勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂，中國是發(fā)現(xiàn)、研究和運用勾股定理最古老的國家之一。勾股定理為初等幾何學中的一個基本定理，我國古稱直角邊為“勾”與“股”，斜邊為“弦”或“徑”，因而將這條定理稱為“勾股定理'。勾股定理定義為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

勾股定理是余弦定理的一個特例，約有400種證明方法，是數(shù)學定理中證明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣。

1 發(fā)展簡史

勾股定理是中國古代天文觀測實踐中立竿測影的重大發(fā)現(xiàn)，在中國古代數(shù)學、天文歷法和工程運用極其廣泛，影響深遠。因此，中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家之一。

《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明。三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，又給出了另外一個證明。中國古代數(shù)學家稱直角三角形為勾股形，因中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦，因而更普遍地則稱為勾股定理?！吨荀滤憬?jīng)》中記錄商高（約公元前1120年）同周公的一段對話。書上記載：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有（通“又”）五，是謂積矩。所以又被稱為商高定理。

關于勾股定理運用記載，最早見于大禹治水：“陸行乘車，水行乘船，泥行乘橇，山行乘檋。左準繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山?！逼渲械囊?guī)和矩就是運用勾股定理的實用工具之一。

此外，《周髀》上還說：“故禹之所以治天下者，此數(shù)之所由生也”。意思是大禹除了把勾股定理應用于治水工程中，還把其中的原理延伸至國家建章立制的政治高度。

在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得斜至日。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯定理'。但沒有任何證據(jù)表明畢達哥拉斯證明了勾股定理。傳說中為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”。此說荒誕不經(jīng)，畢達哥拉斯派以素食主義而聞名。

1945年，人們在研究古巴比倫人留下的一塊數(shù)學泥板時，發(fā)現(xiàn)上面竟刻有15組能構成直角三角形三邊的數(shù)，其年代遠在商高之前。所以，古巴比倫成為最早研究勾股定理的文明古國之一。

除了中國，許多民族都發(fā)現(xiàn)了這個事實，而且巴比倫、埃及、中國、印度等的發(fā)現(xiàn)都有真憑實據(jù)，有案可查。希臘科學只是公元前近一二百年才有更深入的研究。埃及稱為埃及三角形，古埃及人用這樣的方法畫直角勾股定理，稱其為“幾何學的基石”，而且在高等數(shù)學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發(fā)現(xiàn)并且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

2 證明方法簡要介紹

勾股定理的證明方法十分豐富，有400多種。古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)，都愿意探討和研究它的證明。其中較為有名的有中國的“青朱出入圖”、古印度的“無字證明”、著名畫家達·芬奇的證法、趙爽弦圖、畢氏證法、“總統(tǒng)證法”等。

加菲爾德證法

圖示直角梯形是由2個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形拼成，因為三個直角三角形的面積等于直角梯形的面積，所以列出等式c2/2+2×ab/2=（a+b）×（b+a）/2，化簡為a2+b2=c2。

這種證明法由于應用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔。它在數(shù)學史上被傳為佳話。

畢達哥拉斯證法

圖示正方形是由1個邊長為a的正方形和1個邊長為b的正方形以及4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為c的正方形和4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是a+b)，所以可以列出等式ab+a2+b2+ab=ab/2×4+c2，化簡得a2+b2=c2。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經(jīng)失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

趙爽弦圖證法

第一種方法：邊長為c的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為c的直角三角形圍在外面形成的。因為邊長為c的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式4×(ab/2)+(b-a)2= c2，化簡得a2+b2=c2。

第二種方法：邊長為c的正方形可以看作是由4個直角邊分別為a、b，斜邊為c 的直角三角形拼接形成的（虛線表示），中間缺出一個邊長為(b-a)的正方形“小洞”。因為邊長為c的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式c2=(b-a)2+4×ab/2，化簡得a2+b2=c2。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現(xiàn)了中國古代數(shù)學家趙爽高超的證題思想和對數(shù)學的鉆研精神，是中華民族的驕傲。