專題二  函數(shù)與方程及函數(shù)的實際應(yīng)用

1．函數(shù)f(x)＝2^x＋3x的零點所在的一個區(qū)間是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．(－2，－1)           B．(－1,0)

C．(0,1)                     D．(1,2)

答案：B　[由f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0及零點定理，知f(x)的零點在區(qū)間(－1,0)上．]

2．函數(shù)f(x)＝xcos x²在區(qū)間[0,4]上的零點個數(shù)為(　　)．

A．4                          B．5 

C．6                          D．7

答案：C　[令xcos x²＝0，則x＝0，或x²＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此x_k＝ (k＝0,1,2,3,4)，共有6個零點．][來源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K]

3．函數(shù)f(x)＝x－^x的零點個數(shù)為(　　)．

A．0  B．1  [來源:學(xué)科網(wǎng)]

C．2  D．3

答案：B　[因為y＝x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝^x在x∈R上單調(diào)遞減，所以f(x)＝x－^x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，所以f(x)＝x－^x在定義域內(nèi)有唯一零點，選B.]

4．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x³＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為________萬件．

解析　∵y＝f(x)＝－x³＋81x－234，∴y′＝－x²＋81.

令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．

當(dāng)0＜x＜9時，y′＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x＞9時，y′＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

故當(dāng)x＝9時，y取最大值．

答案　9

高考對本部分的考查有：

(1)①確定函數(shù)零點；

②確定函數(shù)零點的個數(shù)；

③根據(jù)函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)值或取值范圍．

(2)函數(shù)簡單性質(zhì)的綜合考查．函數(shù)的實際應(yīng)用問題．

(3)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等知識綜合考查．

利用函數(shù)性質(zhì)解決相關(guān)的最值．題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題主要考查相應(yīng)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主觀題考查較為綜合，在考查函數(shù)的零點、方程根的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想方法．

1．二次函數(shù)圖象是連接三個“二次”的紐帶，是理解和解決問題的關(guān)鍵，應(yīng)認(rèn)真研究、熟練掌握．

2．關(guān)于零點問題，要學(xué)會分析轉(zhuǎn)化，能夠把與之有關(guān)的不同形式的問題，化歸為適當(dāng)方程的零點問題．

3．函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，主要抓好常見函數(shù)模型的訓(xùn)練，重點放在信息整理與建模上.

必備知識

零點存在性定理

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．

注意以下兩點：

①滿足條件的零點可能不唯一；

②不滿足條件時，也可能有零點．

在處理二次函數(shù)問題時，要注意f(x)的幾種常見表達(dá)形式

(1)y＝ax²＋bx＋c；

(2)y＝a(x－x₁)(x－x₂)；

(3)y＝a(x－h)²＋k.

應(yīng)根據(jù)題目的特點靈活選用上述表達(dá)式．

應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序

 

與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題．解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答．

必備方法

1．在求方程解的個數(shù)或者根據(jù)解的個數(shù)求方程中的字母參數(shù)的范圍的問題時，數(shù)形結(jié)合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)的解析式，然后構(gòu)造兩個函數(shù)f(x)，g(x)，即把方程寫成f(x)＝g(x)的形式，這時方程根的個數(shù)就是兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)，可以根據(jù)圖象的變化趨勢找到方程中字母參數(shù)所滿足的各種關(guān)系．

2．二次函數(shù)y＝a(x－h)²＋k(a≠0)，x∈[p，q]的最值問題實際上是研究函數(shù)在[p，q]上的單調(diào)性．常用方法：(1)注意是“軸動區(qū)間定”，還是“軸定區(qū)間動”，找出分類的標(biāo)準(zhǔn)；(2)利用導(dǎo)數(shù)知識，最值可以在端點和駐點處尋找．

3．f(x)≥0在[p，q]上恒成立問題，等價于f(x)_min≥0，x∈[p，q]．

?？疾椋?/span>①根據(jù)函數(shù)解析式判斷零點所在的區(qū)間；②根據(jù)函數(shù)解析式求零點的個數(shù)問題．可采用零點判定定理、數(shù)形結(jié)合法求解，高考命題有加強的趨勢，難度中檔偏下．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例1】函數(shù)f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi)(　　)．

A．沒有零點                            B．有且僅有一個零點

C．有且僅有兩個零點              D．有無窮多個零點

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] 將問題轉(zhuǎn)化為判斷y＝與y＝cos x的交點個數(shù)．

