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六、非線性物理學(xué)與復(fù)雜性研究 A、線性科學(xué)向非線性科學(xué)的轉(zhuǎn)變 線性是指量與量之間的正比關(guān)系；在直角坐標(biāo)系里，這是用一根直線表征的關(guān)系。近代自然科學(xué)正是從研究線性系統(tǒng)這種簡單對象開始的。由于人的認(rèn)識的發(fā)展總是從簡單事物開始的，所以在科學(xué)發(fā)展的早期，首先從線性關(guān)系來認(rèn)識自然事物，較多地研究了事物間的線性相互作用，這是很自然的。因而在經(jīng)典物理學(xué)中，首先考察的是沒有摩擦的理想擺，沒有粘滯性的理想流體，溫度梯度很小的熱流等；數(shù)學(xué)家們首先研究的是線性函數(shù)、線性方程等。理論家們在對大自然中的許多現(xiàn)象進(jìn)行探索時(shí)，總是力求在忽略非線性因素的前提下建立起線性模型，至少是力求對非線性模型做線性化處理，用線性模型近似或局部地代替非線性原型，或者借助于對線性過程的微小擾動(dòng)來討論非線性效應(yīng)。經(jīng)過長期的發(fā)展，在經(jīng)典科學(xué)中就鑄造出一套處理線性問題的行之有效的方法，例如傅立葉變換、拉普拉斯變換、傳遞函數(shù)、回歸技術(shù)等；就是設(shè)計(jì)物理實(shí)驗(yàn)，也主要是做那些可以做線性分析的實(shí)驗(yàn)。從這個(gè)特點(diǎn)看來，經(jīng)典科學(xué)實(shí)質(zhì)上是線性科學(xué)。線性科學(xué)在理論研究和實(shí)際應(yīng)用上都有十分光輝的進(jìn)展，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域，對線性系統(tǒng)的研究都取得了很大的成績。 線性科學(xué)的長期發(fā)展，也形成了一種扭曲的認(rèn)識或“科學(xué)思想”，認(rèn)為線性系統(tǒng)才是客觀世界中的常規(guī)現(xiàn)象和本質(zhì)特征，才有普遍規(guī)律，才能建立一般原理和普適方法；而非線性系統(tǒng)只是例外的病態(tài)現(xiàn)象和非本質(zhì)特征，沒有普遍的規(guī)律，只能作為對線性系統(tǒng)的擾動(dòng)或采取特殊的方法做個(gè)別處理。由此得出結(jié)論說，線性系統(tǒng)才是科學(xué)探索的基本對象，線性問題才存在理論體系；所以經(jīng)典科學(xué)的長期發(fā)展，都是封閉在線性現(xiàn)象的圈子里進(jìn)行的。線性與非線性物理現(xiàn)象有著質(zhì)的差異和不同的特征。從結(jié)構(gòu)上看，線性系統(tǒng)的基本特征是可疊加性或可還原性，部分之和等于整體，幾個(gè)因素對系統(tǒng)聯(lián)合作用的總效應(yīng)，等于各個(gè)因素單獨(dú)作用效應(yīng)的加和；因而描述線性系統(tǒng)的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解；分割、求和、取極限等數(shù)學(xué)操作，都是處理線性問題的有效方法；非線性則指整體不等于部分之和，疊加原理失效。從運(yùn)動(dòng)形式上看，線性現(xiàn)象一般表現(xiàn)為時(shí)空中的平滑運(yùn)動(dòng)，可以用性能良好的函數(shù)表示，是連續(xù)的，可微的。而非線性現(xiàn)象則表現(xiàn)為從規(guī)則運(yùn)動(dòng)向不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)化和躍變，帶有明顯的間斷性、突變性。從系統(tǒng)對擾動(dòng)和參量變化的響應(yīng)來看，線性系統(tǒng)的響應(yīng)是平緩光滑的，成比例變化；而非線性系統(tǒng)在一些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，參量的微小變化往往導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)形式質(zhì)的變化，出現(xiàn)與外界激勵(lì)有本質(zhì)區(qū)別的行為，發(fā)生空間規(guī)整性有序結(jié)構(gòu)的形成和維持。正是非線性作用，才形成了物質(zhì)世界的無限多樣性、豐富性、曲折性、奇異性、復(fù)雜性、多變性和演化性。 在科學(xué)還處在主要以簡單關(guān)系為研究對象的階段，線性方法曾經(jīng)是十分有效的。線性關(guān)系容易思考，容易解決，可以把它一塊塊地分割開進(jìn)行考察，然后再一塊塊地拼合起來。所以線性關(guān)系讓人喜愛。而非線性問題、非線性方程往往是桀驁不馴、個(gè)性很強(qiáng)的，很難找到普遍的解決方法，只能對具體問題做具體分析，針對個(gè)別問題的特點(diǎn)采取特殊的處理方法。