看一看我們生活的周圍曾經(jīng)熟悉的或曾經(jīng)看見過的現(xiàn)象，比如天空的積云或者海浪的起伏翻滾，或許見到過的裊裊炊煙，或從香煙頭升起的一縷輕煙在空氣中擴散開來的奇妙圖案，或者宣泄的瀑布激起的浪花和渦旋，千姿百態(tài)，在激流中飛逝......這些都和湍流有關(guān)，什么是湍流呢？

煙羽

云

近地層的霧

1883年雷諾（O. Reynolds）的圓管水流實驗演示了流體隨著來流速度的增加由規(guī)則的流動轉(zhuǎn)變?yōu)槲蓙y的流動，引起當時科學界的很大興趣。進而，雷諾對具有粘性的流體的牛頓方程，也就是Navier（1827）-Stokes（1845）方程進行了平均處理（1889），意想不到的是比方程數(shù)目多出一個未知函數(shù)，出現(xiàn)了閉合問題，顯示了求解N-S（Navier-Stokes）方程的極大困難，從而吸引了包括當時的著名力學家在內(nèi)的許多研究人員的興趣。當然，真正投身于其中的仍然是很少的幾位流體力學大家。

當人們認識到N-S方程的非線性項不能用已知的數(shù)學方法求解，平均方法又遇到很難理解的閉合問題，這樣，人們便開始尋求其他的途徑。在傅里葉變換盛行的時期，統(tǒng)計模式和譜方法就成為研究湍流的主要數(shù)學工具，自然也成為解決實際問題的有效方法。不過，數(shù)學家們對于這種似乎“零敲碎打”的做法并不熱衷。例如，他們想要知道是：如果N-S方程的定解條件是光滑的，那么，其解的光滑性是否永遠得以保持，還是在有限時間之后出現(xiàn)奇性？研究湍流的一些科學家，例如雷諾，泰勒（G. I. Taylor），馮.卡門(von Karman)和亨茨（J. O. Hinze）等人論及湍流時，無一例外地認為它是一種不規(guī)則的流動，自然也就重視它的統(tǒng)計平均特性。實際上，湍流基本方程（即雷諾方程）的封閉性問題已經(jīng)耗去了許多力學家的精力和大量時光，各種平均方法陸續(xù)提出，包括一些參數(shù)化方法在內(nèi)，可是，取得成就的自然是極少數(shù)研究者。

這一百多年來，隨著科學技術(shù)的進步，探測方法的改進和完善，新的測量儀器的出現(xiàn)，特別是計算機科學的飛速發(fā)展，超級計算機的大量涌現(xiàn)，云計算的發(fā)展，使得各種數(shù)值模式得以實現(xiàn)，湍流研究也取得了可喜的進展。然而，我們對于湍流本質(zhì)的了解，仍然是憑實驗和觀測，也就是憑經(jīng)驗的，只有為數(shù)不多的幾種湍流預測是從理論上推導出來的。流體力學家把湍流定義為一個連續(xù)的不規(guī)則流動或者一個連續(xù)的不穩(wěn)定狀態(tài)。例如，在紊亂的空氣或河流里，流體任何一點的運動速度和方向，是不斷地和不規(guī)則地變化著，而流體卻沿著固定的方向繼續(xù)流動，湍流在平穩(wěn)的層流中的發(fā)展演化是一個連續(xù)的過程，起初的一個或幾個不穩(wěn)定會激起湍流，它繼續(xù)增強直到更高程度的不穩(wěn)定，最后完全發(fā)展成湍流 — 發(fā)達湍流。也就是說，流體力學家想要知道的是一個平穩(wěn)流動的失穩(wěn)如何導致湍流的轉(zhuǎn)捩，湍流完全形成后的動力學特性是什么，工程科學家則希望了解如何控制湍流而降低能耗和阻力。