B　[

在同一直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y＝和y＝cos x的圖象，如圖，由于x＞1時，y＝＞1，y＝cos x≤1，所以兩圖象只有一個交點，即方程－cos x＝0在[0，＋∞)內(nèi)只有一個根，所以f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi)只有一個零點．]

 確定函數(shù)零點的常用方法：

①解方程判定法，若方程易求解時用此法；

②零點存在的判定定理法，常常要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等知識；

③數(shù)形結(jié)合法，在研究函數(shù)零點、方程的根及圖象交點的問題時，當(dāng)從正面求解難以入手，可以轉(zhuǎn)化為某一易入手的等價問題求解，如求解含有絕對值、分式、指數(shù)、對數(shù)、三角式等較復(fù)雜的函數(shù)零點問題，常轉(zhuǎn)化為熟悉的兩個函數(shù)圖象的交點問題求解．

【突破訓(xùn)練1】 函數(shù)f(x)＝的零點個數(shù)為(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．0  B．1  C．2  D．3

答案：C　[當(dāng)x≤0時，令x²＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x＞0時，令－2＋ln x＝0，解得x＝e².所以已知函數(shù)有兩個零點，選C.]

函數(shù)思想在高考中并不單獨考查，而往往與導(dǎo)數(shù)結(jié)合命制壓軸性大題，試題圍繞二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系展開，解題的關(guān)鍵是從判別式、韋達(dá)定理、對稱軸、開口方向等方面去考慮結(jié)論成立的所有條件，難度較大．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

【例2】 已知二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c.

(1)若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，試證明f(x)＝0必有兩個實根；

(2)若對x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，f(x₁)≠f(x₂)，試證明方程f(x)＝[f(x₁)＋f(x₂)]有兩不等實根，且必有一個實根屬于(x₁，x₂)．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)將已知條件b＝－(a＋c)代入f(x)＝0后，再對f(x)＝0分解因式求根．(2)利用函數(shù)與方程的思想構(gòu)造函數(shù)f(x)－[f(x₁)＋f(x₂)]，利用函數(shù)零點判定定理可知函數(shù)在(x₁，x₂)有一零點．

證明　(1)若a＞b＞c，a＋b＋c＝0，

則a＞0，c＜0，且b＝－(a＋c)，

所以方程f(x)＝0可化為ax²－(a＋c)x＋c＝0，

即a(x－1)＝0，

則f(x)＝0有兩根x₁＝1，x₂＝.

(2)令g(x)＝f(x)－[f(x₁)＋f(x₂)]，

g(x₁)＝[f(x₁)－f(x₂)]，g(x₂)＝[f(x₂)－f(x₁)]，

且x₁＜x₂，f(x₁)≠f(x₂)，

所以g(x₁)g(x₂)＝－[f(x₁)－f(x₂)]²＜0，

即函數(shù)g(x)在區(qū)間(x₁，x₂)內(nèi)有零點，則方程g(x)＝0有一實根屬于(x₁，x₂)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知必有另一實根．

 二次函數(shù)問題通常利用二次方程、二次不等式之間的關(guān)系來處理，從而使方程問題函數(shù)化，函數(shù)問題方程化，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．

【突破訓(xùn)練2】 已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax²＋2x－3－a，如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

解　當(dāng)a＝0時，f(x)＝2x－3，

其零點x＝不在區(qū)間[－1,1]上．

當(dāng)a≠0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]分為兩種情況：

①函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上只有一個零點，

此時或

解得1≤a≤5或a＝－.

②函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上有兩個零點，此時

或

解得a≥5或a＜－.

綜上所述，如果函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上有零點，

那么實數(shù)a的取值范圍為∪[1，＋∞)．

函數(shù)綜合題的求解往往運用多種知識和技能．因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴(yán)謹(jǐn)審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件．要認(rèn)真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運用相關(guān)的知識和方法將題目逐步化歸為基本問題來解決．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】 已知二次函數(shù)y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1處取得極小值m－1(m≠0)，設(shè)函數(shù)f(x)＝.

(1)若曲線y＝f(x)上的點P到點Q(0,2)的距離的最小值為，求m的值；

(2)當(dāng)k(k∈R)取何值時，函數(shù)y＝f(x)－kx存在零點，并求出零點．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] (1)利用已知條件用含m的式子表示f(x)，再結(jié)合點P到點Q的最值，利用基本不等式求m值．

(2)將已知轉(zhuǎn)化為f(x)－kx＝0，進而求其根，需要根據(jù)解題對k，m分類討論．

解　(1)設(shè)g(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)，則g′(x)＝2ax＋b；

又y＝g′(x)的圖象與直線y＝2x平行，

∴2a＝2，a＝1，又g(x)在x＝－1處取得極小值，

∴g′(－1)＝0，b＝2.

