近世科技得益于微積分這門數(shù)學(xué)分支良多。無限小量的概念是微積分學(xué)的基礎(chǔ)。雖然“無窮小”方法已經(jīng)被古希臘和古代中國(guó)、印度和中世紀(jì)歐洲的科學(xué)家以各種不同方式順利地用來解決幾何學(xué)和自然科學(xué)中的問題，但是無窮小理論的基本概念的確切定義直到19世紀(jì)才被提出來。 “無窮小”的思想實(shí)際上最初是在哲學(xué)范圍內(nèi)提出的，無論是在古希臘還是在中國(guó)都是如此。哲學(xué)家對(duì)“無窮小”進(jìn)行了一定的論述，這正是“無窮小”方法得以在古希臘和古代中國(guó)的科學(xué)發(fā)展中應(yīng)用的思想基礎(chǔ)。 在數(shù)學(xué)上無窮是一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)的概念。簡(jiǎn)單地說它是有限性概念的反義詞。人類對(duì)無窮的認(rèn)識(shí)和刻畫經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)間?！霸跓o窮小概念的現(xiàn)代處理方法出現(xiàn)以前的思想是這樣的，有限量是由無窮多個(gè)‘不可分量’組成的，這樣的不可分量不是作為變量而是作為比任何有限量都小的常量。這種思想的例子之一是從有限到無限的非常規(guī)分解：唯一有意義的過程是把一個(gè)有限量劃分成個(gè)數(shù)無限增加而大小無限減小的組成部分”。這就是體現(xiàn)在古代的關(guān)于無窮的內(nèi)涵。 大約在公元前5世紀(jì)，關(guān)于自然界，即物的本質(zhì)， 在希臘學(xué)者中有兩派對(duì)立的看法。一派是一元論，以巴門尼德（Parmenides）為首，一派是多元論，以德謨克利特（Democritus）為首，數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯也屬于這一派。一元論者認(rèn)為存在之物是不可分的，一切變化都是幻覺。多元論者則認(rèn)為物質(zhì)是可分的，變化是真實(shí)的，并且把它理解為各部分的重組。物質(zhì)可分的思想導(dǎo)致了原子的概念，原子具有有限的大小并且不可再分。 但是物的所有變化都是在空間進(jìn)行的，因此空間本身也應(yīng)該是可分的，不僅如此，空間的分割沒有理由不能一逕繼續(xù)下去，換言之，空間不能想象為由大小有限的、像原子那樣的部分所組成，它的“最后”部分必須是“無限小”的。 可分的概念應(yīng)用在物質(zhì)和空間上造成了一對(duì)矛盾。巴門尼德的最聰明的弟子，埃利亞的芝諾（Zeno，他可能也是最聰明的希臘人之一，這或許是科學(xué)發(fā)展的不幸），抓住這個(gè)矛盾，提出了一系列悖論。雖然他的著作沒有流傳下來，但是亞里士多德為了批判芝諾，在其《物理學(xué)》中記下了芝諾的論點(diǎn)。針對(duì)一個(gè)量（如時(shí)間、空間、長(zhǎng)度等）可以無限可分的觀點(diǎn)，芝諾提出了兩個(gè)悖論。其中之一是二分說（dichotomy ）：一個(gè)物體，從A地到B地，永遠(yuǎn)不能到達(dá)。因?yàn)橄霃腁到B，首先要通過道路的一半；但要通過一半，必須通過一半的一半，即道路的1/4；要通過1/4，必須先通過1/8，這樣分下去，永無止境。針對(duì)量是不可以無限分割觀點(diǎn)，芝諾又提出了兩個(gè)悖論，其中之一是飛箭靜止說：如果時(shí)間分割到最后，得到不可再分的單元，那么在這個(gè)單元內(nèi)，飛箭只能占據(jù)一個(gè)特定的位置，因此它是不動(dòng)的。否則，若占據(jù)兩個(gè)不同的位置，則可以將時(shí)間單元再分割為前后兩段，這和原先的假設(shè)不合，于是所謂運(yùn)動(dòng)，只是許多靜止的總合。通過悖論，芝諾辨證地論證了現(xiàn)實(shí)的一體性和恒常不變性。