數(shù)學家關(guān)注湍流的動因則是另一回事，他們的心愿是直接面對N-S方程，獲得完美漂亮的解析解，那種依靠計算機程序求解的問題，例如四色問題，1976年K. I. 阿佩爾和W.哈肯用電子計算機找到了一個由1936個可約構(gòu)型組成的不可免完備集，在美國數(shù)學會通報上宣布證明了四色問題。對于這樣的結(jié)果，數(shù)學家即使認可，也總感到美中不足，對于數(shù)學家追求的標準而言，相差太遠了。正因為如此，1998年由商人蘭頓·克雷(Landon T. Clay，資助者)和哈佛大學數(shù)學家亞瑟·杰夫(Arthur Jaffe)創(chuàng)立的克雷數(shù)學研究所(Clay Mathematics Institute, 簡稱CMI)，向世界各國知名的數(shù)學家征集著名的數(shù)學難題，并在2000年5月24日公布了征集到的千禧年七個經(jīng)過一個世紀仍未解決的難題（NP問題、霍奇猜想、龐加萊猜想 — 已經(jīng)由俄羅斯數(shù)學家格里高利·佩雷爾曼解決，黎曼假設(shè)、楊-米爾斯方程的質(zhì)量缺口、Navier-Stokes方程的求解和貝赫與斯維納通-戴爾猜想）。

這七個選題被研究所認為是“對數(shù)學的發(fā)展有中心意義的重大難題”。解答其中任何一題的第一個人將獲得一百萬美元獎金，克雷數(shù)學研究所的懸賞，參考了1900年希爾伯特的23個問題的做法，希望促進20世紀的數(shù)學發(fā)展，而N-S方程是其中的第六個問題，以其非線性偏微分方程描述粘性流體的復雜的流動狀態(tài)而著稱。這里，不禁使人想起英國著名物理學家W．湯姆孫（即開爾文男爵），他在19世紀的最后一天的新年祝詞里，憂心忡忡地感嘆物理學取得輝煌成就的同時，在它的美麗而晴朗的天空中卻漂浮著兩朵烏云，這就是以太漂移問題和黑體輻射中的“紫外災難”問題。這兩個問題催生了20世紀物理學的偉大革命：量子力學和相對論的誕生。顯然，這里的克雷數(shù)學研究所征集的包括湍流問題在內(nèi)的七個世紀難題，并不具備引發(fā)科學概念深刻變革的內(nèi)涵。當然，更不是指望通過計算機的數(shù)值計算解決問題，如果是那樣，這些被看作是世紀的難題便失去它的光輝和意義。最重要的是，它們構(gòu)成了對數(shù)學家智慧的挑戰(zhàn)。特別是N-S方程，對于數(shù)學和流體力學的發(fā)展具有重要的推動作用，也會深化人們對于確定性與隨機性的認識。

從事湍流研究的物理學家認為它是20世紀經(jīng)典物理留下的世紀難題，未嘗不可；但是，賦予它過高的科學榮譽和科學地位，也不見得是一件科學能夠從中獲益的恰當?shù)淖龇?。正本清源，盡量如實地了解問題的歷史淵源和實事求是地看待它本來的科學地位，對于今后湍流的研究是有益的。

在湍流研究的初期，就出現(xiàn)了兩位大科學家領(lǐng)導的團隊，即以德國的普朗特和英國的泰勒為代表的研究團隊，各自在不同的方向上開展了研究。前者注重實際的流體力學問題，提出混合長模式，建立了邊界層理論，成績斐然；而后者則是以理想化的（也就是實際上并不多見的）各向同性湍流作為研究對象，提出了一些重要的概念，發(fā)展了新的統(tǒng)計方法，同樣也取得了重要的科學成就。兩位科學家根據(jù)自己的知識背景和興趣，也根據(jù)對問題的理解，確定了他們的研究內(nèi)容，在研究中體現(xiàn)了他們本人各自的風格。但是，德國當時適應軍事工業(yè)的需要，更多地是提倡實用科學和應用研究，也許影響了許多研究者的志趣。不過，一個團隊一直從事理論研究；另一個團隊則一直從事應用研究，并不能由此斷定這將形成同一門學科的理論與應用研究之間的鴻溝，科學史上這樣的例子很多。

