伽羅華十五歲才開始學習數(shù)學，卻在十八歲就解決了代數(shù)方程根式解的存在性的千古難題。伽羅華的數(shù)學才華足以通過皇家中學的考試要求，但他的解答往往是很富有創(chuàng)造性的和精妙的，以致他的考官們賞識不了。他把大量的演算放在他的頭腦里進行，而不屑在紙上把論證寫清楚，這使得平庸的考官們更加茫然不知所措和沮喪。所以伽羅華兩次報考綜合工科學院都敗北，只能入學巴黎高師。伽羅華在十七歲就完成了《關(guān)于五次方程的代數(shù)解法問題》的論文，送交了法國科學院，但是被柯西遺失。后來，伽羅華又將另一篇論文送給傅里葉，當時傅里葉已經(jīng)風燭殘年，不久就撒手人寰。這篇論文的下落也就不了了之。后來，伽羅華又完成了《關(guān)于根式解方程的可解性條件》一文，院士泊松的審查意見卻是“完全不能理解”，予以退回。這一系列的打擊令伽羅華的熱情轉(zhuǎn)向了政治，從而支持共和主義事業(yè)的斗爭。由于伽羅華思想激進，積極參加當時的革命活動，兩次入獄，最終一年后被巴黎高等師范開除學籍。

巴黎高師，攝于2014年6月14日，巴黎

?；庶h設計挑起伽羅華和一名軍官的決斗，這名軍官是當時有名的神槍手。伽羅華不幸因決斗受重傷于1832年5月31日離世，時年不滿21歲。在決斗前夜，伽羅華將他關(guān)于方程論的發(fā)現(xiàn)草草寫成幾頁寄給他的朋友舍瓦利耶，并留下了遺言：

伽羅華的朋友不負重托，到了14年后的1864年，劉維爾在由他創(chuàng)建的《純粹數(shù)學和應用數(shù)學雜志》上發(fā)表了伽羅華的部分文章。劉偉爾在他的介紹文章中，對于伽羅華的天才被埋沒做了反思：“這些杰出的數(shù)學家（審稿人）想必認為，通過他們審慎的忠告所表現(xiàn)的苛刻，設法使這個充滿才華但尚無經(jīng)驗的初出茅廬者轉(zhuǎn)回到正確的軌道上來是合適的。他們苛評的這位作者是勤奮和富有進取心的，他可以從他們的忠告中獲益。但是現(xiàn)在一切都改變了，伽羅華再也回不來了。。。我的熱心得到了好報，在填補了一些細小的缺憾后，我看出了伽羅華用來證明這個美妙定理的方法是完全正確的，在那個瞬間，我體驗了強烈的愉悅?！敝钡酱藭r，人們終于承認了19世紀數(shù)學中由一位它的最悲慘的英雄創(chuàng)造的杰作。若當在1870年出版了《置換和代數(shù)方程專論》，全面而清楚地介紹了伽羅華理論。伽羅華超越時代的天才思想才逐漸被人們所理解和承認。

伽羅華畫像

伽羅華的貢獻并不限于給出代數(shù)方程有無根式解的一個明確判據(jù)。更為重要的是，在解這一問題的過程中，他引人了全新的思想和概念：群及群論思想。在他之前，解方程始終是代數(shù)發(fā)展的中心，伽羅華在他短暫的一生中所做的貢獻，徹底地終結(jié)了解方程的理論，從而改變了代數(shù)發(fā)展的歷史進程。群，環(huán)，域的理論成為抽象代數(shù)的中心。

下面我們簡單地回顧一下伽羅華理論的精華。假設F是復數(shù)的一個集合，如果F包括0和1，同時對加，減，乘，除封閉，那么F就被稱為是一個域。我們可以在一個域中加入不在域中的一些數(shù)，

使得F“擴張”成一個“擴域”。

那么，如果F是有理數(shù)域，擴域中的任何一個元素都是某個n元有理函數(shù)的取值

這里R表示任意一個n元有理函數(shù)。F的一個自同構(gòu)是一個一一對應，保持加減乘除的四則運算，

容易驗證，若σ1和σ2是自同構(gòu)，則它們的復合σ1?σ2也是。由此不難看出，F(xiàn)的所有自同構(gòu)構(gòu)成一個群，其乘法運算就是復合，單位元素就是恒同同構(gòu)。

考慮一個有理系數(shù)多項式

其根為

，

考慮如下的擴域

則F是包含f的所有根的最小數(shù)域，稱為f的“分裂域”，f的伽羅華群是F的自同構(gòu)群的一個子群，這個子群是由所有保持有理數(shù)域Q不變的所有自同構(gòu)組成。 通常記伽羅華群為G = Gal(F/Q).

由伽羅華自同構(gòu)的定義，我們知道自同構(gòu)必須把根變到根，因為如果f(a) = 0，則f(σ(a)) = σ(f(a)) = σ(0) = 0. 即 σ(a) 也是根。 對于一般元素

這意味著多項式的伽羅華群是它的n 個根的對稱群Sn 的一個子群。

對于高次多項式，分裂域及其伽羅華群是不容易確定的。伽羅華的想法是，通過逐次構(gòu)造擴張域，每次只添加一個數(shù)，對分裂域進行分解。在這個過程中也對伽羅華群進行分解。而如果多項式是可以用根式解出的，這個分解就可以揭示伽羅華群必須滿足的某些性質(zhì)。

設F是多項式f的分裂域，稱F是“根式擴張域”，如果存在一串F的子域

滿足: 對i = 0, 1, 2, . . . ,m ? 1 存在αi ∈ F 和自然數(shù)ni使

由根式可解的定義不難看出，若F是根式擴張域，則f是根式可解的。進一步可證，逆命題也成立。多項式f是根式可解的當且僅當它的分裂域是根式擴張域。

在分裂域F是根式擴張域的時候，對應于一系列子域有伽羅華群Gal(F/Q) 的一串子群：

稱G 是“可解群”如果對每個i = 1, 2, . . . ,n,

后面的群是前面的群的正規(guī)子群，且而且“商群”

是“循環(huán)群”。伽羅華證明了

定理: 一個多項式f 根式可解當且僅當它的伽羅華群是可解群。

對于n維對稱群Sn，其最大正規(guī)子群是偶次對換群，但偶次對換群在n大于4的時候不可解。所以一般代數(shù)方程的求根公式不存在。

同樣的思想也可以用來解決其它古希臘的經(jīng)典問題：三等分角和化圓為方。