第十七章  反比例函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識

1. 定義：一般地，形如y?

還可以寫成y?kx

1

kx

（k為常數(shù)，k?o）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。y?

kx

2. 反比例函數(shù)解析式的特征：

⑴等號左邊是函數(shù)y，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數(shù)k（也叫做比例系數(shù)k），分母中含有自變量x，且指數(shù)為1. ⑵比例系數(shù)k?0

⑶自變量x的取值為一切非零實數(shù)。 ⑷函數(shù)y的取值是一切非零實數(shù)。

3. 反比例函數(shù)的圖像 ⑴圖像的畫法：描點法

① 列表（應(yīng)以O(shè)為中心，沿O的兩邊分別取三對或以上互為相反的數(shù)） ② 描點（有小到大的順序）

③ 連線（從左到右光滑的曲線） ⑵反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，y?

kx

（k為常數(shù)，k?0）中自變量x?0，函

數(shù)值y?0，所以雙曲線是不經(jīng)過原點，斷開的兩個分支，延伸部分逐漸靠近坐標(biāo)軸，但是永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交。

⑶反比例函數(shù)的圖像是是軸對稱圖形（對稱軸是y?x或y??x）。 ⑷反比例函數(shù)y?

kx

（k?0）中比例系數(shù)k的幾何意義是：過雙曲線y?

kx

（k?0）上任意引x軸y軸的垂線，所得矩形面積為k。 4

5. 點的坐標(biāo)即可求出k） 6．“反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),

但是反比例函數(shù)y?

7.  反比例函數(shù)的應(yīng)用

kx

中的兩個變量必成反比例關(guān)系。

二、例題

【例1】如果函數(shù)y?kx2k是多少？

【解析】有函數(shù)圖像為雙曲線則此函數(shù)為反比例函數(shù)y?（k?0）又在第二，四象限內(nèi)，則k?0可以求出的值 【答案】由反比例函數(shù)的定義，得：

1??2k2?k?2??1?k??1或k?

解得??2

k?0??k?0??k??1

k??1時函數(shù)y?kx2k

2

2

k?2

的圖像是雙曲線，且在第二，四象限內(nèi)，那么的值

kx

，（k?0）即y?kx

1

k?2

為y??

1x

1x

【例2】在反比例函數(shù)y??

的圖像上有三點?x1，y1?，?x2，y2?，?x3，y3? 。

若x1?x2?0?x3則下列各式正確的是（   ）

A．y3?y1?y2   B．y3?y2?y1   C．y1?y2?y3   D．y1?y3?y2  【解析】可直接以數(shù)的角度比較大小，也可用圖像法，還可取特殊值法。 解法一：由題意得y1??

1x1

，y2??

1x2

，y3??

1x3

x1?x2?0?x3，?y3?y1?y2

所以選A

1x

解法二：用圖像法，在直角坐標(biāo)系中作出y??的圖像

描出三個點，滿足x1?x2?0?x3觀察圖像直接得到y(tǒng)3?y1?y2選A 解法三：用特殊值法

x1?x2?0?x3,?令x1?2,x2?1,x3??1?y1??

12

,y2??1,y3?1,?y3?y1?y2

y?

3n?mx

的圖像

【例3】如果一次函數(shù)y?mx?n?m?0?與反比例函數(shù)

1

相交于點

2）（，，那么該直線與雙曲線的另一個交點為（    ） 2

【解析】

直線y?mx?n與雙曲線y?

3n?mx

1?m?2?m?n?2?1?

x相交于?，2?，??2解得?

2???n?1??3n?m?1

y?2x?1?

1?直線為y?2x?1,雙曲線為y?解方程組?

y?x?x?

1

x1??1

得?

y1??11?

x2??2??y2?2

另一個點為

1，?1?

mx

【例4】 如圖，在Rt?AOB中，點A是直線y?x?m與雙曲線y?

