問題是學(xué)習(xí)的動力，以問題為載體，可以激發(fā)學(xué)生的探究欲望。問題是思維的引擎，以問題為平臺，可以發(fā)展學(xué)生的思維能力。美國著名數(shù)學(xué)家哈爾斯（P.R.Halmos）曾說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟?！绷己玫膯栴}，不僅可以幫助教師完成課程教學(xué)的任務(wù)，更為重要的是可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的問題意識——問題意識是創(chuàng)新人才的關(guān)鍵素養(yǎng)之一。

新課改以來，江蘇省常州市中小學(xué)在課堂教學(xué)中，始終把問題作為教學(xué)設(shè)計和教學(xué)組織的核心，提出了“問題引領(lǐng)課堂”的教學(xué)理念；并且通過“基于課堂，同題異構(gòu)”“基于反思，課例分析”“基于研修，課題沙龍”等方式，組織教師對“問題引領(lǐng)課堂”展開豐富、深入的交流研討。

一、“問題引領(lǐng)課堂”的基本理念

所謂“問題引領(lǐng)課堂”，就是根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，圍繞核心問題（思想或思維模式），設(shè)計若干有邏輯關(guān)聯(lián)（如按照認(rèn)知發(fā)展順序等）、有層次梯度的子問題，組成系列問題（又稱為“問題鏈”），作為教學(xué)活動的主要出發(fā)點(diǎn)和課堂互動的關(guān)鍵材料。以問題鏈為主要形式的課堂教學(xué)，不僅可以落實數(shù)學(xué)課程的培養(yǎng)目標(biāo)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程獨(dú)特的育人價值，更能夠在連續(xù)的系列問題中，讓學(xué)生的思維得到有效的發(fā)展。

很多人認(rèn)為滿堂提問就是“問題引領(lǐng)課堂”，其實不然。當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，隨處可見無思維含量的無效問題、瑣碎無關(guān)聯(lián)的低效問題等，這些問題沒有提綱挈領(lǐng)地反映數(shù)學(xué)概念、原理的形成過程和學(xué)生思維、能力的發(fā)展脈絡(luò)，反而令學(xué)生的思維表面化、碎片化。只有圍繞教學(xué)目標(biāo)，精心設(shè)計體現(xiàn)思維價值的問題鏈，才能讓學(xué)生的思維得到有效的發(fā)展。

二、“問題引領(lǐng)課堂”的重要性

古今中外，重視問題在教學(xué)中的重要性的思想家、教育家比比皆是。古希臘的蘇格拉底提出“問答法”。中國的儒家經(jīng)典《學(xué)記》指出：“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)?！边@里，“道”就是引導(dǎo)，“開”就是啟發(fā)，這兩者都要以問題為載體。20世紀(jì)著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾反復(fù)強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造出來；因而，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”。而數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，僅僅依靠事實材料是不夠的，需要有核心內(nèi)容凸顯、思維跨度適中的問題鏈的引領(lǐng)，使學(xué)生能夠逐漸逼近對象的本質(zhì)，進(jìn)而不斷提升建構(gòu)的層次。

20世紀(jì)80年代以后，以認(rèn)知主義學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論成為主流。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)并非學(xué)生對于教師所授予的知識和經(jīng)驗的被動接受，而是學(xué)生依據(jù)已有的知識和經(jīng)驗所作的主動建構(gòu)。適合的問題能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生積極反省，改善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)已有圖式的擴(kuò)展和更新，而知識的不斷重構(gòu)是數(shù)學(xué)思維的一個重要特點(diǎn)。從心理學(xué)角度分析，思維靠問題激發(fā)，靠解決問題過程中不斷出現(xiàn)的新問題延續(xù)、展開和深入。

問題引領(lǐng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要理念和方法。沒有問題作引導(dǎo)，僅僅通過敘述的方式闡述知識，不是數(shù)學(xué)的教學(xué)方式。數(shù)學(xué)教材所呈現(xiàn)的一般是“固態(tài)”的知識，它掩蓋了問題的源頭和發(fā)展的線索。教師要通過螺旋上升式的問題鏈，挖掘、展示知識發(fā)生、發(fā)展以及問題解決背后蘊(yùn)含的思維價值，引發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想與方法。教師若能夠?qū)⒄n程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的知識體系轉(zhuǎn)換成連續(xù)性的問題鏈，就能夠使教學(xué)過程成為循序漸進(jìn)、邏輯建構(gòu)的認(rèn)知途徑，使教學(xué)活動成為圍繞問題解決的一種能動性主體建構(gòu)活動。