由此可以推出運(yùn)動(dòng)和空間的無限可分是一對(duì)矛盾。 當(dāng)時(shí)的希臘人解決不了芝諾提出的悖論。亞里士多德以形而上學(xué)的方式論辯說，沒有人能把空間分割成數(shù)目無限的部分，但是他并沒有駁倒芝諾，后來歐多克索斯（Eudoxus ）建立了適合于一切量（可公度量及不可公度量）的比例論，回避了無理量和無窮小的困難。 希臘最偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得和阿基米德都沒能逃脫亞里士多德在學(xué)術(shù)上的統(tǒng)治。歐氏幾何體系僵硬，避開了計(jì)算曲線圍成的面積的問題，阿基米德實(shí)際上用無限小量計(jì)算出至今仍通用的圓面積公式，但他也避開提及無限小量。 阿基米德用圓內(nèi)接正96邊形的面積去“接近”圓的面積。直觀地，兩個(gè)面積的差應(yīng)該是一個(gè)很小的量，最后可以忽略不計(jì)。而正多邊形的面積最后就“轉(zhuǎn)化”為圓面積。 而在古代中國(guó)，早在先秦百家爭(zhēng)鳴期間，墨家、道家、名家等都提出了各自關(guān)于無窮小和無窮分割的論述。其中后期墨家在《墨經(jīng)》中對(duì)無窮小分割的觀點(diǎn)與古希臘德謨克利特的原子論十分相近[5，263]。“無窮小”方法在中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的具體體現(xiàn)就是無窮小分割。公元3世紀(jì)，中國(guó)古代最偉大的數(shù)學(xué)家劉徽不僅將這種方法應(yīng)用在求圓周率的計(jì)算中，而且還用以解決圓面積公式和陽馬、鱉臑體積公式等問題上。劉徽對(duì)于無窮小方法的應(yīng)用比阿基米德更廣，他還用于推導(dǎo)公式。但是，從本質(zhì)上講，他們都忽略了無窮小量，無窮小量并沒有出現(xiàn)，而是包含于他們處理問題的方法之中，那時(shí)，人們所掌握的數(shù)學(xué)方法還沒有到能將無窮小量邏輯地表述清楚。 這樣無限小量在歷史上第一次被流放，沒有了無限小量，關(guān)于運(yùn)動(dòng)的研究便無法進(jìn)行，因?yàn)槎x不了速度的概念。希臘關(guān)于自然的研究從此停滯不前。 中古時(shí)代，無限小和無限大只能寄身在神學(xué)的范圍內(nèi)。無限小量的應(yīng)用雖然遭到禁絕，但作為概念它還未被扼殺。這里由于柏拉圖的思想還有著連綿不絕的影響。柏拉圖和亞里士多德不同，并不把存在局限在通過感官認(rèn)識(shí)的世界中，但是由于這時(shí)期中對(duì)后世影響最大的宗教哲學(xué)家圣奧古斯?。⊿aint Augustine）對(duì)無限性的偏愛（在他那里， 無限性和神性幾乎是一致的），反而使后來的許多哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，如開普勒、巴斯卡等一直沒能清除無限小所帶有的神秘色彩。 直到文藝復(fù)興時(shí)期，經(jīng)過伽利略、開普勒、費(fèi)馬和巴斯卡諸人的努力，無限小才回到了關(guān)于運(yùn)動(dòng)的研究中。運(yùn)動(dòng)學(xué)，一門把物體表現(xiàn)為運(yùn)動(dòng)在無限可分的時(shí)間和空間里的學(xué)問，被建立了起來。牛頓說：“如果我看得更遠(yuǎn)，那是因?yàn)槲艺驹诰奕说募绨蛏?。”這幾位學(xué)者正是形成巨人肩膀的主要人物。 但是伽、開、費(fèi)、巴諸人都沒有真正把無限小量馴服，因?yàn)樗麄兌紱]有徹底擺脫歐幾里得體系的羈約。直到17世紀(jì)60和70年代牛頓和萊布尼茲發(fā)明了微積分，才徹底解決了無限小量的歸宿問題。而數(shù)學(xué)也不再由幾何學(xué)獨(dú)占，而是支撐在幾何學(xué)和微積分學(xué)這兩根支柱上。 牛頓把微積分學(xué)應(yīng)用在物理學(xué)和天文學(xué)上，建立了運(yùn)動(dòng)三大定律，計(jì)算出行星的軌道。