∴g(－1)＝a－b＋c＝1－2＋c＝m－1，∴c＝m.

f(x)＝＝x＋＋2，設(shè)P(x₀，y₀)，

則|PQ|²＝x＋(y₀－2)²＝x＋²

＝2x＋＋2m≥2＋2m.

∴2＋2m＝2，∴m＝－1或－－1.

(2)由y＝f(x)－kx＝(1－k)x＋＋2＝0，

得(1－k)x²＋2x＋m＝0.

當(dāng)k＝1時，方程(*)有一個解x＝－，

故函數(shù)y＝f(x)－kx有一個零點x＝－，(*)

當(dāng)k≠1時，方程(*)有兩解Δ＝4－4m(1－k)＞0，

若m＞0，則k＞1－，函數(shù)y＝f(x)－kx有兩個零點

x＝＝；

若m＜0，則k＜1－，故函數(shù)y＝f(x)－kx有兩個零點

x＝＝；

當(dāng)k≠1時，方程(*)有一解Δ＝4－4m(1－k)＝0，

k＝1－，函數(shù)y＝f(x)－kx有一個零點x＝.

綜上：當(dāng)k＝1時，函數(shù)y＝f(x)－kx有一個零點x＝－；

當(dāng)k＞1－(m＞0)，或k＜1－(m＜0)時，

函數(shù)y＝f(x)－kx有兩個零點x＝；

當(dāng)k＝1－時，函數(shù)y＝f(x)－kx有一個零點x＝.

 此題考查了函數(shù)的零點、最值、一元二次方程等基礎(chǔ)知識，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)的方法，體現(xiàn)了函數(shù)與方程，分類與整體的數(shù)學(xué)思想方法．

【突破訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝

若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．

解析　

作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)0＜k＜1時，函數(shù)f(x)與y＝k的圖象有兩個不同的交點，所以所求實數(shù)k的取值范圍是(0,1)．

答案　(0,1)

該類試題以實際生活為背景，通過巧妙設(shè)計和整合命制，試題常與函數(shù)解析式的求法、函數(shù)最值、不等式、導(dǎo)數(shù)等知識交匯，多以求最值為高考考向．這類題目對學(xué)生的閱讀、審題能力、建模能力提出了較高的要求．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

【例4】如圖，長方體物體E在雨中沿面P(面積為S)的垂直方向作勻速移動，速度為v(v>0)，雨速沿E移動方向的分速度為c(c∈R)．E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：①P或P的平行面(只有一個面淋雨)的淋雨量，假設(shè)其值與|v－c|×S成正比，比例系數(shù)為；②其他面的淋雨量之和，其值為.記y為E移動過程中的總淋雨量．當(dāng)移動距離d＝100，面積S＝時．

(1)寫出y的表達(dá)式；

(2)設(shè)0<v≤10,0<c≤5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動速度v，使總淋雨量y最少．

[審題視點] 　

　

[聽課記錄]

[審題視點] 先求E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量(分兩部分：一是P或P的平行面；二是其他面的淋雨量之和)．再分0＜v≤c或c＜v≤10兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性求解．

解　(1)由題意知，E移動時單位時間內(nèi)的淋雨量為|v－c|＋，故y＝＝(3|v－c|＋10)．

(2)由(1)知，當(dāng)0＜v≤c時，y＝(3c－3v＋10)＝－15；當(dāng)c＜v≤10時，y＝(3v－3c＋10)＝＋15.

故y＝

①當(dāng)0＜c≤時，y是關(guān)于v的減函數(shù)，故當(dāng)v＝10時，y_min＝20－.

②當(dāng)＜c≤5時，在(0，c]上y是關(guān)于v的減函數(shù)；在(c,10]上，y是關(guān)于v的增函數(shù)，故當(dāng)v＝c時，y_min＝.

 (1)關(guān)于解決函數(shù)的實際應(yīng)用問題，首先要在閱讀上下功夫，一般情況下，應(yīng)用題文字?jǐn)⑹霰容^長，要耐心、細(xì)心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實際問題中去．

(2)對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法．

【突破訓(xùn)練4】已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)＝

(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；

(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大．(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本)

解　(1)當(dāng)0＜x≤10時，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)]

當(dāng)x＞10時，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x，

∴W＝

(2)①當(dāng)0＜x≤10時，由W′＝8.1－＝0，得x＝9.