所以歷史上雖然有過一些解非線性方程的巧妙方法，但與大量存在的非線性問題相比，只算是鳳毛麟角；甚至人們一遇到非線性系統(tǒng)或發(fā)現(xiàn)方程中的非線性項(xiàng)時(shí)，就想盡辦法回避，或加以舍棄，使之“線性化”。 流體動(dòng)力學(xué)中描述粘性不可壓縮流體動(dòng)量守恒的運(yùn)動(dòng)方程、即著名的“納維-斯托克斯方程”，把流體的速度、壓力、密度和粘滯性全部聯(lián)系起來，概括了流體運(yùn)動(dòng)的全部規(guī)律；只是由于它比歐拉方程多了一個(gè)二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因而是非線性的，除了在一些特殊條件下的情況外，很難求出方程的精確解。分析這個(gè)方程的性態(tài)，“仿佛是在迷宮里行走，而迷宮墻的隔板隨你每走一步而更換位置”。計(jì)算機(jī)之父馮·諾意曼（Neumann，Joha von 1903～1957）說：“這些方程的特性……在所有有關(guān)的方面同時(shí)變化，既改變它的次，又改變它的階。因此數(shù)學(xué)上的艱辛可想而知了。”① 所以，非線性系統(tǒng)長期以來被冷落在科研領(lǐng)域的視野以外。當(dāng)遇到非線性系統(tǒng)時(shí)，科學(xué)家們就代之以線性近似。甚至在教科書中，也充滿了線性分析成功的內(nèi)容，“非線性”一詞大都只在書末一帶而過地提一下。除了幾個(gè)可解的非線性范例之外，那里講的不過是如何把一些非線性方程約化成線性方程。這種訓(xùn)練的結(jié)果，把人們的思想禁錮在線性的陷阱里，致使到了20世紀(jì)40年代和50年代，許多科學(xué)家和工程師除此之外竟一無所知。一位著名的工程師甚至說過：“上帝不會(huì)不仁得使自然界的方程成為非線性的”。伊恩·斯圖爾特感嘆地說：“如果你斷定，只有線性方程才值得研究，那無異于自我禁錮。你的課本充滿了線性分析的成功，它的失敗埋藏得如此之深，以致連墳?zāi)苟伎床灰姡瑝災(zāi)沟拇嬖谝矝]人注意。如同18世紀(jì)篤信鐘表世界一樣，20世紀(jì)中葉則恪守線性世界?！雹僖炼鳌に苟鳡柼胤浅Ｔ溨C地揶揄說：“稱一般微分方程為‘非線性’方程，好比把動(dòng)物學(xué)叫做‘非象類動(dòng)物學(xué)’。但是你明白，我們生活在這樣一個(gè)世界里，多少世紀(jì)以來它以為現(xiàn)存的唯一動(dòng)物就是大象，它設(shè)想壁腳板上的洞是幼象鑿的，它把翱翔的雄鷹當(dāng)作耳朵變翼的呆寶②，把猛虎當(dāng)做身披花紋的短鼻子大象。它的分類學(xué)家們則施行矯正手術(shù)，使得博物館的動(dòng)物標(biāo)本清一色地由笨重的灰色象類動(dòng)物組成?！蔷€性’就是如此?！雹鄣?0世紀(jì)60年代以后，情況才有了改變。由于電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用和由此發(fā)展起來的“計(jì)算物理”和“實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)”的方法的利用，人們從研究可積系統(tǒng)的無窮多自由度的非線性偏微分方程中，在淺水波方程中發(fā)現(xiàn)了“孤子”，并得出了一套一些類型非線性方程的解法；從一些看起來不甚復(fù)雜的不可積系統(tǒng)的研究中，發(fā)現(xiàn)了確定性動(dòng)力系統(tǒng)中存在著對初值極為敏感的混沌運(yùn)動(dòng)。人們越來越明白地認(rèn)識到，“大自然無情地是非線性的?！痹诂F(xiàn)實(shí)世界中，能解的、有序的線性系統(tǒng)才是少見的例外，非線性才是大自然的普遍特性；線性系統(tǒng)其實(shí)只是對少數(shù)簡單非線性系統(tǒng)的一種理論近似，非線性才是世界的魂魄。恩里科·費(fèi)米（Fermi，Enrico 1901～1954）說：“圣經(jīng)中并沒有說過一切大自然的定律都可以用線性方式來表示”。④而且正是非線性才造成了現(xiàn)實(shí)世界的無限多樣性、曲折性、突變性和演化性。這樣，就逐漸形成了貫穿物理學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、生命科學(xué)、空間科學(xué)、氣象科學(xué)、環(huán)境科學(xué)等廣泛領(lǐng)域，揭示非線性系統(tǒng)的共性，探討復(fù)雜性現(xiàn)象的新的科學(xué)領(lǐng)域“非線性科學(xué)”。生態(tài)學(xué)和混沌學(xué)家羅伯特·梅（Robert，May）認(rèn)為，目前全世界標(biāo)準(zhǔn)的科學(xué)教育，向人們灌輸?shù)氖顷P(guān)于世界圖景的偏見和歪曲的印象。不管線性的數(shù)學(xué)獲得了多大的成功，都只能給學(xué)生一個(gè)關(guān)于實(shí)際大自然的普遍存在的非線性事實(shí)的失真形象?！