2015年浙江高考 數(shù)學(xué)(理科)參考試卷

一、選擇題

1．已知a，b是實(shí)數(shù)，則“| a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的

A．充分不必要條件                 B．必要不充分條件  

C．充分必要條件                   D．既不充分也不必要條件

2．若函數(shù)f (x) (x∈R)是奇函數(shù)，則

A．函數(shù)f (x²)是奇函數(shù)               B．函數(shù) [f (x) ]²是奇函數(shù)

C．函數(shù)f (x)x²是奇函數(shù)             D．函數(shù)f (x)＋x²是奇函數(shù)

3．若某幾何體的三視圖 (單位：cm) 如圖所示，

則此幾何體的體積是

A． cm³        

B． cm³        

C． cm³        

D． cm³

4．如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC．

若||＝a，||＝b，則＝

A．b²－a²                          B．a²－b²       

C．a²＋b²                          D．ab

5．現(xiàn)有90 kg貨物需要裝成5箱，要求每一箱所裝貨物的

重量不超過(guò)其它任一箱所裝貨物重量的2倍．若某箱所

裝貨物的重量為x kg，則x的取值范圍是

A．10≤x≤18           B．10≤x≤30       

C．18≤x≤30           D．15≤x≤30

6．若整數(shù)x，y滿足不等式組 則2x＋y的最大值是

A．11      B．23       C．26        D．30

7．如圖，F₁，F₂是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若 | AB | : | BF₂ | : | AF₂ |＝2 : 3 : 4，則雙曲線的離心率為

A．4     B．       C．2        D．

8．如圖，函數(shù)y＝f (x)的圖象為折線ABC，設(shè)f ₁ (x)＝f (x)，

f _n+1 (x)＝f  [f _n(x)]，n∈N*，則函數(shù)y＝f ₄ (x)的圖象為

A．                            B．           

C．                             D．

二、填空題

9．設(shè)全集，集合，，則

=         ，A∩B=         ，A∪B=         ．

10．設(shè)等差數(shù)列的公差為6，且為和的等比中項(xiàng)．則=         ，數(shù)列 的前n項(xiàng)和=         ．

11．設(shè)函數(shù) 則f(f (1) ) =         ；方程f(f (x) ) = 1的解是         ．

12．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，ADAC，

sin∠BAC=，AB=，AD=3，則BD的長(zhǎng)為         ，△ABC的面積為         ．

13．設(shè)e₁，e₂為單位向量，非零向量b＝xe₁＋ye₂，x，y∈R．若e₁，e₂的夾角為，則的最大值等于         ．

14．設(shè)直線x－3y＋m＝0 (m≠0)與雙曲線（a＞0,b＞0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)P(m，0)滿足，則該雙曲線的離心率是         ．

15．如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點(diǎn)A處進(jìn)

行射擊訓(xùn)練.已知點(diǎn)A到墻面的距離為AB，某目標(biāo)點(diǎn)P沿

墻面上的射線CM移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)P，需

計(jì)算由點(diǎn)A觀察點(diǎn)P的仰角θ的大小.若AB＝15m，

AC＝25m，∠BCM＝30°，則tanθ的最大值是         ．

(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角)

 (第15題圖)

三、解答題

16．已知函數(shù)f (x)＝3 sin² ax＋sin ax cos ax＋2 cos² ax的周期為π，其中a＞0．

(Ⅰ) 求a的值；

(Ⅱ) 求f (x)的值域．

17．如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD為矩形，ADEF為梯形， AF∥DE，AF⊥FE，AF＝AD＝2，DE＝1．

(Ⅰ) 求異面直線EF與BC所成角的大小；

(Ⅱ) 若二面角A－BF－D的平面角的余弦值為，求CF的長(zhǎng)．

18．如圖，F₁，F₂是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)M在直線：x＝－上．

(Ⅰ) 若B點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(Ⅱ) 求的取值范圍．

19．設(shè)數(shù)列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅滿足性質(zhì)P：

，．

(Ⅰ)  (ⅰ) 若a₁,a₂,…,a₂₀₁₅是等差數(shù)列，求a_n；

(ⅱ) 是否存在具有性質(zhì)P的等比數(shù)列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅？

(Ⅱ) 求證：．

20．已知二次函數(shù)f (x) = ax²+bx+c (a>0)，方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x₁，x₂滿足0<x₁<x₂<．

（Ⅰ）當(dāng)x(0, x₁)時(shí)，證明x < f (x) < x₁；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f (x) 的圖象關(guān)于直線x = x₀對(duì)稱，證明x₀<．

數(shù)學(xué)參考試卷(理科)答案

一、選擇題

1．B   2．C   3．D   4．A   5．B   6．B   7．A   8．D

二、填空題

9．，，

10．-14，3n²-17n      11．0，       12．，

13．2                14．                15．

三、解答題

16．(Ⅰ) 由題意得

f (x)＝(1－cos 2ax)＋sin 2ax＋(1＋cos 2ax)

＝sin 2ax－cos 2ax＋

＝sin (2ax－)＋．

因?yàn)?i>f (x)的周期為π，a＞0，所以

a＝1．                                         

 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得

f (x)＝sin (2x－)＋，

所以f (x)的值域?yàn)?span lang="EN-US" style="font-family:"Times New Roman","serif"">[，]．

