朗蘭茲綱領(lǐng)
朗蘭茲綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)中一系列影響深遠(yuǎn)的構(gòu)想，聯(lián)系數(shù)論、代數(shù)幾何與約化群表示理論；綱領(lǐng)最初由羅伯特·朗蘭茲于1967年在一封給韋伊的信件中提出。Edward FrenkelEdward Frenkel教授的主要研究方向是數(shù)學(xué)與量子物理中的對(duì)稱。他現(xiàn)在在做的許多問(wèn)題都與朗蘭茲綱領(lǐng)有關(guān)。他現(xiàn)在是加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)教授。在今年的菲爾茲獎(jiǎng)座談會(huì)上，F(xiàn)renkel會(huì)主講朗蘭茲綱領(lǐng)的概況。他是向公眾普及數(shù)學(xué)、改善數(shù)學(xué)映象這一行動(dòng)的推崇者。以下他對(duì)Richard Cerezo關(guān)于朗蘭茲計(jì)劃的一些問(wèn)題的回答。
問(wèn)答實(shí)錄問(wèn)：你會(huì)把朗蘭茲綱領(lǐng)看作聯(lián)系數(shù)論與數(shù)學(xué)分析的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的發(fā)展嗎？答：是的，實(shí)際上它更多地描述的是數(shù)論的內(nèi)容。問(wèn)：你能夠詳細(xì)解釋一下嗎？答：羅伯特·朗蘭茲在1960年代創(chuàng)造朗蘭茲綱領(lǐng)的動(dòng)機(jī)，主要就是解決數(shù)論中的一些難題。問(wèn)：什么樣的難題？假如說(shuō)我們需要解方程y^2 =x^3 +6x+3 , 我們需要找解x,y , 這個(gè)解不是實(shí)或復(fù)的，而是有限域Z/pZ 中的元素，這里p是一個(gè)素?cái)?shù)。也就是說(shuō)，你在尋找在整數(shù)集合{0,1,...,p?1} 中的元素x,y ，當(dāng)你將它們帶入時(shí)，左邊與右邊只差p 的一個(gè)整數(shù)倍——我們稱這個(gè)方程在'模p '意義下成立。比如，令p=5 ,取x=1,y=2 ,左邊等于4 ,而右邊等于9 ,兩邊的差為5 .所以x=1,y=2 是在'模5 '意義下的解。在數(shù)論中還有很多類似的問(wèn)題。我們想知道的是，比如說(shuō)，對(duì)于任意的素?cái)?shù)p ,在模p 意義下有多少不同的解。這實(shí)際上是一個(gè)很難的問(wèn)題。朗蘭茲的深刻的洞察力發(fā)現(xiàn)，解的個(gè)數(shù)其實(shí)可以用另外一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域——調(diào)和分析來(lái)進(jìn)行認(rèn)識(shí)。問(wèn)：什么是調(diào)和分析？它是對(duì)于某些種類的函數(shù)的研究。比如說(shuō)，我們都知道的三角函數(shù)（變量為x ）,sinx,cosx .我們同樣考慮sin(nx),cos(nx) ，其中n 為整數(shù)。這個(gè)思想可以追溯到19世紀(jì)傅立葉的時(shí)候。傅立葉發(fā)現(xiàn)，任意有周期的函數(shù)實(shí)際上可以寫成這些基本函數(shù)的疊加。這是一個(gè)了不起的發(fā)現(xiàn)！相信我們有一個(gè)用函數(shù)表達(dá)的信號(hào)。將它寫成三角函數(shù)的疊加實(shí)際上是將信號(hào)分解成了“基本的諧波”。這就是調(diào)和分析所做的事情：找到一些基本諧波，如同sin(nx),cos(nx) ,但比這個(gè)要來(lái)的更廣泛。然后找到能把一般函數(shù)分解成這些諧波的方法。這是一個(gè)美妙的理論，注意到從這個(gè)設(shè)定來(lái)看，調(diào)和分析似乎和數(shù)論離得很遠(yuǎn)。但是奇跡發(fā)生了：朗蘭茲猜想到這兩個(gè)領(lǐng)域：數(shù)論以及調(diào)和分析是緊密聯(lián)系在一起的！