問題引領(lǐng)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本需要。沒有問題作載體，學(xué)生就難以展開積極、有效的思維。新課程特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中的主體地位。教師要通過問題的引領(lǐng)，促進(jìn)學(xué)生問題意識的發(fā)展，彰顯學(xué)生主體思考的特征。設(shè)計螺旋上升式的問題鏈，從橫向上看，可以讓不同層次的學(xué)生都能參與思考，都有思維空間；從縱向上看，可以讓學(xué)生的思維不斷爬坡，讓學(xué)生的理解不斷加深。只有在具有一定結(jié)構(gòu)的問題鏈中思考，讓問題鏈成為思維發(fā)展的臺階，學(xué)生的綜合能力才能得到螺旋上升。

三、“問題引領(lǐng)課堂”的核心：問題鏈的設(shè)計

（一）問題鏈的基本類型

根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)和任務(wù)，問題鏈有不同的類型。從目標(biāo)要求看，問題鏈可以分為探究原因式、追詢結(jié)果式。從開放程度看，問題鏈可以分為開放式、收斂式、半開半收式。從子問題之間的邏輯關(guān)系看，問題鏈可以分為遞進(jìn)式、并列式。當(dāng)然，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容和形式，更多的問題鏈?zhǔn)巧厦鎺追N類型的組合。

遞進(jìn)式問題鏈邏輯緊湊，其中的問題在知識結(jié)構(gòu)上屬于遞進(jìn)關(guān)系，依次加深、環(huán)環(huán)緊扣。此類問題鏈能夠激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，在課堂教學(xué)中最為常見。并列式問題鏈邏輯松散，其中的問題在知識結(jié)構(gòu)上屬于并列關(guān)系，并無前后、主次之分。此類問題鏈主要在探究活動中使用。下面的案例可以說明遞進(jìn)式問題鏈中子問題之間的邏輯關(guān)系。

【案例1】“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”問題鏈設(shè)計

教學(xué)“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”時，學(xué)生對“拋物線”這個名詞并不陌生，因為在中學(xué)階段曾經(jīng)三次出現(xiàn)過“拋物線”概念：第一次是“二次函數(shù)的圖像是拋物線”，第二次是“重力作用下的平拋或斜拋物體的運(yùn)動軌跡是拋物線的一部分”，第三次就是此處，即“拋物線是用平面截圓錐面得到的曲線類型之一”。學(xué)生雖然曾經(jīng)三次接觸過拋物線，但是沒有深入思考過這三者之間的聯(lián)系。因此，如何把作為函數(shù)圖像的拋物線與作為圓錐曲線的拋物線有序關(guān)聯(lián)起來，引出其內(nèi)在的邏輯關(guān)系，使三個概念“歸一”，便是本節(jié)課的核心問題。由此，可以設(shè)計如下問題鏈——