叭绻襁@樣發(fā)展起來的數(shù)學(xué)直覺，會(huì)使學(xué)生即使看到離散非線性系統(tǒng)里最簡單的古怪行為也會(huì)手足失措”。所以他向一切有文化的人呼吁，不僅在研究工作中，而且在日常生活中，包括政治、經(jīng)濟(jì)生活中，“如果更多的人了解到這最簡單的非線性系統(tǒng)也未必有簡單的動(dòng)力性質(zhì)，會(huì)大有裨益?！雹偃绻茉缛障蛑袑W(xué)生們講一些非線性知識，那將使一切變得更好。 B、復(fù)雜世界中的規(guī)整性的發(fā)現(xiàn) 1．孤波和孤子的發(fā)現(xiàn) 水面受到激擾后會(huì)出現(xiàn)四散的水波，但波紋很快就會(huì)消失，不可能傳到很遠(yuǎn)的地方。但在1834年8月，英國科學(xué)家、造船工程師約翰·羅素（Russell，John Scott 1808～1882）卻觀察到一個(gè)奇怪的現(xiàn)象。他在勘察愛丁堡到格拉斯哥的運(yùn)河河道時(shí)，看到一只運(yùn)行的木船搖蕩的船頭擠出高約0.3米到0.5米、長約10米的一堆水來；當(dāng)船突然停下時(shí)，這堆水竟保持著它的形狀，以每小時(shí)大約13千米的速度往前傳播。10年后，在英國科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)第14屆會(huì)議上，他發(fā)表了一篇題為《論水波》①的論文，生動(dòng)地描述了這個(gè)現(xiàn)象： 1834年秋，我看到兩匹駿馬正沿運(yùn)河拉著一只船迅速前進(jìn)。突然，船停了下來，然而被船所推動(dòng)的一大團(tuán)水卻不停止。它們堆積在船頭周圍激烈地?cái)_動(dòng)著，隨后形成一個(gè)滾圓、光滑又輪廓分明的大水包，其高度約有1～1.5英尺，長約30英尺，以每小時(shí)大約8～9英里的速度，沿著水面向前滾動(dòng)。我騎在馬上一直跟隨著它，發(fā)現(xiàn)它的大小、形狀和速度變化很緩慢，直到1～2英里后，它才在蜿蜒的河道上消失。 羅素認(rèn)識到，這決不是普通的水波。因?yàn)槠胀ǖ乃ㄊ怯伤娴恼駝?dòng)形成的，水波的一半高于水面，一半低于水面，而且在擴(kuò)展一小段距離后即行消失；而他所看到的這個(gè)水團(tuán)，卻具有光滑規(guī)整的形狀，完全在水面上移動(dòng)，衰減得也很緩慢。他把這團(tuán)奇特的運(yùn)動(dòng)著的水堆稱為“孤立波”或“孤波”。羅素還仿照運(yùn)河的狀況建造了一個(gè)狹長的大水槽，模擬當(dāng)時(shí)的條件給水以適當(dāng)?shù)耐苿?dòng)，果然從實(shí)驗(yàn)上再現(xiàn)了在運(yùn)河上觀察到的孤波。他認(rèn)為這應(yīng)當(dāng)是流體力學(xué)方程的一個(gè)解。他批評數(shù)學(xué)家們未能從流體力學(xué)基本規(guī)律預(yù)言孤波的存在。他的這些觀點(diǎn)在科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)會(huì)議上報(bào)告后，未能說服他的同事們，爭論一直持續(xù)了幾十年。1895年，兩位年輕的荷蘭數(shù)學(xué)家科特維格（Korteweg，D.J.）和德弗里斯（devries，G.）在研究淺水中小振幅長波運(yùn)動(dòng)時(shí)，考慮到可把水簡化為彈性體，具有彈性特征之外，還注意到水具有非線性特征與色散作用，這些次要特性在一定條件下會(huì)形成相干結(jié)構(gòu)。他們由此導(dǎo)出了單向運(yùn)動(dòng)淺水波Kdv方程②，由方程得出的波的表面形狀與孤波的表面形狀十分相似，從而給出了一個(gè)類似于羅素孤波的解析解，孤波的存在才得到了公認(rèn)。此后這件事又被漸漸淡忘了。 20世紀(jì)60年代，電子計(jì)算機(jī)被廣泛應(yīng)用之后，孤波才被重新記起并被命名為“孤立子”或“孤子”。電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，使得科學(xué)家們敢于去探索過去用解析方法難以處理的復(fù)雜問題。首先進(jìn)行這方面探索的是物理學(xué)家費(fèi)米和他的兩個(gè)同事。他們于1952年開始利用當(dāng)時(shí)美國用于設(shè)計(jì)氫彈的Maniac計(jì)算機(jī)，對由64個(gè)諧振子組成、振子間存在微弱非線性相互作用的系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算，試圖證明統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的“能量均分定理”。但1955年完成的研究結(jié)果表明，開始時(shí)集中在某一振子上的能量，隨著時(shí)間的進(jìn)展并不均勻地分配到其它振子上，而是每經(jīng)過一段“復(fù)歸時(shí)間”后，能量又回到原來的振子上，這就是奇異的“復(fù)歸”現(xiàn)象。