的交點，且S?AOB?2，則m的值是

_____.

在第一象限

圖

解:因為直線y?x?m與雙曲線y?   則有yA?xA?m,yA?

mxA

mx

過點A,設(shè)A點的坐標(biāo)為?xA,yA?.

.所以m?xAyA.

又點A在第一象限,所以O(shè)B?xA?xA,AB?yA?yA.    所以S?AOB?

12

OB?AB?

12xAyA?

12m

.而已知S?AOB?2.

所以m?4.

三、練習(xí)題

1.反比例函數(shù)y??

2x

的圖像位于（    ）

A．第一、二象限   B．第一、三象限  C．第二、三象限   D．第二、四象限

2.若y與x成反比例，x與z成正比例，則y是z的（    ）

A、正比例函數(shù)   B、反比例函數(shù)   C、一次函數(shù)  D、不能確定 3.如果矩形的面積為6cm2，那么它的長ycm與寬xcm之間的函數(shù)圖象大致為（   ）

C

A                B                    D

4.某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時， 氣球內(nèi)氣體的氣壓P ( kPa ) 是氣體體積V ( m3 )  的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．當(dāng)氣球內(nèi)氣壓大于120 kPa時，氣球?qū)⒈ǎ疄榱税踩鹨?，氣球的體積應(yīng)（   ）

A、不小于

5．如圖 ，A、C是函數(shù)y?

1x

54

m3     B、小于

54

m3    C、不小于m3

5

4

D、小于

45

m3

的圖象上的任意兩點，過A作x

軸的垂線，垂足為B，過C作y軸的垂線，垂足為D，記RtΔAOB的面積為S1，RtΔCOD的面積為S2則 （   ） A． S1 ＞S2              B． S1 <S2

C． S1=S2                D． S1與S2的大小關(guān)系不能確定 6．關(guān)于x的一次函數(shù)y=-2x+m和反比例函數(shù)y=

n?1x

的圖象都經(jīng)過點A（-2，1）.

求：（1）一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）兩函數(shù)圖象的另一個交點B的坐標(biāo)；

（3）△AOB的面積．

7. 如圖所示，一次函數(shù)y＝ax＋b的圖象與反比例函數(shù)y＝A、B1

兩點，與x軸交于點C．已知點A的坐標(biāo)為（－2，1），點B的坐標(biāo)為（，m）．

2

（

1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

kx

（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．

8． 某蓄水池的排水管每小時排水8m3，6小時可將滿池水全部排空．

（1）蓄水池的容積是多少？

（2）如果增加排水管，使每小時的排水量達到Q（m3），那么將滿池水排空所需的時間t（h）將如何變化？

（3）寫出t與Q的關(guān)系式． （4）如果準(zhǔn)備在5小時內(nèi)將滿池水排空，那么每小時的排水量至少為多少？

3

（5）已知排水管的最大排水量為每小時12m，那么最少需多長時間可將滿池水全部排空？

.9.某商場出售一批名牌襯衣，襯衣進價為60元，在營銷中發(fā)現(xiàn)，該襯衣的日銷售量y（件）是日銷售價x元的反比例函數(shù)，且當(dāng)售價定為100元/件時，每日可售出30件.

（1）請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該商場計劃經(jīng)營此種襯衣的日銷售利潤為1800元，則其售價應(yīng)為多少元？

15. 點P（2m－3，1）在反比例函數(shù)y＝m＝__________． x

6. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（m，2）和（－2，3）則m的值為__________．

7. 已知反比例函數(shù)y?1?2m

x的圖象上兩點A?x1,y1?,B?x2,y2?，當(dāng)x1?0?x2時，

有y1?y2，則m的取值范圍是？

8.已知y與x-1成反比例，并且x＝-2時y＝7，求：

(1)求y和x之間的函數(shù)關(guān)系式；    (2)當(dāng)x=8時，求y的值；

(3)y＝-2時，x的值。

9. 已知b?3,且反比例函數(shù)y?

大,如果點?a,3?在雙曲線上y?

1?bx1?bx的圖象在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增，求a是多少？

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