這是科學(xué)史和文明史上曠古未有的成就。它激發(fā)了18世紀(jì)以理性為標(biāo)榜的啟蒙運(yùn)動(dòng)，資產(chǎn)階級(jí)革命和工業(yè)革命繼之而來，它們徹底改變了人類社會(huì)的面貌。 牛頓在運(yùn)動(dòng)和重力方面的研究，已經(jīng)取得了空前的成就。運(yùn)動(dòng)定律中最關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)是瞬時(shí)速度這個(gè)概念的提出，它被定義為兩個(gè)“小到幾乎消失”的量的比或分?jǐn)?shù)：分子是代表距離的量，分母是代表時(shí)間的量。這個(gè)概念是微分學(xué)的核心內(nèi)容，它的基礎(chǔ)則在于對(duì)無窮小量，也就是小到近乎消失的量（也不妨說就是微量，兩個(gè)微量形成的分?jǐn)?shù)就是微商）的更為成熟的理解。為了計(jì)算行星軌道，牛頓想到了一個(gè)絕妙的辦法。他把軌道分成無數(shù)多個(gè)小段，通過太陽的重力在這些小段上對(duì)行星速度的作用，他就能把這些小段整合成要計(jì)算的軌道。整合小段這個(gè)過程就是積分，計(jì)算得到的結(jié)果是驚人的：行星軌道都是橢圓，而太陽正居于兩個(gè)焦點(diǎn)中的一個(gè)。這一結(jié)果與開普勒給出的經(jīng)驗(yàn)定律完全一致。 這時(shí)候無窮小是導(dǎo)數(shù)（作為無窮小量的商）和積分（作為無窮小量之和）定義的基礎(chǔ)，被認(rèn)為是“潛在的”。無限小在微積分中暫時(shí)安下家，卻并沒有解決它的存在問題，因?yàn)樗鼘?shí)際上只是游移在可能性與實(shí)存在性之間。哲學(xué)家們繼續(xù)著熱烈的爭(zhēng)辯。其中最尖銳的批判來自貝克萊主教：“無限小量是數(shù)量逸去之后的幽靈。”但這時(shí)期的多數(shù)科學(xué)家們則不為無限小量的本質(zhì)問題煩心，他們繼承了牛頓的遺產(chǎn)，繼續(xù)把微積分學(xué)這門新的學(xué)科應(yīng)用在科學(xué)的發(fā)現(xiàn)上，取得了累累的碩果。18世紀(jì)被稱為科學(xué)發(fā)現(xiàn)的黃金時(shí)代。 到了19世紀(jì)，科學(xué)發(fā)現(xiàn)的熱潮已經(jīng)過去，數(shù)學(xué)家們有更多的時(shí)間來考慮一個(gè)基本的問題：科學(xué)的大廈不應(yīng)該建筑在一個(gè)從形而上學(xué)看來是有問題的基礎(chǔ)上。數(shù)學(xué)有責(zé)任對(duì)貝克萊主教的責(zé)難給出完滿的解答，數(shù)學(xué)家責(zé)無旁貸，從1801到1872年，幾位杰出的數(shù)學(xué)家柯西（A.Cauchy），魏爾斯特拉斯（K.Weierstrass）和戴得金（R.Dedekind）為微積分學(xué)建立了一個(gè)新的體系，在這體系中，作為基礎(chǔ)的概念不再是無限小量而是新引入的“極限”。無限小量被繞開了。微積分學(xué)有了一個(gè)至少在邏輯上是無懈可擊的基礎(chǔ)，而無限小量則再度遭到流放。 柯西體系是至今大學(xué)教材仍在沿用的體系。它預(yù)示著數(shù)學(xué)將不再把基礎(chǔ)建立在物理學(xué)或現(xiàn)實(shí)世界上而是邏輯學(xué)上。可是直到1965年A ·魯濱遜（Abraham Robinsen）出版他的《非標(biāo)準(zhǔn)分析》之前，誰也沒有想到邏輯學(xué)的發(fā)展重又把無限小量贖回。 柯西體系在文明史上同樣有著巨大的影響。首先，無限小量的概念不再是必須的。因此哲學(xué)上關(guān)于它的存在性的爭(zhēng)論也就失去了憑依。其次，戴得金的工作打破了關(guān)于數(shù)的連續(xù)性的傳統(tǒng)看法，數(shù)不是通過無限小量“光滑地”粘靠在一起，而是任意兩個(gè)數(shù)都可以被隔開。