17．(Ⅰ) 延長(zhǎng)AD，FE交于Q．

因?yàn)?i>ABCD是矩形，所以

BC∥AD，

所以∠AQF是異面直線EF與BC所成的角．

在梯形ADEF中，因?yàn)?i>DE∥AF，AF⊥FE，AF＝2，DE＝1得

∠AQF＝30°．

(Ⅱ) 方法一：

設(shè)AB＝x．取AF的中點(diǎn)G．由題意得

DG⊥AF．

因?yàn)槠矫?i>ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，所以

AB⊥平面ADEF，

所以

AB⊥DG．

所以

DG⊥平面ABF．

過(guò)G作GH⊥BF，垂足為H，連結(jié)DH，則DH⊥BF，

所以∠DHG為二面角A－BF－D的平面角．

在直角△AGD中，AD＝2，AG＝1，得

DG＝．

在直角△BAF中，由＝sin∠AFB＝，得

＝，

所以

GH＝．

在直角△DGH中，DG＝，GH＝，得

DH＝．

因?yàn)?span lang="EN-US" style="font-family:"Times New Roman","serif"">cos∠DHG＝＝，x＝，

所以

  AB＝．

又在梯形AFED中可得DF=2，

所以CF=．

方法二：設(shè)CD＝x．

以F為原點(diǎn)，AF，FQ所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz．則

F(0，0，0)，A(－2，0，0)，E(，0，0)，D(－1，，0)，B(－2，0，x)，

所以

＝(1，－，0)，＝(2，0，－x)．

因?yàn)?i>EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取＝(0，1，0)．

設(shè)＝(x₁，y₁，z₁)為平面BFD的法向量，則

所以，可取＝(，1，)．

因?yàn)?span lang="EN-US" style="font-family:"Times New Roman","serif"">cos<，>＝＝，得

x＝，

即

CD＝．

又在梯形AFED中可得DF=2，所以CF=.

18．(Ⅰ) 因?yàn)辄c(diǎn)M 是AB的中點(diǎn)，所以可設(shè)點(diǎn)A.

代入橢圓方程，得或，

則A點(diǎn)坐標(biāo)為或，所以M點(diǎn)坐標(biāo)為

或．

(Ⅱ) 當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x＝－，此時(shí)

＝．

當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得

(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

則

－1＋4mk＝0，

故

k＝．

此時(shí)，直線AB的方程為

y－m＝(x＋)，

即

y＝x＋．

聯(lián)立  消去y，整理得

x²＋x＋ ＝0，

故Δ＝1－＞0，即

0＜m²＜，

所以

x₁＋x₂＝－1，   x₁x₂＝．

于是

＝(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

 ＝x₁x₂＋y₁y₂－(x₁＋x₂)＋1

＝x₁x₂＋y₁y₂＋2

＝x₁x₂＋(x₁＋)(x₂＋)＋2

＝ ．

令t＝1＋8m²，則1＜t＜8，于是

＝

             ＝(3t＋)．

所以，的取值范圍為[，）．

19．(Ⅰ) （ⅰ）設(shè)等差數(shù)列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅的公差為d，則

．

由題意得

，

所以，即．

當(dāng)d = 0時(shí)，a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=0，所以與性質(zhì)P矛盾；

當(dāng)d > 0時(shí)，由，，得，．

所以

．

當(dāng)時(shí)，由，，得，．

所以

．

綜上所述，或．

（ⅱ）設(shè)a₁,a₂,…,a₂₀₁₅是公比為的等比數(shù)列，則

當(dāng)時(shí)，，則

，

與性質(zhì)P矛盾.

 當(dāng)時(shí)

.

與性質(zhì)P矛盾.

因此不存在滿足性質(zhì)P的等比數(shù)列a₁,a₂,…,a₂₀₁₅．

(Ⅱ) 由條件知，必有a_i > 0，也必有a_j < 0 (i，j∈{1，2，…，2015}，且i≠j ) ．

設(shè)為所有a_i中大于0的數(shù)，為所有a_i中小于0的數(shù)．

由條件得a+a+…+a=，a+a+…+a= - ．所以

．

20． (Ⅰ)因?yàn)?/span>x₁，x₂是方程f (x) -x =0的根，所以

f (x) -x=a(x-x₁)(x-x₂) ．

當(dāng)x∈(0，x₁)時(shí)，由于x₁< x₂，a > 0，所以 a(x-x₁)(x-x₂)>0，故

x < f (x) ．

因?yàn)?/span>x₁- f (x)= x₁-  a(x-x₁)(x-x₂) -x=(x₁-x)[ 1+a(x- x₂)]，

又 x₁-x > 0，1+a(x- x₂) = 1+ax-a x₂ > 1-a x₂> 0．于是

x₁- f (x) > 0．

從而

f (x)< x₁．

綜上，x<f (x)< x₁．

(Ⅱ)由題意知．

因?yàn)?/span>x₁, x₂是方程f (x) -x = 0的根，即x₁, x₂是方程ax²+(b-1)x+c = 0的根，

所以

，

．

因?yàn)?/span>a x₂<1，所以

．