這個(gè)現(xiàn)象引起了一批科學(xué)家的興趣。 當(dāng)時(shí)由于空間物理學(xué)和受控?zé)岷思夹g(shù)研究的發(fā)展，促使了人們對等離子體物理特性的研究。這涉及到等離子體中波的問題，推進(jìn)了求解非線性方程孤波解的研究。丕林、斯克姆等人經(jīng)過一系列近似處理，發(fā)現(xiàn)費(fèi)米等人的諧振子系統(tǒng)可以看做是Kdv方程的極限情況，可以用這個(gè)方程的孤波解來解釋初始能量的“復(fù)歸”現(xiàn)象。1965年，美國科學(xué)家扎布斯基（Zabusky，N.）和克魯斯卡爾（Kruskal，M.D.）等在電子計(jì)算機(jī)做數(shù)值試驗(yàn)后意外地發(fā)現(xiàn)，以不同速度運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)孤波在相互碰撞后，仍然保持各自原有的能量、動(dòng)量的集中形態(tài)，其波形和速度具有極大的穩(wěn)定性，就像彈性粒子的碰撞過程一樣，所以完全可以把孤波當(dāng)作剛性粒子看待。于是他們將這種具有粒子性的孤波，即非線性方程的孤波解稱為“孤子”①。1965年以后，人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，除水波外，其它一些物質(zhì)中也會(huì)出現(xiàn)孤波。在固體物理、等離子體物理、光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，都發(fā)現(xiàn)了孤子。并且發(fā)現(xiàn)，除Kdv方程外，其它一些非線性方程，如正弦-戈登方程、非線性薛定諤方程等，也有孤子解。1967年，美國的一個(gè)研究小組GGKM在解Kdv方程時(shí)，首次發(fā)明了著名的解析方法——“逆散射變換”，并得出了Kdv方程N(yùn)個(gè)孤波相互作用的精確解①。這個(gè)方法經(jīng)拉克斯（Lax，P.D.）②和AKNS等人推廣到一大批非線性演化方程中去，完善為一個(gè)較普遍的解析方法，大大推進(jìn)了孤子的研究。③。上述這些研究成果，已經(jīng)開始推向?qū)嶋H應(yīng)用。例如在光纖通訊中，由于色散變形，傳輸信息的低強(qiáng)度光脈沖，不僅傳輸?shù)男畔⒘啃?，質(zhì)量差，而且每經(jīng)一段傳輸距離后，都要做波形整復(fù)。70年代從理論上發(fā)現(xiàn)的“光學(xué)孤子”，由于在傳輸中具有波形不損失，不改變速度等特性，為消除前述缺點(diǎn)找到了有效的方法。物理學(xué)中的一些基本方程，如規(guī)范場論中的自對偶楊-米爾斯方程，引力場理論中的軸對稱穩(wěn)態(tài)愛因斯坦方程，以及一系列在流體力學(xué)、非線性光學(xué)、等離子物體中有重要應(yīng)用的方程，都已應(yīng)用孤子理論中的方法得到了許多有趣的精確解。另外，由于孤子同時(shí)具有波和粒子兩重性質(zhì)，引起了理論物理學(xué)家們的極大關(guān)注。他們嘗試用它來描述基本粒子。但在應(yīng)用中，上述的孤子定義有所擴(kuò)展。但到目前為止，還有很多理論上的困難未能解決。 2．復(fù)雜系統(tǒng)相干結(jié)構(gòu)的研究 自然界存在著大量復(fù)雜系統(tǒng)。如由大量原子結(jié)合成的固體，奔騰的河流，湍動(dòng)的大氣，大小不一的渦旋等。這些系統(tǒng)除了具有變化不定的運(yùn)動(dòng)形態(tài)外，還具有空間上局域、時(shí)間上長壽的規(guī)整結(jié)構(gòu)。這就是由于系統(tǒng)中存在的色散與非線性兩種作用相互平衡而形成的“相干結(jié)構(gòu)”。孤子就是一種特殊的一維相干結(jié)構(gòu)。相干結(jié)構(gòu)存在于用連續(xù)介質(zhì)或流體力學(xué)方程描述的具有無窮多自由度的復(fù)雜系統(tǒng)中。相干結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與非線性系統(tǒng)具有無窮多守恒律密切相關(guān)。很多具有孤子解的非線性演化方程，就有無窮多個(gè)守恒律，因而也有無窮多個(gè)守恒的物理量。對相干結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制和相互作用的探索，是非線性科學(xué)研究的前沿。 除孤子之外，各種尺度的渦旋是自然界一大類相干結(jié)構(gòu)。大者如直徑達(dá)四萬千米的木星大紅斑，小者如晶體中只有幾納米大小的電荷密度波，都是渦旋現(xiàn)象。通過計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn)，對木星大紅斑的形成機(jī)理的研究，已取得了重大進(jìn)展。天文學(xué)上觀察到木星的大紅斑，是在伽利略用他的望遠(yuǎn)鏡觀察木星之后不久的事情。