問題1 請同學(xué)們回憶二次函數(shù)，如y=x2、y=ax2等的圖像，它們一定是拋物線嗎？為什么？

問題2 如果y=x2、y=ax2的圖像是拋物線，那么你能求出它們的定點(diǎn)與定直線嗎？

問題3 如果不能求出定點(diǎn)與定直線，也就是不能從數(shù)到形，那么你能否換個角度來研究？

問題4 你已經(jīng)知道了拋物線的定義，那么能否從形到數(shù)，建立拋物線的方程？

問題5 你能否大膽預(yù)測求出的拋物線方程與二次函數(shù)解析式之間的聯(lián)系？

這里，問題1的設(shè)置目的是喚醒，即提取學(xué)生知識結(jié)構(gòu)中已有的拋物線知識。問題2的設(shè)置目的是關(guān)聯(lián)，即把函數(shù)中的拋物線與解析幾何中的拋物線聯(lián)系起來。問題3的設(shè)置目的是誘思，即在由問題2產(chǎn)生的思維障礙的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，提升思維認(rèn)識的層次。問題4的設(shè)置目的是明題，即綜合問題3的思考結(jié)果，點(diǎn)明本節(jié)課的主題。問題5的設(shè)置目的是提升，即從數(shù)形結(jié)合思想方法的角度，幫助學(xué)生“歸一”，提升知識結(jié)構(gòu)的層次。這樣，可以深刻揭示作為函數(shù)圖像的拋物線與作為圓錐曲線的拋物線的一致性：函數(shù)的解析式y=x2、y=ax2其實就是拋物線的方程，這樣的解析式（方程）特征決定了其對應(yīng)的圖像必然是拋物線。而它們的差異在于順序的不同，即函數(shù)圖像是由數(shù)到形，曲線方程是由形到數(shù)；但歸根到底它們是統(tǒng)一的，是拋物線的兩個側(cè)面。

(二)問題鏈的設(shè)計原則

經(jīng)過多年的思考與實踐，我們探索出設(shè)計問題鏈的若干原則以及相應(yīng)案例。

1.突出核心問題。

在教學(xué)中，要思考哪些是牽一發(fā)而動全身的，最能體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)或概念本質(zhì)、最能突破教學(xué)難點(diǎn)或思維瓶頸的核心問題。例如思維動機(jī)問題“為什么要研究三角函數(shù)”、思維方式問題“為什么要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”等。問題鏈的設(shè)計首先要從教和學(xué)兩個維度把握核心問題，展現(xiàn)核心數(shù)學(xué)概念、原理的發(fā)生和發(fā)展，體現(xiàn)重要數(shù)學(xué)思維模式、過程的應(yīng)用和滲透，反映學(xué)生最想解決的問題。核心問題是主線，子問題圍繞核心問題順勢展開、螺旋上升。

【案例2】“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”引入教學(xué)

本節(jié)內(nèi)容的核心思想是數(shù)形結(jié)合，這也是解析幾何的基本思想。因此，本節(jié)教學(xué)要整合三個方面的問題：為什么要研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？同樣是研究平面圖形，義務(wù)教育階段的平面幾何知識與高中階段的解析法思想如何更緊密地結(jié)合起來？怎么延續(xù)、提高“平面解析幾何初步”中的相關(guān)知識和認(rèn)識？以下是筆者執(zhí)教的課堂實錄片段——

師（展示直線與圓圖形，如圖1）如何求圓心到直線的距離？

圖1

生 用直尺測量。

師 這是幾何方法。還有更準(zhǔn)確的方法嗎？

生 剛才的方法不夠準(zhǔn)確?？梢杂命c(diǎn)到直線的距離公式。

師 需要具備什么條件，才能使用這一距離公式？

生 圓心坐標(biāo)和直線方程。

師 現(xiàn)在給出的條件中有這些量嗎？還需要借助于什么工具，才能求出這些量？

生 平面直角坐標(biāo)系。

師（展示坐標(biāo)圖，如圖2）這個過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的什么思想方法呢？

圖2

生 數(shù)形結(jié)合的思想。先從形到數(shù)，通過坐標(biāo)系工具求出圓心坐標(biāo)及直線方程；后從數(shù)到形，利用平面解析幾何中的點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離。

師 現(xiàn)在我把上述坐標(biāo)系連同曲線放進(jìn)某個特殊空間——這個空間有這樣一種特殊功能，就是把坐標(biāo)平面上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话搿ＴO(shè)原來的圓和直線經(jīng)過這個空間作用后所得的曲線分別為C′，l′，你能說明它們分別是什么曲線嗎？

生l′還是直線，但是不知道C′是什么曲線。

師 你是怎么判斷的？

生 l′的方程是x-2y-3=0，屬于二元一次方程，由此可以判斷l′是直線。而C′的方程是(x－1)2+4(y－2)2=4，它對應(yīng)什么曲線，我沒有學(xué)過。