泰勒后期參加了許多與國防有關(guān)的任務，改變了研究方向，其實是很自然的事，如果認為泰勒在他原來的研究方向上已經(jīng)干不下去了，則是不夠公正的。在他之后，G. K. Batchelor 繼續(xù)沿著泰勒的方向開展研究，不僅取得了重要進展，還向國際湍流界介紹蘇聯(lián)學派的研究成果，使得柯爾莫果洛夫和奧布霍夫在均勻各向同性湍流方面活躍的研究工作和取得的成就為世人矚目，其中不乏涉及實際湍流問題，能說是研究方向不同就能夠形成所謂的“鴻溝”嗎？從事科學研究的著名學者，如像普朗特和泰勒，當然清楚地知道理論研究最后必須通過預測和實驗驗證；應用基礎(chǔ)研究同樣必須得到相應理論的指導和實驗檢驗。只是當時的理論研究尚未獲得能夠進行預測的結(jié)果，不能指導應用研究，也不能對某一具體的流體力學問題提供有效的參考，只能說明理論研究的水平與實際應用的要求之間還有很大的距離；即使現(xiàn)在，就邊界層理論而言，仍需要不斷研究新問題，發(fā)展新方法。

目前，湍流理論研究仍然不能在廣泛意義下對具體的流體動力學問題給出實用而有效的指導，不能說這些理論研究的方向錯了，必須改變研究方向了。在19世紀末，古典流體力學與實驗水力學是分開的，后者受實際工程問題的大量需求，得到深入和廣泛的發(fā)展。而前者就是將Newton第二定律應用于流體的流動，它的中心問題是要闡明物體在流體中運動時所受的阻力，不過，當時人們認為像水和空氣這樣的流體，黏性很小，對阻力的貢獻可以忽略，于是出現(xiàn)了無粘性理想流體的歐拉方程，理論分析和數(shù)學表述方面取得了很大成功；可是，其結(jié)論與實際結(jié)果往往不符，只是在出現(xiàn)達朗貝爾（d'Alembert）佯謬之后，古典流體力學才真正從理論上受到嚴峻的挑戰(zhàn)，我國已故的著名力學家郭永懷先生指出：Kirchhoff，Helmholtz，Rayleigh等人嘗試解決阻力問題的努力也都失敗了。

經(jīng)典流體力學在阻力問題上失敗的原因，在于忽視了流體的粘性這一重要因素。誠然，在速度較高、粘性小的情況下，對一般物體來說，粘性阻力僅占一小部分；然而阻力存在的根源卻是粘性。一般，根據(jù)來源的不同，阻力可分為兩類：粘性阻力和壓差阻力。粘性阻力是由于作用在表面切向的應力而形成的，它的大小取決于粘性系數(shù)和表面積；壓差阻力是由于物體前后的壓差而引起的，它的大小則取決于物體的截面積和壓力的損耗。當理想流體流過物體時，它能沿物體表面滑過（物體是平滑的）；這樣，壓力從前緣駐點的極大值，沿物體表面連續(xù)變化，到了尾部駐點便又恢復到原來的數(shù)值。這時壓力就沒有損失，物體自然也就不受阻力。如果流體是有粘性的，哪怕很小，在物體表面的一層內(nèi)，流體的動能在流體運動過程中便不斷地在消耗；因此，它就不能像理想流體一直沿表面流動，而是中途便與固體表面脫離。由于流體在固體表面上的分離，在尾部便出現(xiàn)了大型渦旋；渦旋演變的結(jié)果，就形成了一種新的運動“尾流”。這全部過程是一個動能損耗的過程，也是阻力產(chǎn)生的過程。