這個(gè)思想深刻地影響到哲學(xué)上的宇宙觀：從一個(gè)事件“光滑地”過渡到下一事件的思想受到了懷疑。余波所及，文壇（喬依斯（注：?jiǎn)桃浪梗↗.Joyce，1882－1941年），愛爾蘭小說家及詩人.小說《尤里西斯》多次被推為本世紀(jì)最有影響的作品。）、惠特曼（注：惠特曼（W.Whitman，1819－1892）美國(guó)詩人））、藝壇（余拉（注：余拉（G.Seurat，1859－1891）法國(guó)畫家，新印象主義的創(chuàng)始人。））和樂壇（荀柏格（注：荀柏格（A.Schoenberg，1874－1951），奧－匈音樂家，首創(chuàng)以十二音階。））相繼出現(xiàn)了以不連續(xù)為特征的作品，用艾威爾德（見參考文獻(xiàn)[2]）的話說，是新的連續(xù)概念觸發(fā)了現(xiàn)代主義。 邏輯學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展使存在的問題讓位給真的問題。在邏輯學(xué)大師哥德爾（K.Godel）工作的基礎(chǔ)上， 魯濱遜建造了一個(gè)包括無限小量（以及常規(guī)的數(shù)之外的一切奇異實(shí)體）的結(jié)構(gòu)，亦即數(shù)學(xué)模型，并引用哥德爾的完全性定理推斷出這模型中的全部述語（或命題）是真的。魯濱遜把這模型稱為“非標(biāo)準(zhǔn)宇宙”以區(qū)別于只含常規(guī)數(shù)的“標(biāo)準(zhǔn)宇宙”。屬于非標(biāo)準(zhǔn)宇宙的微積分學(xué)就是“非標(biāo)準(zhǔn)分析”。在非標(biāo)準(zhǔn)分析中，無限小量像常規(guī)數(shù)一樣參加計(jì)算，使微積分回到了牛頓和萊布尼茲時(shí)代的直觀。在這模型中，過去無限小量引起的矛盾可以完全避免，因?yàn)樵谄涔硐到y(tǒng)中，并沒有“它小于一切正數(shù)”的表述。非標(biāo)準(zhǔn)分析不僅比柯西體系的微積分更為直觀和方便，也在許多領(lǐng)域里，如物理學(xué)、概率論、經(jīng)濟(jì)學(xué)等，有更合適的應(yīng)用。 但是魯濱遜最大的貢獻(xiàn)還是在于最終解開了兩千多年來圍繞著無限性這個(gè)概念的疑團(tuán)。使得它不再具有任何神秘性。當(dāng)然，無限小量的存在問題仍然沒有解決，不少人認(rèn)為，不含不相容性的數(shù)學(xué)對(duì)象應(yīng)該具有超越我們感官世界的真實(shí)存在。魯濱遜早年也傾向于這一柏拉圖的哲學(xué)，但晚年又回到萊布尼茲的觀點(diǎn)，即認(rèn)為無限小量應(yīng)該被看作一個(gè)“合理的虛構(gòu)之物”。有一點(diǎn)是確定的，不論無限小量擁有什么樣的存在，這存在絲毫不遜于常規(guī)的數(shù)一正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)等等一所擁有的?，F(xiàn)代邏輯學(xué)告訴我們，我們所擁有的語言根本就不能把充滿了無限小量的非標(biāo)準(zhǔn)宇宙和不含它們的標(biāo)準(zhǔn)宇宙分開。 “還有一點(diǎn)，非標(biāo)準(zhǔn)分析可以用來解答一個(gè)微妙的問題，那是以前研究經(jīng)典分析時(shí)遇到的，即如果無窮小量和無窮大量都被看成是不合邏輯的概念，它們?cè)趺茨軌虺蔀橐蛔钪匾臄?shù)學(xué)科學(xué)大廈的基礎(chǔ)呢？”[6，237]。 數(shù)學(xué)又一次贖回了無限小。這一次它會(huì)為人類的文明史帶來什么呢？無限小量是否已經(jīng)找到了永久的棲身之地呢？這些大概要讓下個(gè)世紀(jì)來為我們解答了。 |
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