更準(zhǔn)確的說(shuō)，他猜測(cè)數(shù)論中的問(wèn)題，如尋找模p 的方程解的個(gè)數(shù)可以用調(diào)和分析來(lái)解決。比如說(shuō)，存在一個(gè)調(diào)和函數(shù)，它“知道”任意p,某個(gè)方程在模p 意義下解的個(gè)數(shù)（或者是對(duì)于知道有限個(gè)p 的個(gè)數(shù)，但這只是一個(gè)技術(shù)上的問(wèn)題）這實(shí)在是太難以置信了，就像黑魔法一樣！這也是為什么人們對(duì)朗蘭茲綱領(lǐng)如此興奮：首先，它給了我們一個(gè)解決難以對(duì)付的問(wèn)題的想法。然后其次，是由于它給出了關(guān)于不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域深刻而基礎(chǔ)的聯(lián)系。所以我們想知道到底發(fā)生了什么？為什么會(huì)有這樣的聯(lián)系？我們并沒(méi)有完全理解。所以這些是朗蘭茲綱領(lǐng)的起源。但是人們又發(fā)現(xiàn)，同樣的事情可以用到不同的數(shù)學(xué)分支上，比如幾何，甚至是量子物理。我前面曾開(kāi)玩笑道，朗蘭茲綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)中的大統(tǒng)一理論。我說(shuō)這話的意思是，朗蘭茲綱領(lǐng)指出了一些普遍的現(xiàn)象，以及在不同領(lǐng)域見(jiàn)這些現(xiàn)象的關(guān)系。我相信這能夠幫助理解“數(shù)學(xué)究竟是什么”。問(wèn)：你能夠更深入地說(shuō)說(shuō)為什么朗蘭茲綱領(lǐng)是數(shù)學(xué)的大一統(tǒng)理論？朗蘭茲綱領(lǐng)是一個(gè)很廣闊的問(wèn)題，有許多專家工作于此。但正如我剛才所說(shuō)，朗蘭茲綱領(lǐng)的思想已經(jīng)滲透到許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中。所以有人鉆研數(shù)論，或調(diào)和分析，或幾何，或數(shù)學(xué)物理研究不同的對(duì)象，但是發(fā)現(xiàn)了相似的現(xiàn)象。對(duì)于我來(lái)說(shuō)，就是研究同樣的模式怎么在不同的領(lǐng)域中表現(xiàn)的，從而找到這些領(lǐng)域是怎么聯(lián)系起來(lái)的。這就像我們有一些來(lái)自不同語(yǔ)言的句子，我們知道這些句子說(shuō)的是一件事。我們把它放在一塊，一一對(duì)應(yīng)這些句子的每個(gè)單詞，最后我們能編出一本翻譯不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的詞典。用其他的話說(shuō)，我們不把朗蘭茲綱領(lǐng)看成數(shù)學(xué)的“領(lǐng)域”，而是看成“超領(lǐng)域”，因?yàn)樗鼨M貫整個(gè)數(shù)學(xué)世界。問(wèn)：是否有方法更通俗易懂地解釋幾何朗蘭茲綱領(lǐng)？我嘗試著給出一個(gè)讓人都明白的朗蘭茲綱領(lǐng)的解釋。這個(gè)解釋是基于綱領(lǐng)的原始想法的。當(dāng)人們提到幾何朗蘭茲綱領(lǐng)，他們認(rèn)為是幾何中一系列類似的想法。在幾何中，除了前面我提到的模p代數(shù)方程以外，們還有一些剛開(kāi)始看上去很不一樣的對(duì)象：所謂的“黎曼面”。最簡(jiǎn)單的是球，而然后我們有面包圈曲面（曲面有一個(gè)洞），然后又有丹麥酥皮餅（兩個(gè)洞），等等。為什么這些幾何物體與模p 的方程有關(guān)還需要另外復(fù)雜的解釋，我不會(huì)在這里提到。我們只說(shuō)數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道并已長(zhǎng)時(shí)間研究的事情，所以我們相信這個(gè)類比是對(duì)的。所以自然的問(wèn)題就是：另外一邊對(duì)應(yīng)的對(duì)象是什么？