由于數(shù)學上的困難，粘性流體力學的全面發(fā)展受到了一定的限制。但是，在粘性系數(shù)小的情況下，粘性對運動的影響主要是在固體表面附近的區(qū)域內(nèi)。從這個概念出發(fā)，1904年，Prandtl提出了簡化粘性運動方程的理論—邊界層理論，部分地解決了阻力計算問題，并運用到空氣動力學的研究中，使流體力學的理論與實驗結(jié)合起來，促進了航空工業(yè)的發(fā)展；而湍流理論的研究則在人類認識自然界中的湍流、混沌、分形等復雜性現(xiàn)象方面，促使科學概念的深刻變革。雖然邊界層理論和湍流理論的共同基礎(chǔ)是N-S方程，但是，它們各自已經(jīng)形成了各自的理論體系，有獨立的研究內(nèi)容、研究框架和研究風格，各自的研究目標自然也不相同，如果用以基礎(chǔ)應用研究為特點的邊界層理論的模式指責和評價以探討基礎(chǔ)理論研究為目標的湍流理論，即使不問其效果如何，這種做法也是很不恰當?shù)摹嶋H上，這二者是相互促進，并行不悖、相得益彰的，實在沒有理由認為它們之間存在“鴻溝”，或者，湍流理論研究沒有像邊界層理論研究那樣與空氣動力學，水力學等學科的應用結(jié)合，就認定湍流研究的理論與實際應用之間存在“鴻溝”，借此否定湍流研究的重要性，由此觀之，這樣的評議有失公允，也不客觀。也許這種看法會在一段很長的時間內(nèi)存在并影響湍流研究者的情緒，其實，這類不同看法和質(zhì)疑在科學發(fā)展史上是屢見不鮮的。

讓我們借用計算機視覺的奠基人D. 馬爾（D. Marr）對理論研究的一段生動的比喻。1970年間，這位30多歲的年輕的視覺科學研究者，應邀從英國倫敦到美國麻省理工學院（MIT）,擔任聲名卓著的馬文. 明斯基(Marvin. Minsky)實驗室的指導工作，解決如何制造一臺機器人，使它能夠具備感知周圍環(huán)境的能力。D. 馬爾指出，使研究和制造機器人的科學家團隊屢屢失敗和極度失望的原因，是他們跳過了一個必經(jīng)階段，模仿鳥的羽毛不可能造出一架會飛的飛機，而空氣動力學的原理解釋了鳥的飛行，也能使我們制造出飛機。建立視覺科學并進行研究正是解決制造機器人的必由之路。如何建立一門視覺科學，不是指望某位大科學家可以指出一條可行的研究方向，而是世界眾多研究團隊活躍在這個領(lǐng)域，甚至意見，看法和研究途徑各不相同，也沒有形成所謂的“鴻溝”現(xiàn)象，其實它是不存在的。

英國著名的分析學家哈代（G. H. Hardy），堅決反對數(shù)學與應用掛鉤，但是，并沒有形成英國分析學派之間的“鴻溝”，這樣的例子很多，不再枚舉。湍流界的同行們高興地看到，近幾年，由于湍流基礎(chǔ)研究和準確有效的計算方法的發(fā)展，物理實驗水平的提高，使得原先湍流的基礎(chǔ)研究和應用需求之間的距離縮小了，可以期待，隨著湍流理論研究的深入，理論結(jié)果解決實際問題的可能性會進一步提高。

對于經(jīng)典物理學留下的世紀難題：“湍流問題”的實質(zhì)是什么? 目前是一個還不能清楚回答的問題。因為這個世紀難題要著力探討的核心問題也就是“湍流問題”的實質(zhì)是什么，目前尚未出現(xiàn)重大進展，也未獲得重要成果或者在某些方面獲得突破，在這種情況下，如何能回答出這樣重大的根本性問題？如果針對每一個具體問題，也就是每一個“真實流體”的研究得出反映該流體流動或狀態(tài)的“本質(zhì)”，不同流體自然有其不同的特性，將這眾多研究結(jié)果綜合起來，是否能得出反映流體的普適特性呢?看起來是不行的，除了N-S方程本身包含強非線性項這個因素之外，N-S方程概括的是特定流體的流動的本質(zhì)呢，還是流體的基本特性？也是尚處于探討之中的問題，因此，即使本世紀不一定能解決N-S方程這個難題，它對科學本身的挑戰(zhàn)還可以持續(xù)到下一個世紀，來日方長，人類不必急在當下。