當(dāng)x∈(0,9)時，W′＞0；當(dāng)x∈(9,10]時，W′＜0，

∴當(dāng)x＝9時，W取得最大值，

即W_max＝8.1×9－×9³－10＝38.6.

②當(dāng)x＞10時，W＝98－≤98－2 ＝38，

當(dāng)且僅當(dāng)＝2.7 x，即x＝時，W取得最大值38.

綜合①②知：當(dāng)x＝9時，W取得最大值38.6，[來源:Zxxk.Com]

故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲的年利潤最大．

利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的零點問題

利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)圖象的變化趨勢及單調(diào)性，而函數(shù)的單調(diào)性往往與方程的解交匯命題．因此，可借助導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)的零點問題．

【示例】已知函數(shù)f(x)＝axsin x－(a∈R)，且在上的最大值為.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)判斷函數(shù)f(x)在(0，π)內(nèi)的零點個數(shù)，并加以證明．

[滿分解答]　(1)由已知得f′(x)＝a(sin x＋xcos x)，

對于任意x∈，有sin x＋xcos x＞0.

當(dāng)a＝0時，f(x)＝－，不合題意；

當(dāng)a＜0時，x∈時，f′(x)＜0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故f(x)在上的最大值為f(0)＝－，不合題意；(4分)

當(dāng)a＞0，x∈時，f′(x)＞0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故f(x)在上的最大值為f，即a－＝，解得a＝1.

綜上所述，得f(x)＝xsin x－.(6分)

(2)f(x)在(0，π)內(nèi)有且只有兩個零點．證明如下：

由(1)知，f(x)＝xsin x－，從而有f(0)＝－＜0，f＝＞0，又f(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，

所以f(x)在內(nèi)至少存在一個零點．

又由(1)知f(x)在上單調(diào)遞增，故f(x)在內(nèi)有且只有一個零點．(9分)

當(dāng)x∈時，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x.

由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的圖象是連續(xù)不間斷的，故存在m∈，使得g(m)＝0.

 

由g′(x)＝2cos x－xsin x，知x∈時，有g′(x)＜0，

從而g(x)在內(nèi)單調(diào)遞減．

當(dāng)x∈時，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，從而f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x∈時，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上無零點；(12分)

當(dāng)x∈(m，π)時，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，從而f(x)在(m，π)內(nèi)單調(diào)遞減．[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f(x)在(m，π)內(nèi)有且僅有一個零點．

綜上所述，f(x)在(0，π)內(nèi)有且只有兩個零點．(14分)

老師叮嚀：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性、最值和函數(shù)零點的判斷.第(1)問需對a分類討論，利用f′(x)的正負(fù)與f(x)單調(diào)性的關(guān)系求得結(jié)果.第(2)問需要經(jīng)過二次求導(dǎo)，原因是一次求導(dǎo)不能判斷其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，還需第二次求導(dǎo)，再結(jié)合零點存在定理判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)零點存在情況.

【試一試】 已知函數(shù)f(x)＝x³，g(x)＝x＋.求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點個數(shù)，并說明理由．

解　由h(x)＝x³－x－知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，且h(1)＝－1＜0，h(2)＝6－＞0，則x＝0為h(x)的一個零點，且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點．因此，h(x)至少有兩個零點．

法一　h′(x)＝3x²－1－x－，記φ(x)＝3x²－1－x－，則φ′(x)＝6x＋x－.

則x∈(0，＋∞)時，φ′(x)＞0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多只有一個零點．又因為φ(1)＞0，φ＜0，則φ(x)在內(nèi)有零點．所以φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個零點．記此零點為x₁，則當(dāng)x∈(0，x₁)時，φ(x)＜φ(x₁)＝0；當(dāng)x∈(x₁，＋∞)時，φ(x)＞φ(x₁)＝0.

所以，當(dāng)x∈(0，x₁)時，h(x)單調(diào)遞減．而h(0)＝0，則h(x)在(0，x₁]內(nèi)無零點；當(dāng)x∈(x₁，＋∞)時，h(x)單調(diào)遞增，則h(x)在(x₁，＋∞)內(nèi)至多只有一個零點．

從而h(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多只有一個零點．

綜上所述，h(x)有且只有兩個零點．

法二　由h(x)＝x(x²－1－x－)，記φ(x)＝x²－1－x－，則φ′(x)＝2x＋x－.

當(dāng)x∈(0，＋∞)時，φ′(x)＞0，從而φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多只有一個零點．因此h(x)在(0，＋∞)內(nèi)也至多只有一個零點．

綜上所述，h(x)有且只有兩個零點．