羅伯特·胡克（Hooke，Robert1635～1703）也觀察過它。這個(gè)大紅斑還被畫在梵蒂岡的畫廊里。它是一個(gè)巨大的、渦旋狀的卵圓形，就像一個(gè)不運(yùn)動(dòng)、不消退的巨形風(fēng)暴一直處在木星上。長期以來，它引起了人們的各種猜測。19世紀(jì)末期，天文學(xué)家們認(rèn)為木星紅斑是由火山熔巖形成的一個(gè)卵圓形的熔巖湖；也許是一顆小星體撞擊木星簿殼造成的一個(gè)大洞。一位德國科學(xué)家認(rèn)為紅斑是木星表面正在分化出的一個(gè)衛(wèi)星的雛型。后來人們發(fā)現(xiàn)，紅斑在木星表面上有些浮動(dòng)，所以在1959年有人提出，紅斑是一個(gè)漂浮在木星外大氣中的一個(gè)實(shí)體，就如一枚蛋浮在水中一樣。有人認(rèn)為這可能是一個(gè)很大的氫或氦的氣泡。但是，由于紅斑的漂移距離很小，所以60年代科學(xué)家們又提出它是巨大火山口上形成的氣柱的頂端。1978年，宇宙飛船旅行者二號在太空中拍到的照片顯示，木星并不是一個(gè)固態(tài)的星球，而是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的流體，表面是沸騰的湍流，有東西向的水平帶。木星大紅斑是一個(gè)巨大旋流中的颶風(fēng)系統(tǒng)，旋動(dòng)在流體木星的上空。它把木星上空的云層推向外邊，嵌入在東西風(fēng)帶之內(nèi)，形成了這行星上一條水平的帶狀構(gòu)造。照片顯示，紅斑中存在著大量小尺度的、非組織性的迅速流動(dòng)，在一天或不到一天的時(shí)間內(nèi)，渦流出現(xiàn)又消失，但大紅斑依然存在，而且長期不變。這真是一個(gè)宇宙奇跡。80年代初期，美國年青的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家菲利浦·馬爾卡斯（Marcus，Philip），根據(jù)致密的氫或氦的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立了一組模擬木星氣候的流體力學(xué)方程組，并編制了計(jì)算機(jī)程序，試圖揭示大紅斑的秘密。木星的自轉(zhuǎn)很快，大約每10小時(shí)自轉(zhuǎn)一周。這種自旋使其上的一切物體都受到科里奧利力的作用，這個(gè)力正比于運(yùn)動(dòng)物體的速率，垂直于物體運(yùn)動(dòng)的方向，正是這個(gè)力驅(qū)動(dòng)了紅斑。馬爾卡斯用藍(lán)色表示順時(shí)針方向流體的轉(zhuǎn)動(dòng)，用紅色表示逆時(shí)針方向流體的轉(zhuǎn)動(dòng)，中間夾雜有黃色，用計(jì)算機(jī)繪制美麗的色彩圖象。意想不到的事情發(fā)生了，不論從哪一種構(gòu)型開始，由不同顏色間雜組成的棋盤式的花樣，在旋轉(zhuǎn)之后藍(lán)色塊都要分解成碎片，紅色塊則越聚越攏，最后匯成一個(gè)其中包含著大量小尺度混沌流的卵圓形大紅斑，在四周混亂的湍流海洋背景中穩(wěn)定而相容地存在著。這就是大尺度的紅斑！馬爾卡斯得出結(jié)論說：大紅斑是一個(gè)非線性作用的產(chǎn)物；一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)既可以造成湍流，同時(shí)也可以相互協(xié)調(diào)形成一種空間上局域、時(shí)間上長壽、相對穩(wěn)定的相干結(jié)構(gòu)。 C、確定性系統(tǒng)中的混沌現(xiàn)象的研究 1．古代“渾沌”思想和牛頓的決定論 不論中國還是西方，“混沌”（chaos，又稱“渾沌”）概念古已有之。面對浩瀚無垠的宇宙和繁紛多變的自然現(xiàn)象，古人只能憑借直覺對它進(jìn)行模糊、整體的想象和猜測，逐步產(chǎn)生了混沌的概念。中國古代所說的“混沌”，一般是指天地合一、陰陽未分、氤氳渺蒙、萬物相混的那種整體狀態(tài)。它既含有錯(cuò)綜復(fù)雜、混亂無序、模糊不清的意思，又有內(nèi)在地蘊(yùn)涵著同一和差異、規(guī)則和雜亂、通過演化從“元?dú)馕捶帧钡臓顟B(tài)產(chǎn)生出五光十色、多姿多彩的現(xiàn)實(shí)世界的豐富內(nèi)涵?！独献印分兴f“有物混成，先天地生”，其實(shí)就是混沌。漢代王充的《論衡·談天篇》說：“元?dú)馕捶郑瑴嗐鐬橐弧?；漢代《易緯·乾鑿度》云：“混沌者，言萬物相混成而未相離”；又云：“太易者，未見氣也；太初者，氣之始也；太始者，形之始也；太素者，質(zhì)之始也；氣、形、質(zhì)具而未相離，謂之混沌”。這些論述都強(qiáng)調(diào)了混沌是宇宙初始物質(zhì)未被分化的一種無序的元?dú)饨y(tǒng)一體。戰(zhàn)國時(shí)期的偉大詩人屈原在他的《天問》中精彩地描繪了這種混沌狀態(tài)： 曰遂古之初，誰傳道之？上下未形，何由考之？冥昭瞢暗，誰能極之？馮翼惟象，何以識之？明明暗暗，惟時(shí)何功？陰陽三合，何本何化？