師 C′可能是圓嗎？

生 不可能，因為不滿足圓的方程特征。

師 （借助于幾何畫板演示，如圖3）C′似乎是橢圓，怎么確定呢？

圖3

（學(xué)生思考。）

師 既然利用曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)方程特征可以判斷曲線形狀，那么，顯然我們面對的問題就是：橢圓的方程特征又是什么？只要知道了橢圓方程的一般特征，就可以對C′的方程對應(yīng)的曲線是不是橢圓有個交代了。這就是本節(jié)課的課題“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”。

上面的問題鏈設(shè)計，利用問題解決的模式，從幾何問題出發(fā)，由形到數(shù)，由幾何方法到代數(shù)方法，結(jié)合變換的性質(zhì)求出變換后的曲線所對應(yīng)的方程，讓學(xué)生自然地想到利用方程的特征判斷曲線的類型，進(jìn)而產(chǎn)生探求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的迫切愿望。整個設(shè)計順應(yīng)了數(shù)學(xué)內(nèi)容之間內(nèi)在的、本質(zhì)的、必然的聯(lián)系，凸顯了數(shù)形結(jié)合的思想方法。

2.體現(xiàn)學(xué)生主體。

教育學(xué)的研究表明，每一位學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，都有自己的活動經(jīng)驗和知識積累，都有自己的思維方式和解題策略；而且教師的經(jīng)驗有局限性。因此，問題鏈的設(shè)計不需要每次都完全到位，也不能滿足于得到教師所想的答案，而應(yīng)該保持一定的彈性、張力，并體現(xiàn)思維的發(fā)散性，留有發(fā)揮的空間，從而盡可能地激發(fā)不同層次學(xué)生的思維參與，讓學(xué)生在更廣闊的思維空間進(jìn)行有效探索，獲得意義建構(gòu)。此外，課堂教學(xué)更要注重生成，要在學(xué)生獨(dú)立、主動思考的基礎(chǔ)上組織有效的討論，鼓勵學(xué)生發(fā)表不同意見，注意挖掘、利用有獨(dú)特思維價值的學(xué)生答案，通過促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的同化和順應(yīng)，深化學(xué)生的思維，提高學(xué)生的能力，從而使得問題鏈更加針對學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙點(diǎn)，指向?qū)W生學(xué)習(xí)的發(fā)展點(diǎn)。

【案例3】“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”推導(dǎo)教學(xué)

現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)對“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的純粹性和完備性”不作要求，但是，從數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性要求出發(fā)，需要對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程中的等價性進(jìn)行思考。于是，筆者設(shè)計了如下問題鏈，以引發(fā)學(xué)生思考，而不直接給出結(jié)論。

問題1在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1(a>b>0)的推導(dǎo)過程中，我們對方程a2－cx=a(x－c)2+y2進(jìn)行了平方的變形，那么這兩個方程等價嗎？

問題2 怎么證明你的結(jié)論？如何從數(shù)和形兩個方面思考？

學(xué)生對這組問題的解決辦法爭論了很長時間，從課上延續(xù)到課后好幾天。在筆者的參與、引導(dǎo)下，學(xué)生不斷地發(fā)現(xiàn)了新的問題和結(jié)論。

這里，教師的問題鏈只是一個“框架”，起引導(dǎo)思路的作用，教學(xué)中更多的是以學(xué)生為主，從學(xué)生的問題出發(fā)，在師生討論的過程中逐步深入思考。在不斷生成新問題、解決新問題的過程中，師生都有收獲：學(xué)生的收獲不僅是解決了一個個問題，更在于運(yùn)用知識的策略、思考問題的方法以及成功的體驗、學(xué)習(xí)的信心；教師的收獲在于轉(zhuǎn)變了一些想當(dāng)然的觀念和思維定勢，進(jìn)一步認(rèn)識了學(xué)生的思維方式，研究了學(xué)生的思維特點(diǎn)——由此，真正做到了教學(xué)相長。

3.加強(qiáng)邏輯分析。

圍繞核心問題設(shè)置問題鏈時，需要重點(diǎn)思考以下幾個方面的內(nèi)容：一是選擇子問題的發(fā)問節(jié)點(diǎn)，應(yīng)盡可能把握最有價值的環(huán)節(jié)，而不在非核心、非關(guān)鍵的細(xì)枝末節(jié)上做文章；二是確定子問題之間的邏輯關(guān)系，并列還是遞進(jìn)，先后順序如何等，應(yīng)盡可能貼近學(xué)生的思維區(qū)間；三是把握子問題之間的難度梯度，應(yīng)在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)保持問題難度的螺旋上升，采用內(nèi)在有序的結(jié)構(gòu)化形式。

