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第16計 擺渡開門 萍水相逢 ●計名釋義 有道數(shù)學(xué)題，求證π> 因為π>3，又3> 這里的第三者，如同一個渡船，它能把“無關(guān)”的兩岸經(jīng)過自己連接起來.這就是數(shù)學(xué)上的“過渡法”，它是一個“三者牽線，截迂為直”的策略，在不等式中具體表現(xiàn)為傳遞法.過渡法所用的渡船形式多樣，可以是參數(shù)，可以是圖形，當(dāng)然也可以是函數(shù)、方程、不等式等. ●典例示范 【例1】
已知曲線C ： 【分析】 一般解法為“軌跡轉(zhuǎn)移法”：（1）設(shè)P（x, y)是C1上的動點；（2）求出P（x, y)關(guān)于直線x-y+1=0的對稱點Q（x′, y′)， (3)將Q點坐標(biāo)代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C1的方程. 此法甚繁，考慮到這里的對稱軸直線的斜率為1，因此可以直接從中得到替換式. 【解答】 由x-y+1=0得 即得C1的方程得 【點評】 對稱軸x-y+1=0本為一條參照定位直線，現(xiàn)在拿來充當(dāng)替代式，成了名符其實第三者“擺渡”.
【例2】 長為2的線段AB在拋物線y=x2上滑動，求AB中點的軌跡方程. 【解答】 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)為拋物線y=x2上兩點，那么：
設(shè)AB中點為M(x,y)，那么: 有: ∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）［（x1+x2)2-4x1x2］ =（1+4x2）［4x2-4（2x2-y）］ 已知|AB|=2.
∴（1+4x2)（y-x2)=1所求點M的軌跡方程為：y=x2+ 【點評】 本解說明:當(dāng)直線與曲線相交,若已知弦的長度,而目的是求弦中點的軌跡,可以對其兩端的坐標(biāo)實施“設(shè)而不求”.
【例3】
橢圓 （1）求橢圓的方程； （2）若P、Q是橢圓上滿足|OP|2+|OQ|2= 【分析】 按常規(guī)，應(yīng)設(shè)直線的斜截式方程，并代入橢圓方程，用韋達(dá)定理依中點的條件先求直線的截距而后確定橢圓方程.這樣也算設(shè)而不求，可這種方法計算量仍然太大. 請欣賞如下解法： 【解】 （1）橢圓的右準(zhǔn)線為x=1，即 所求橢圓應(yīng)為： 設(shè)弦AB的兩端分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則:
∵kAB= 以上全代入②：1= 所求橢圓方程為：2x2+4y2=1. （2）由（1）知橢圓方程：2x2+4y2=1. 設(shè)P、Q的坐標(biāo)依次為（x1，y1），(x2，y2). 有： ∴|OP|2+|OQ|2= ③代入④：x ∴x ∵ 故|kOP·kOQ|= 【點評】 本解的優(yōu)點是： 1.為確定橢圓方程，須求兩個參數(shù)a與b，這里先由準(zhǔn)線的條件歸為只須求一個參數(shù)c； 2.無論求橢圓方程或證斜率之積的絕對值為定值，都需要利用弦AB或PQ的端點，這里只是抽象的設(shè)定而并不真的去求它，在解題過程中都自然地逐一消失，使“設(shè)而不求”的技術(shù)達(dá)到最佳效果. 【例4】 （05湖北卷21題）設(shè)A、B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （Ⅰ）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程; （Ⅱ）試判斷是否存在這樣的λ，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. 【分析】 （1）已知弦的中點求弦所在直線的方程，故（1）可以實施“設(shè)而不求”；（2）判斷“四點共圓”的最佳方法,是引入平面幾何的相應(yīng)知識.