…… 這也把宇宙的初始狀態(tài)描繪為天地未形、渾渾沌沌、動(dòng)蕩不定、明暗不分、陰陽滲合的形象。 但是，在古人看來，渾沌并不簡單地等同于混亂和無序，它是萬物混成尚未分離的狀態(tài)，它是統(tǒng)一的整體，它本身就包含著差異和多樣性，是秩序和無秩序、和諧與不和諧的統(tǒng)一體。渾沌先于宇宙，渾沌孕育著宇宙，渾沌產(chǎn)生出宇宙。按照《易緯·乾鑿度》的說法，這個(gè)演化過程就是 太易→太初→太始→太素→混沌→天地…… “天地”才是現(xiàn)實(shí)的宇宙。 在古埃及和巴比倫的傳說里，都提出了世界起源于混沌的思想。古希臘稱“原始混沌”為“卡俄斯”，說卡俄斯生于萬物之先，它生下大地（“該亞”）、地獄（“塔爾塔洛斯”）和愛情（“厄洛斯”），大地又生出天（“烏利諾斯”）和海（“蓬托斯”）。這也是說世界萬物都是從混沌中分離出來的。在《圣經(jīng)》“創(chuàng)世紀(jì)”中說，起初神創(chuàng)造了天地，大地是空虛混沌，神靈運(yùn)行于黑暗的深淵中，神說“要有光”，于是就有了光；神把光暗分開，于是就有了晨昏晝夜。這就是“創(chuàng)世”的第一天。這里借“神”的外衣所編織的動(dòng)人神話，都反映了古人關(guān)于世界起源的共同思想：世界產(chǎn)生之前的自然狀態(tài)是混沌，萬物借分離之力從混沌中演化出來。但是，即使古人，也力圖揭開浩闊蒼茫的宇宙的奧秘，尋找變幻莫測的大自然背后的秩序，從混沌中發(fā)現(xiàn)規(guī)則性。世界各地的古文明中，都產(chǎn)生了計(jì)算季節(jié)的精奧歷法，都出現(xiàn)了預(yù)測日月食的天文律條。 偉大的文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)和哥白尼日心說的提出，激發(fā)起人們探索大自然的勇氣和信心，近代自然科學(xué)誕生了。1687年，偉大的牛頓（Newton，Isaac 1642～1727）出版了他的巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，以機(jī)械運(yùn)動(dòng)的三個(gè)基本定律和萬有引力定律為公理基礎(chǔ)，確立了一個(gè)揭示“萬物的至理”、結(jié)構(gòu)“世界的體系”的嚴(yán)整的經(jīng)典力學(xué)理論體系。這個(gè)理論簡單而精確，普適而優(yōu)美，對地面物體的各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)和太陽系內(nèi)各個(gè)天體的長短周期運(yùn)動(dòng)做出了統(tǒng)一的解釋，包括落體運(yùn)動(dòng)，彈道曲線，波的傳播，光的折射，海洋潮汐，流體渦旋，行星軌道，月球歲差，彗星的行蹤，雙星的光變等等。牛頓的理論獲得了意想不到的成功，世界一下子變得秩序井然。 以牛頓力學(xué)為旗幟的科學(xué)革命，導(dǎo)致了把宇宙看作是一個(gè)巨大的精密機(jī)械，或者說就像一架精確運(yùn)行的“鐘表機(jī)構(gòu)”。因?yàn)榕ｎD力學(xué)的核心是牛頓第二定律，它是一個(gè)二級微分方程；這個(gè)方程的解，即物體的運(yùn)動(dòng)軌道，完全由兩個(gè)初始條件唯一地決定。就是說，只要知道了物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及作用于這個(gè)物體的外部的力，就可以準(zhǔn)確地確定這個(gè)物體以往和未來的全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。 這樣，牛頓力學(xué)必然導(dǎo)致一個(gè)機(jī)械決定論的結(jié)構(gòu)，即認(rèn)為所有的自然現(xiàn)象和自然過程，都只能按照機(jī)械的必然性發(fā)生和進(jìn)行。根據(jù)物體間的相互作用和力學(xué)的基本定律，從運(yùn)動(dòng)的初始條件出發(fā)，就可以巨細(xì)不遺地得出宇宙中一切物體的全部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。這是一個(gè)數(shù)量的世界，一個(gè)可以利用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算的世界。 對牛頓理論的最輝煌的證實(shí)，是由18世紀(jì)天體力學(xué)做出的。1705年，牛頓的摯友哈雷（Halley，Edmund1656～1742）根據(jù)他對1682年一顆彗星軌道的觀測數(shù)據(jù)，運(yùn)用牛頓的天體運(yùn)動(dòng)理論進(jìn)行了計(jì)算，預(yù)言它將在1758年末再次出現(xiàn)。1743年，法國科學(xué)家克雷洛（Clairault，A.C.1713～1765）同樣用牛頓的理論，計(jì)算了遙遠(yuǎn)的木星和土星的攝動(dòng)作用，指出這顆彗星的出現(xiàn)要稍作推遲，它經(jīng)過近日點(diǎn)的時(shí)間在1759年4月。