也就是n 個(gè)洞的黎曼曲面對(duì)應(yīng)于調(diào)和函數(shù)中什么？這個(gè)并不顯然，只在很后面，1980年代得知，是幾個(gè)偉大數(shù)學(xué)家的工作：Deligne(德利涅),Drinfeld(德林費(fèi)爾德),Laumon(洛蒙)，Beilinson等等。粗略地說(shuō)，調(diào)和函數(shù)里的對(duì)象被稱為“D-模”。D-模簡(jiǎn)要來(lái)說(shuō)，是表達(dá)偏微分方程系統(tǒng)的數(shù)學(xué)對(duì)象。所以現(xiàn)在朗蘭茲聯(lián)系數(shù)論與調(diào)和分析的想法變?yōu)榱诉B接黎曼面和D-模。這個(gè)聯(lián)系如同原來(lái)的朗蘭茲猜想一樣迷人。問(wèn)：在其他類似于菲爾茲獎(jiǎng)座談會(huì)的會(huì)議上，人們討論的中心內(nèi)容是基本引理嗎？你和你的合作者是否去試著證過(guò)這個(gè)結(jié)果？讓我先談?wù)劵疽?。在給出他綱領(lǐng)的時(shí)候，朗蘭茲給出了如果他的綱領(lǐng)成立，那么必須成立的數(shù)學(xué)式子。他把這個(gè)結(jié)果稱為“基本引理”。為什么他認(rèn)為這是引理，而非定理？我猜想他認(rèn)為這是一個(gè)挺簡(jiǎn)單的事情，人們可以直接一下子證明出來(lái)。但是，不巧的是，實(shí)際情況并不是他想象的這樣。許多數(shù)學(xué)家試圖證明該“引理”，無(wú)不以失敗告終，直到越南數(shù)學(xué)家吳寶珠給出了一個(gè)漂亮的解答。他的證明利用了全新的幾何想法（一些是先前由Goresky, Kottwitz, MacPherson以及Laumon引入的，一些是和吳寶珠本人的工作有關(guān)）當(dāng)然，人們知道基本引理是朗蘭茲計(jì)劃的核心內(nèi)容。人們工作很久，并且召開(kāi)了許多討論這個(gè)引理的會(huì)議。但是你必須得了解一些事情。基本引理是在原本的朗蘭茲綱領(lǐng)里的，更準(zhǔn)確地說(shuō)，它是調(diào)和分析里的理論。所以研究幾何朗蘭茲綱領(lǐng)的人，比如我，對(duì)此并沒(méi)有多少關(guān)注。但是吳寶珠證明的引人注目的一面是它完全是幾何的——于此同時(shí)，它使用了不少幾何朗蘭茲綱領(lǐng)的連接對(duì)象。所以吳寶珠的工作（除了證明了一個(gè)重要的未解決問(wèn)題外）是將不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家聯(lián)系到了一起。我們菲爾茲獎(jiǎng)座談會(huì)同樣證明了這點(diǎn)：我們有不同領(lǐng)域的專家來(lái)討論各種領(lǐng)域：數(shù)論，調(diào)和分析，幾何以及物理。這是吳寶珠所作的工作。這在我眼中很重要。問(wèn)：現(xiàn)在已經(jīng)有許多著名的數(shù)學(xué)家致力于朗蘭茲綱領(lǐng)，它已經(jīng)吸引了足夠的注意。你能給我們繼續(xù)在這個(gè)綱領(lǐng)上工作的理由嗎？我們獲取更多知識(shí)，那么我們更了解自己的無(wú)知。正如我所說(shuō)的，朗蘭茲綱領(lǐng)的美妙之處在于它給出了數(shù)學(xué)不同分支的神秘聯(lián)系。在我眼里，最大的問(wèn)題是，這些聯(lián)系為什么會(huì)出現(xiàn)，在它們背后的機(jī)制是什么。我們?nèi)匀徊恢?，但是我們?cè)跒榇斯ぷ?。比如說(shuō)我最近與朗蘭茲以及吳寶珠的工作，我們想給出所謂“Arthur-Selberg跡公式”的證明思路，用類似吳寶珠的方法以及幾何朗蘭茲綱領(lǐng)的思想。吳寶珠的工作使我們的想法更加成熟。我們現(xiàn)在更加了解拼圖的幾塊是如何拼接起來(lái)的，但是我們需要新的思想。我希望來(lái)到我們座談會(huì)的年輕人，能夠?qū)τ谶@個(gè)領(lǐng)域感興趣，他們將給出對(duì)于朗蘭茲綱領(lǐng)的一次新的革命。
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