∴3·12+32<λ，即λ>12，∴λ∈（12，+∞）. 設(shè)AB兩端點為A（x1，y1），B（x2，y2），則有：
（1）-（2）：3（x1-x2）（x1+x2） +（y1-y2）（y1+y2）=0 （3） ∵N(1，3)是線段AB的中點，∴x1+x2=2，y1+y2=6. 代入（3）： 例4題解圖 6（x1-x2）+6（y1-y2）=0，于是kAB= （2）解法1：CD為AB的垂直平分線，且kAB=-1，∴kCD=1，直線CD：y-3=1·（x-1），即x-y+2=0.直線AB的參數(shù)方程方程是 ∴代入橢圓方程得： 直線CD的參數(shù)方程方程是： 代入橢圓方程得： 設(shè)此方程之二根為tC ，tD ，則tC·tD= 由（4），（5）知|tA·tB|=|tC·tD|，也就是│AN│·│BN│=│CN│·│DN│，這就是說，存在λ>12，使得A、B、C、D四點總在同一個圓上. 【小結(jié)】 按理說,解數(shù)學(xué)題避免不了“求”,其最終目的（不論是計算題還是證明題）,都是要“求”出最后的結(jié)果的.這里說的“不求”,專指可以簡化的解題中間過程,用“設(shè)”去代替“求”. 從宏觀上說,“設(shè)而不求”是解析幾何解題的基本手段.“設(shè)而不求”的靈魂是通過科學(xué)的手段使運算量最大限度的減少.因此需要做到:（1）凡是不必直接計算就能更簡潔的解決問題的,都盡可能實施“設(shè)而不求”;（2）“設(shè)而不求”不可避免的要設(shè)參,消參.而設(shè)參的原則是宜少不宜多.（3）“設(shè)而不求”的思想還可以應(yīng)用到三角、立幾、代數(shù)等數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域中去,限于篇幅,這里不再多講.有心的讀者,不妨在解題中留心運用. ●對應(yīng)訓(xùn)練 1.長為2的線段AB在拋物線y=x2上滑動，求AB中點的軌跡方程. 2.求過圓x2+y2-2x=0和直線x+2y-3=0的交點，且和直線x+3y-4=0相切的圓的方程. 3.已知直線y=-x+1與橢圓 l：x-2y=0上.（1）求此橢圓的離心率；（2）若橢圓的右焦點關(guān)于直線l的對稱點在圓x2+y2=4 上，求此橢圓的方程. 4.已知
拋物線φ：y=(x-1)2， l交M于A、B， 交φ于C、D， 求 ●參考答案 1.無須設(shè)直線的點斜式解方程組.設(shè)A(x1，y1)，B (x2，y2)為拋物線y=x2上兩點，那么：
設(shè)AB中點為M(x，y)，那么: 有: ∴|AB| 2=（x1-x2）2+（y1-y2）2 =（1+4x2 )（x1-x2)2 =（1+4x2)［（x1+x2)2-4x1x2］ =（1+4x2)［4x2-4（2x2-y)］ 已知|AB|=2.
∴（1+4x2）（y-x2）=1 所求點M的軌跡方程為：y= 2.無須求直線與圓的交點.設(shè)所求圓的方程為：x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0. 即x2+y2+（λ-2）x+2λy-3λ=0 ① 此圓的圓心為D 半徑R= ∵直線x+3y-4=0與圓相切. ∴ 化簡得：λ2-4λ+4=0,∴λ=2. 代入①：x2+y2+4y-6=0 ② ②即為所求圓的方程. 3.無須先求直線與橢圓交點的坐標(biāo). 由 得AB中點為M ∵點M在直線x-2y=0上，∴a2=2b2. 即 a2=2(a2-c2)，∴a2=2c2, e= 容易求得F(c,0)關(guān)于直線l：x-2y=0的對稱點為F′ 代入x2+y2=4，得 c2 = 4，從而a2=2c2=8，b2=c2=4. 則所求橢圓方程為 4.無須先求函數(shù)的解析式. 設(shè)logax=t，則x= at，（t∈R).原函數(shù)式變形為:f (t)= ∵ 這里a≠0，無論a>1或0<a<1都有f ′(x)>0，故f (x)，從而原函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù).5.無須分別求直線與曲線
如圖，圓心M(-1，-1)到直線 x-ny=0的距離為： ∴|AB|
2=（2 由 設(shè)此方程之二根為xC ，xD，則
|CD|2=（xC - xD)2+(yC - yD)2= 于是：
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