果然，這顆彗星在1759年的春天又映輝于夜空。這就是著名的哈雷彗星。這是人類歷史上第一次在54年前就準(zhǔn)確預(yù)言了的一次天體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，極大地增強(qiáng)了對以牛頓理論為代表的確定性因果規(guī)律的信心。 對這個(gè)經(jīng)典確定論的信心，充分體現(xiàn)在1812年法國科學(xué)家拉普拉斯（Laplace，P.S.M.1749～1827）關(guān)于一個(gè)高超“智者”的設(shè)想上。他寫道：① 假設(shè)有一位智者，它能知道在任一給定時(shí)刻作用于自然界的所有的力以及構(gòu)成世界的一切物體的位置。假定這位智者的智慧高超到有能力對所有這些數(shù)據(jù)做出分析處理，那么它就能將宇宙中最大的天體和最小的原子的運(yùn)動(dòng)包容到一個(gè)公式中。對于這個(gè)智者來說，再?zèng)]有什么事物是不確定的了，過去和未來都?xì)v歷在目地呈現(xiàn)在它的面前。 拉普拉斯的設(shè)想實(shí)際上是提出了一個(gè)令人敬畏的命題：整個(gè)宇宙中物質(zhì)的每一個(gè)粒子在任一時(shí)刻的位置和速度，完全決定了它未來的演化；宇宙沿著唯一一條預(yù)定的軌道演變，混沌是不存在的；隨機(jī)性只是人類智力不敷使用時(shí)的搪塞之語。 2．龐加萊關(guān)于三體問題的開創(chuàng)性研究 科學(xué)認(rèn)識的步伐，走出一條“之”字形路線：“混沌”讓位于“規(guī)則”——這是牛頓所建立的偉大功績；而“規(guī)則”又產(chǎn)生出新形式的“混沌”。邁出這一步伐的第一人，是偉大的法國科學(xué)家龐加萊（1854～1912）。 龐加萊被譽(yù)為是“一只腳站在19世紀(jì)，一只腳站在20世紀(jì)”的跨世紀(jì)天才學(xué)者，“是最后一位傳統(tǒng)科學(xué)家，也是第一位現(xiàn)代科學(xué)家”。這位蓄胡須、戴眼鏡、和藹可親、不修邊幅、帶著心不在焉的糊涂外表的沉思者，卻是一位科學(xué)上的集大成者，在數(shù)學(xué)、天體力學(xué)、物理學(xué)和科學(xué)哲學(xué)等領(lǐng)域，都做出了杰出的貢獻(xiàn)。他通曉他的時(shí)代的全部數(shù)學(xué)，在每一個(gè)重要分支里都做出了富有創(chuàng)造性的工作。這使他成為世界數(shù)學(xué)界無可爭辯的領(lǐng)袖。正是這位科學(xué)巨擘，在確定論思想濃重籠罩著全部科學(xué)界的時(shí)候，卻把智慧的眼光投向早被驅(qū)趕出科學(xué)園地的混沌深淵。他是在研究天體力學(xué)，特別是“三體問題”時(shí)發(fā)現(xiàn)混沌的。1887年，瑞典國王奧斯卡二世（1829～1907）懸賞2500克朗，征求天文學(xué)中一個(gè)重要問題的答案。這個(gè)問題就是“太陽系是穩(wěn)定的嗎？”其實(shí)這是牛頓本人早就提出來的一個(gè)老問題了。牛頓以當(dāng)時(shí)已觀測到的木星和土星運(yùn)動(dòng)的不規(guī)則性以及彗星以極扁的軌道橫穿所有行星的公轉(zhuǎn)軌道所可能帶來的干擾作用為依據(jù)，提出了太陽系的運(yùn)動(dòng)可能會(huì)陷入紊亂的擔(dān)心。此后不少科學(xué)家都對這個(gè)問題進(jìn)行過探索。直到1784年，拉普拉斯根據(jù)萬有引力理論證明，太陽系是一個(gè)完善的自行調(diào)節(jié)的機(jī)械機(jī)構(gòu)，行星之間的相互影響和彗星等外來天體所造成的攝動(dòng)，最終都會(huì)自行得到改正。所以，太陽系作為一個(gè)整體是穩(wěn)定的，它將無限期地繼續(xù)做著目前的周期運(yùn)動(dòng)。但是看來，拉普拉斯的答案并沒有消除科學(xué)界的這個(gè)疑慮，沒有阻止100年后瑞典國王的懸賞征文。 龐加萊自然向奧斯卡國王的難題發(fā)起了進(jìn)攻。但是這個(gè)問題是太困難了，它涉及到了怎樣研究復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性這個(gè)深刻的問題。連龐加萊這樣的天才學(xué)者，也未能徹底攻克它。但是，他卻為了做這一工作而創(chuàng)立了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——拓?fù)鋵W(xué)，并大大推進(jìn)了人們對這個(gè)歷史難題的認(rèn)識。他因此獲得了這項(xiàng)獎(jiǎng)金。 在太陽系中，包含著十多個(gè)比月球大的巨大天體，這是造成解題困難的根本原因。如果太陽系僅僅由太陽和地球組成，這就是一個(gè)“二體系統(tǒng)”，問題則很簡單，牛頓早已完全解決了它們的運(yùn)動(dòng)問題。