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邏輯學(xué)是研究思維、思維的規(guī)定和規(guī)律的科學(xué)。但是只有思維本身才構(gòu)成使得理念成為邏輯的理念的普遍規(guī)定性或要素。理念并不是形式的思維，而是思維的特有規(guī)定和規(guī)律自身發(fā)展而成的全體，這些規(guī)定和規(guī)律，乃是思維自身給予的，決不是已經(jīng)存在于外面的現(xiàn)成的事物。 “創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是一個(gè)國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力?！倍鴦?chuàng)新能力的培養(yǎng)，必基于寬厚、扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和敏銳、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鏊急婺芰?。早?0世紀(jì)70年代，聯(lián)合國(guó)教科文組織確定的數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、天文學(xué)、天體物理學(xué)、地球科學(xué)和空間科學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生命科學(xué)七門基礎(chǔ)學(xué)科中，邏輯學(xué)就列居第二。學(xué)習(xí)作為推理、思辨工具的邏輯學(xué)，對(duì)于提高我們的思辨能力、啟發(fā)心智、掌握所需的科學(xué)知識(shí)、準(zhǔn)確地表達(dá)思想、駁斥謬誤、正確論證、進(jìn)行創(chuàng)新性研究具有十分重要的意義。邏輯學(xué)在今天的整個(gè)教學(xué)體系中，處于我們不容忽視的學(xué)科基礎(chǔ)地位。 在各個(gè)學(xué)科日益迅速發(fā)展的今天，邏輯學(xué)與我們其他的很多學(xué)科有了越來越密切的聯(lián)系，他為我們其他的學(xué)科提供了思辨的源泉，我們的日常生活中的許多思維方式都是需要根據(jù)邏輯學(xué)的知識(shí)去推導(dǎo)論證。邏輯學(xué)也拉近了各個(gè)學(xué)科之間的距離，使得學(xué)科之間的相互聯(lián)系也更加密切。數(shù)學(xué)可以說是與邏輯學(xué)關(guān)系最親密的一門學(xué)科。一般意義上的邏輯問題都可以劃歸為數(shù)學(xué)意義上的邏輯問題，簡(jiǎn)而言之，就是邏輯學(xué)是數(shù)學(xué)的真子集。通俗地說：數(shù)學(xué)包含邏輯學(xué)。 而數(shù)學(xué)——邏輯——數(shù)學(xué)，這是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的最為重要的發(fā)展模式之一。數(shù)學(xué)中的很多問題就涉及到了邏輯學(xué)中的概念定義、推理論證的規(guī)則等等。邏輯學(xué)的相關(guān)知識(shí)使得數(shù)學(xué)中一些推理論證更加容易，它為數(shù)學(xué)提供了直接思辨的源泉。數(shù)學(xué)中許多推理論證方法如直接證法、間接證法和數(shù)學(xué)歸納法等，就是直接從邏輯學(xué)中在引用的，而數(shù)學(xué)中推理論證也使得邏輯學(xué)更加的完善和正確。數(shù)學(xué)推理論證也可以看作邏輯學(xué)的具體運(yùn)用..這里我們來談?wù)撘幌逻壿媽W(xué)中的反證法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 反證法是屬于邏輯學(xué)中“間接證明法”一類，它是從一個(gè)否定原結(jié)論的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理而得到（與公理、定理、題設(shè)等）相矛盾的結(jié)論，由于推理和引用的證據(jù)是正確的，因此出現(xiàn)矛盾的原因只能認(rèn)為是否定原結(jié)論的假設(shè)是錯(cuò)誤的，從而得到原結(jié)論成立。用反證法不是從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真．反證法也就是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 反證法是一種以退為進(jìn)的證明方法，就好像把拳頭收回來再打出去會(huì)更有力，在論證某些問題的時(shí)候，運(yùn)用這種證明方法也具有同樣的效果。 反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。 反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。 實(shí)施的具體步驟是： 第一步，反設(shè)：設(shè)立邏輯值與原論題P相反的反論題非p，即原命題與其反論命題必須是矛 盾關(guān)系。 第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾； 第三步，結(jié)論：根據(jù)排中律，說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。 在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。 在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。 邏輯是一門重要的科學(xué)，任何一門嚴(yán)密的學(xué)科，都離不開嚴(yán)格的邏輯推理。 |
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