因為每一個自然數(shù)都有一個5的倍數(shù)與之相對應(yīng)，例如：1對應(yīng)5，2對應(yīng)10，依此類推，不存在沒有數(shù)字對應(yīng)的情況。

如果我們運用同樣的方法來比較實數(shù)集（包括整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)、無理數(shù)）和自然數(shù)集，我們不難發(fā)現(xiàn)，實數(shù)集更大。也就是說，這兩個集合之間不存在一一對應(yīng)。

連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是說，不存在這樣一個由實數(shù)構(gòu)成的無限集，比自然數(shù)集大，卻比包含所有實數(shù)的集合（即實數(shù)集）小?？低袪柾膺@一觀點，可是卻無法證明它。

為什么這一假設(shè)既不能被證明，又不能被證偽呢？究其原因，我們首先要考慮，一個數(shù)學(xué)證明究竟包含哪些要素。數(shù)學(xué)結(jié)論的證明建立在公理和邏輯推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，公理是關(guān)于一些原始數(shù)學(xué)概念的表述，這些概念對于我們的直覺而言十分顯然，以至于我們認為它們是不證自明的。舉例來說，對于任何一個自然數(shù)（自然數(shù)就是一個原始概念），總存在比這個自然數(shù)更大的自然數(shù)，這就是一條公理。毫無疑問，這樣一條公理是不證自明的。以公理為基礎(chǔ)，再運用邏輯，就可以推導(dǎo)出各種復(fù)雜的結(jié)論。最后，我們可以建立起一種“模型”，也就是能夠滿足一系列公理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵在于，每一條運用公理和邏輯推導(dǎo)證明出的結(jié)論都應(yīng)當在由這一系列公理組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中成立。

事實上，所有數(shù)學(xué)結(jié)論都可以通過運用與集合相關(guān)的基本概念和公理推導(dǎo)出來。在數(shù)學(xué)中，這一分支被稱為集合論（set theory）。我們可以這樣去證明一個結(jié)論：首先用集合的語言將其恰當?shù)乇硎龀鰜?，再用邏輯和公理去證明它。有關(guān)集合的公理包括：一個集合里的部分元素可以用來建立一個新的集合，以及存在一個無限集合等等。

哥德爾描述了一個可以滿足集合論公理的模型，但是在這個模型中，不存在大小介于自然數(shù)集與實數(shù)集之間的無限集，因此，無法證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立。然而，20多年以后，保羅·科恩成功建立了另一個集合模型，同樣滿足了集合論的公理，但是卻允許了那樣一個無限集的存在，因此，也無法證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立。

換句話說：如果存在一個證明表明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立，那么它必須滿足所有和集合論有關(guān)的模型，然而，事實上卻并非如此。同樣，如果連續(xù)統(tǒng)假設(shè)被證明不成立，那么，它在所有和集合論有關(guān)的模型中都不應(yīng)當成立，事實上也并非如此。

以后很可能會出現(xiàn)一些新的公理，可以證明這個假設(shè)是真的或是假的。比如說，一條新的公理可以通過提供一個新的集合組成方式來證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立。這樣的公理有很多，被稱為“大基數(shù)公理”，它們組成了現(xiàn)代集合論中一個活躍的分支?？墒?，迄今為止，依舊沒有得出什么確切的結(jié)論。

有關(guān)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的不確定性非常特殊，但同時也是至關(guān)重要的，因為這一問題涉及到了數(shù)學(xué)本身的結(jié)構(gòu)，可能會引發(fā)出一系列關(guān)于科學(xué)哲學(xué)和公理化方法的重大問題。一直以來，數(shù)學(xué)都被視為描述世界的絕對有效的方法，因此，人們很自然地就會考慮到：數(shù)學(xué)本身固有的不確定性是否會造成世界運行方式固有的不確定性？世界運行的基本法則真的變幻莫測嗎？在不同的世界里，數(shù)學(xué)事實會不會也不盡相同？也許只有解決了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的問題，才有人能夠得出這些結(jié)論。

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