平均發(fā)展速度兩種計(jì)算方法的比較分析及選擇

摘要：平均發(fā)展速度是各個(gè)時(shí)期環(huán)比發(fā)展速度的幾何平均數(shù)。平均發(fā)展速度的計(jì)算有兩種方法：幾何平均法（水平法）和代數(shù)平均法（累計(jì)法或方程式法）。這兩種方法計(jì)算結(jié)果經(jīng)常不一致，有時(shí)甚至?xí)贸鱿喾吹慕Y(jié)論。筆者對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行了比較，并認(rèn)為當(dāng)兩種計(jì)算方法的結(jié)果出現(xiàn)相反的結(jié)論時(shí)，最好選擇代數(shù)平均法。

關(guān)鍵詞：平均發(fā)展速度；計(jì)算方法；幾何平均法；代數(shù)平均法

平均發(fā)展速度反映現(xiàn)象逐期發(fā)展速度的平均程度，是各個(gè)時(shí)期環(huán)比發(fā)展速度的幾何平均數(shù)，說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)速度變化的平均程度。平均發(fā)展速度是一個(gè)十分重要并得到廣泛運(yùn)用的動(dòng)態(tài)分析指標(biāo)，經(jīng)常用來(lái)對(duì)比不同發(fā)展階段的不同發(fā)展速度，還用來(lái)對(duì)比不同國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的不同情況。平均發(fā)展速度的計(jì)算有兩種方法：幾何平均法（水平法）和代數(shù)平均法（累計(jì)法或方程式法）。這兩種方法計(jì)算結(jié)果經(jīng)常不一致，有時(shí)甚至?xí)贸鱿喾吹慕Y(jié)論。筆者想在此對(duì)兩種計(jì)算方法進(jìn)行一下比較和選擇。

一、兩種計(jì)算方法的比較分析

幾何平均法和代數(shù)平均法的區(qū)別主要有：

　?。ㄒ唬?、依據(jù)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)及計(jì)算公式不同。幾何平均法的理論基礎(chǔ)是：平均發(fā)展速度是總速度的平均，但現(xiàn)象發(fā)展的總速度，不等于各期發(fā)展速度之和，而等于各期環(huán)比發(fā)展速度的連乘積。而一段時(shí)期的定基發(fā)展速度即為現(xiàn)象的總速度。因而幾何平均法直接用各期環(huán)比發(fā)展速度的連乘積等于定基發(fā)展速度的關(guān)系，得出平均發(fā)展速度的計(jì)算公式：

           =

    或    ==

式中：表示平均發(fā)展速度；xi(i=0,1,2…n)表示各期環(huán)比發(fā)展速度；n表示環(huán)比發(fā)展速度的項(xiàng)數(shù)；ai (i=0,1,2…n)表示各期發(fā)展水平。

    代數(shù)平均法是基于時(shí)間數(shù)列各期發(fā)展水平之和等于累計(jì)發(fā)展水平，以累計(jì)發(fā)展水平與基期水平之比為基礎(chǔ)來(lái)計(jì)算的。計(jì)算公式為：

　　　　　＋²＋³+……+ⁿ=

    這個(gè)方程式的正根，即為平均發(fā)展速度。

式中：表示平均發(fā)展速度；Σa表示累計(jì)發(fā)展水平；a₀表示基期水平。

　?。ǘ?、側(cè)重點(diǎn)不同。幾何平均法側(cè)重于考察最末一期的發(fā)展水平，按這種方法所確定的平均發(fā)展速度推算的最末一期發(fā)展水平，等于最末一期的實(shí)際水平；而推算的最末一期的定基發(fā)展速度，和實(shí)際數(shù)據(jù)的定基發(fā)展速度一致。代數(shù)平均法則側(cè)重于考察全期各期的發(fā)展水平之和，按這種方法所確定的平均發(fā)展速度推算的全期各期發(fā)展水平的總和，與全期各期實(shí)際數(shù)據(jù)總和一致；而推算的各期定基發(fā)展速度的總和，與實(shí)際數(shù)據(jù)的定基發(fā)展速度的總和也是一致的。

　?。ㄈ?、影響因素不同。用幾何平均法計(jì)算，其平均發(fā)展速度只受最末水平（a_n）和最初水平（a₀）的影響，不受中間水平的影響。用代數(shù)平均法計(jì)算，其平均發(fā)展速度受時(shí)間數(shù)列中所有發(fā)展水平的影響，即既受最末水平（a_n）和最初水平（a₀）的影響，也受中間水平的影響。