【案列4】“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”習(xí)題教學(xué)

一位教師選用了蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中本節(jié)內(nèi)容的課后習(xí)題第7題（“探究·拓展”題），大致教學(xué)過程如下——

（教師將學(xué)生分成4組后，呈現(xiàn)如下問題情境：（1）在白紙上畫一個半徑為10 cm的圓C；（2）第k組在距離圓心2k cm處取一個定點(diǎn)F（k=1,2,3,4）；(3)如圖（圖4），將紙片折起，使圓周過點(diǎn)F，然后將紙片展開，畫出折痕l1；（4）用同樣的方法，畫出l2，l3，l4，…。）

圖4

師 觀察這些折痕，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（學(xué)生展示、交流。）

師 好，剛才幾位同學(xué)既展示了結(jié)果，又交流了過程，值得大家借鑒。下面我用幾何畫板演示一下。

……

在課后的研討中，很多教師認(rèn)為此題的教學(xué)“余味未盡”，沒有把握提升學(xué)生從具體到抽象這一更高層次思維能力的關(guān)鍵，失去了一次鍛煉學(xué)生思維的很好的機(jī)會。在集體研討的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步設(shè)計了下面的問題鏈，引導(dǎo)學(xué)生“爬山”，推動學(xué)生的思維能力走上更高的平臺，培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和深刻性。

問題1能否將剛才的折紙問題抽象為一個數(shù)學(xué)模型？

問題2是否思考過設(shè)置參數(shù)k有什么數(shù)學(xué)含義？

問題3怎么知道某一折痕上的哪一點(diǎn)在橢圓上？

問題4當(dāng)點(diǎn)F分別在圓心處、圓外時，折痕圍成什么圖形？

問題5如果把圓換成橢圓，折痕又圍成什么圖形？

總之，要以教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容以及學(xué)習(xí)的引導(dǎo)方式為核心，通過所設(shè)計的問題鏈體現(xiàn)知識發(fā)展的脈絡(luò)，并盡可能符合學(xué)生思維的脈絡(luò)。同時，要注意問題鏈的開放性，以處理好預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系：既不限得太死，讓學(xué)生思維僵化；也不放得太開，讓學(xué)生無所適從。

四、“問題引領(lǐng)課堂”的幾個難點(diǎn)

回顧十年來的“問題引領(lǐng)課堂”研究和落實活動，我們發(fā)現(xiàn)，廣大教師以此課題為載體的課程實施能力得到了明顯提高，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣得到了明顯提升。同時，我們也感覺到，還需要進(jìn)一步思考以下四個方面的問題：科學(xué)確定問題鏈的核心（線索），統(tǒng)籌確立問題鏈的節(jié)點(diǎn)，有效控制問題鏈的難度，合理設(shè)置問題鏈的臺階。

例如，我們發(fā)現(xiàn)，在問題鏈的起點(diǎn)設(shè)置上，教師常對難度太低的問題不重視，誤認(rèn)為其沒有思維價值，忽視了它們在問題鏈中所起的基礎(chǔ)、伏筆和線索作用，忘記了“面向大多數(shù)學(xué)生”的教學(xué)原則。我們還發(fā)現(xiàn)，在問題鏈的臺階設(shè)置上如何控制好難度，也是棘手的問題：臺階太小，學(xué)生輕易得出答案，問題失去了考驗學(xué)生思維的價值；臺階太高，學(xué)生沒有能力思考，問題也失去了存在的價值。因此，梯度合理的問題鏈的組織方式，是問題鏈設(shè)計的必須突破的重要問題之一。

*本文原載于《教育研究與評論》2015年第1期，系首屆華人數(shù)學(xué)教育大會（2014年5月22～24日，北京師范大學(xué)）主題報告的發(fā)言稿，發(fā)表時略有刪節(jié)和改動。

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