世紀難題“湍流問題”的本質(zhì)到底是什么？在L.Landau的“論湍流”論文發(fā)表23年之后，曾有一篇論文的標題就是：“論湍流的本質(zhì)”，試圖回答這個問題，作者是D. Ruelle 和 F. Takens, 算是名家之言吧。本書筆者受限于自身知識和對湍流問題的有限了解，自然沒有資格涉及這個問題，只能抱著求教的態(tài)度，希望能夠獲得答案。涉及湍流領(lǐng)域的問題，無疑都蘊含著由速度和自身反饋的非線性造成的復雜性。我們預計，上述問題的任何結(jié)果都會遇到多樣性造成的各種結(jié)果的復雜性。我們體會和理解湍流的復雜性包括：計算的復雜性，尺度的復雜性，狀態(tài)的復雜性；轉(zhuǎn)捩的復雜性，預測的復雜性，描述的復雜性，測量的復雜性，各種結(jié)果解釋的復雜性。因此，湍流研究進展十分緩慢。

給湍流下一個既簡短又完整的定義，的確比較困難，可能將湍流描述為“一個連續(xù)的不穩(wěn)定狀態(tài)”，或許是一個可以被許多人接受的定義；當然，從事湍流研究的名家學者更愿意根據(jù)自己的理解和研究的側(cè)重，談論他本人對湍流的理解，這可能是湍流界一道獨特的風景吧。本文作者認為，對湍流的概括，可能應當包括如下因素，就是N-S方程，雷諾數(shù)，多尺度，多模態(tài)以及復雜性。由此或許可以說，湍流就是指由Navier-Stokes方程所描述的粘性流體當超過臨界雷諾數(shù)Recr后，從規(guī)則流動轉(zhuǎn)捩為在時空中紊亂復雜的多尺度渦旋運動的形態(tài)。

20世紀70年代分形理論，混沌理論，耗散結(jié)構(gòu)和小波分析方法的出現(xiàn)，曾經(jīng)使物理學界對湍流的研究產(chǎn)生新的希望，有過一段研究高潮出現(xiàn)，之后直到現(xiàn)在，已經(jīng)回歸到平穩(wěn)的，扎實的探討階段。說到湍流理論的研究，無論題目的大小，都會遇到如下三方面的困難，即：湍流脈動量方程是不封閉的，非線性難于處理，流態(tài)的多樣性和復雜性。如何面對這類困難，湍流研究中的結(jié)構(gòu)學派看重數(shù)學演繹的嚴謹；而統(tǒng)計學派側(cè)重于動力系統(tǒng)演化的信息提取。而我們則認為，湍流研究者，特別是中青年，應根據(jù)自己以往研究工作的積累和有限的專業(yè)知識背景，在力所能及的情況下，選擇一個經(jīng)過努力可以完成的或能夠取得進展的課題。當然，所選課題應當具有一定的學術(shù)意義和可能有的實用價值。研究思路不必拘泥于已有的程式，需要方法上的創(chuàng)新，在內(nèi)容上要有新穎之點。那些仍然不清楚的，并沒有深入研究過的問題，正是值得我們?nèi)ヌ接懙摹?/span>

本文由安靜摘編自趙松年、于允賢著《湍流問題十講——理解和研究湍流的基礎(chǔ)》之第一講，內(nèi)容有刪減。

978-7-03-046833-8

《湍流問題十講——理解和研究湍流的基礎(chǔ)》就如何看待和理解湍流問題簡明扼要地論述了湍流問題的主要內(nèi)容，共有十講，包括：湍流—世紀難題；流態(tài)：N-S方程； Reynolds方程——平均場和脈動場；方程的閉合問題—模式理論； 動力學途徑——Karmen-Howarth方程；譜方法—Kolmogorov的理論；實驗發(fā)現(xiàn)——間歇性和擬序結(jié)構(gòu)；標度律——層次結(jié)構(gòu)模型；能量耗散——同步級串模型；自然界的風洞——大氣湍流。書中圖文并茂，敘述簡練，物理解釋詳細，數(shù)學表述的難度適中，各講之間既緊密聯(lián)系，又相對獨立，便于隨時閱讀，具有很好的可讀性，是一本了解和探究湍流問題的有價值的參考書。此外，書中對與湍流有關(guān)的主要著作進行了注釋，分析了每一本書的特點，建議如何安排閱讀順序，提高閱讀效果。