　?。ㄋ模?、計(jì)算結(jié)果不同，有時(shí)甚至?xí)贸鱿喾吹慕Y(jié)論。

　　　例如，甲地區(qū)“十五”時(shí)期糧食產(chǎn)量資料如表１所示：

　　　　　　表１　甲地區(qū)“十五”時(shí)期糧食產(chǎn)量　單位：萬(wàn)噸

　按幾何平均法計(jì)算“十五”時(shí)期的平均發(fā)展速度為：

　　　＝＝＝98.35%

　　　按代數(shù)平均法計(jì)算“十五”時(shí)期的平均發(fā)展速度為：

   　 ＋²＋³+⁴+⁵===5.2

   　查“平均增長(zhǎng)速度累計(jì)法查對(duì)表—遞增速度”得   =101.3%

以上計(jì)算結(jié)果表明，同樣的資料，采用不同的計(jì)算方法，會(huì)得出相反的結(jié)論。甲地區(qū)按幾何平均法計(jì)算，平均發(fā)展速度降低率為1.65%；而按代數(shù)平均法計(jì)算，平均發(fā)展速度增長(zhǎng)率為1.3%。究竟哪種結(jié)論是合適的呢？

二、兩種計(jì)算方法的選擇

當(dāng)兩種計(jì)算方法的結(jié)果出現(xiàn)相反的結(jié)論時(shí)，筆者認(rèn)為最好選擇代數(shù)平均法。理由如

下：

　?。ㄒ唬?、從經(jīng)濟(jì)意義上考慮。在基期水平既定的情況下，代數(shù)平均法的計(jì)算結(jié)果取決于累計(jì)發(fā)展水平（Σa），在觀察長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的變動(dòng)時(shí)，累計(jì)發(fā)展水平可以說(shuō)明社會(huì)經(jīng)濟(jì)的總成果，有現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)意義。而幾何平均法的計(jì)算結(jié)果則取決于最末水平（a_n），當(dāng)最末水平由于社會(huì)因素、自然因素等出現(xiàn)偶然波動(dòng)時(shí)，用幾何平均法計(jì)算的平均發(fā)展速度就會(huì)失真，沒(méi)有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義。

　?。ǘ?、從公式本身考慮。代數(shù)平均法按時(shí)間數(shù)列全期發(fā)展水平之和與基期水平對(duì)比去計(jì)算，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性高。而幾何平均法只按時(shí)間數(shù)列最末水平與最初水平對(duì)比去計(jì)算，中間各期的水平盡管也是組成時(shí)間數(shù)列的重要部分，卻不參與計(jì)算，因而平均發(fā)展速度的計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確性差。

　　（三）、從平均發(fā)展速度的代表性考慮。雖然用幾何平均法和代數(shù)平均法求得的平均發(fā)展速度均是各期環(huán)比發(fā)展速度的代表值，但代表性大小卻不相同?，F(xiàn)以上述甲地區(qū)的資料為例，計(jì)算推算值和實(shí)際值的離差及估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤，見(jiàn)表２：

表２　甲地區(qū)糧食產(chǎn)量的推算水平及離差計(jì)算表　　單位：萬(wàn)噸

幾何平均法下的離差和=Σ(y－yc)=7.6+7.3+12.9+16.4+0=44.2(萬(wàn)噸)

幾何平均法下的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差S==

=10.45(萬(wàn)噸)

代數(shù)平均法下的離差和=Σ(y－yc)= 4.7+1.4+4+4.7－14.7=0.1(萬(wàn)噸)

代數(shù)平均法下的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差S==

=7.46(萬(wàn)噸)

從上述計(jì)算可知，用代數(shù)平均法法推算的各期發(fā)展水平與實(shí)際水平的離差之和接近于０，這很符合算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)。上述計(jì)算結(jié)果表明，無(wú)論是推算水平與實(shí)際水平的離差之和，還是估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差，用代數(shù)平均法計(jì)算都比用幾何平均法計(jì)算要小，這說(shuō)明用代數(shù)平均法計(jì)算的平均發(fā)展速度代表性高。

（四）、從適用范圍考慮。用幾何平均法計(jì)算的平均發(fā)展速度只適用于環(huán)比發(fā)展速度大致相等的時(shí)間數(shù)列。因?yàn)樵跍y(cè)定時(shí)間數(shù)列長(zhǎng)期趨勢(shì)時(shí)，若各時(shí)期環(huán)比發(fā)展速度大致相等，應(yīng)配合指數(shù)曲線(xiàn)方程（y=ab^x），這一方程中的y相當(dāng)于最末水平（a_n），a相當(dāng)于最初水平（a₀），b相當(dāng)于平均發(fā)展速度（），x相當(dāng)于時(shí)間（n），即a_n=a₀·ⁿ。但當(dāng)時(shí)間數(shù)列的逐期增長(zhǎng)量大致相等或二級(jí)增長(zhǎng)量大致相等時(shí)，用幾何平均法計(jì)算平均發(fā)展速度就不合適。因?yàn)闀r(shí)間數(shù)列的逐期增長(zhǎng)量大致相等，應(yīng)配合直線(xiàn)方程，二級(jí)增長(zhǎng)量大致相等時(shí)，應(yīng)配合拋物線(xiàn)方程。而按代數(shù)平均法計(jì)算的平均發(fā)展速度是基于時(shí)間數(shù)列全期的發(fā)展水平，因此，適用于各種類(lèi)型的時(shí)間數(shù)列。

綜上所述，筆者認(rèn)為計(jì)算社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的平均發(fā)展速度應(yīng)以代數(shù)平均法為主。