它們的運(yùn)動(dòng)是簡單而規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)，太陽和地球?qū)@一個(gè)公共質(zhì)心、以一年為周期永遠(yuǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)下去；或者稍做簡化地說，地球?qū)⒁蕴枮橐粋€(gè)焦點(diǎn)，周而復(fù)始地沿橢圓軌道繞轉(zhuǎn)。然而，當(dāng)增加一個(gè)相當(dāng)大的天體后，這就成了一個(gè)“三體系統(tǒng)”，它們的運(yùn)動(dòng)問題就大大復(fù)雜化了，要徹底解決這個(gè)問題，幾乎是不可能的。對短時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，可以用數(shù)值計(jì)算的方法來確定；但是由于根據(jù)牛頓力學(xué)所列出的方程組不能解析地求解，所以系統(tǒng)長時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是無法確定的。 為了減少解決“三體問題”的難度，龐加萊著眼于美國數(shù)學(xué)家希爾（Hill，George William 1838～1914）提出的一個(gè)極為簡化的三體系統(tǒng)，即“希爾約化模型”。三體中有一個(gè)物體的質(zhì)量非常小，它對其它兩個(gè)天體不產(chǎn)生引力作用，就像由海王星、冥王星和一粒星際塵埃組成的一個(gè)宇宙體系一樣。這兩顆行星就像一個(gè)“二體系統(tǒng)”一樣繞著它們的公共質(zhì)心做周期運(yùn)動(dòng)；但這顆塵埃卻受到兩顆行星萬有引力的作用，在兩顆行星共同形成的旋轉(zhuǎn)著的引力場中做復(fù)雜的軌道運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)不可能是周期的，也不可能是簡單的，看上去簡直是亂糟糟一團(tuán)（圖2）。 龐加萊把他的截面方法應(yīng)用于“希爾約化模型”的研究，以觀察塵埃粒子的運(yùn)動(dòng)。龐加萊震驚了，他發(fā)現(xiàn)塵粒的運(yùn)動(dòng)如此復(fù)雜而且違反直覺。它的軌線多次穿過截面所形成的交點(diǎn)竟連綴成無窮多交點(diǎn)的“柵欄”（圖4，現(xiàn)稱為“同宿柵欄”）。他寫道： 當(dāng)人們試圖描畫由這兩條曲線和它們的無窮次相交（每一次相交都對應(yīng)于一個(gè)雙漸近解）構(gòu)成的圖形時(shí)，這些相交形成一種格子、絲網(wǎng)或無限密集的網(wǎng)柵結(jié)構(gòu)；這兩條曲線從不會(huì)自相交叉，但為了無窮多次穿過絲網(wǎng)的網(wǎng)節(jié)，它們必須以一種很復(fù)雜的方式折疊回自身之上。這一圖形的復(fù)雜性令人震驚，我甚至不想把它畫出來。沒有什么能給我們一個(gè)三體問題復(fù)雜性的更好的概念了①。 從截面上一點(diǎn)出發(fā)的系統(tǒng)，經(jīng)過一個(gè)過程后，當(dāng)它再穿過截面時(shí)，卻在另一點(diǎn)交于龐加萊截面，簡直無法預(yù)言它下一次將從哪一點(diǎn)穿過截面；實(shí)際上系統(tǒng)是以無規(guī)的點(diǎn)的序列頻頻穿過龐加萊截面的。這就是混沌，龐加萊在“三體問題”中發(fā)現(xiàn)了混沌！這一發(fā)現(xiàn)表明，即使在“三體系統(tǒng)”，甚至是極為簡化的“希爾約化模型”中，牛頓力學(xué)的確定性原則也受到了挑戰(zhàn)，動(dòng)力系統(tǒng)可能出現(xiàn)極其驚人的復(fù)雜行為。并不像人們原來認(rèn)為的那樣，動(dòng)力系統(tǒng)從確定性的條件出發(fā)都可以得出確定的、可預(yù)見的結(jié)果；確定性動(dòng)力學(xué)方程的某些解，出現(xiàn)了不可預(yù)見性，即走向混沌。 其實(shí)，在龐加萊動(dòng)手解決奧斯卡國王的難題的同一年，即1887年，數(shù)學(xué)家布倫斯（Bruns，H.）就已證明，三體問題的9個(gè)自由度18個(gè)二階微分方程，只有10個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，即3個(gè)動(dòng)量積分，3個(gè)角動(dòng)量積分，3個(gè)關(guān)于質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的積分和1個(gè)能量積分。1890年，龐加萊將布倫斯的結(jié)論推廣到有攝動(dòng)參數(shù)的情況；1892年在他的三卷本《天體力學(xué)新方法》的第一卷第四章中，他對這個(gè)定理做出了一般表述：在通常的保守問題中，經(jīng)典力學(xué)正則方程除了滿足能量積分外，不滿足其它任何解析、一致的積分。龐加萊的一般性結(jié)論，實(shí)質(zhì)上是指出，可積系統(tǒng)是極少的；許多行為很規(guī)則的系統(tǒng)，當(dāng)受到擾動(dòng)后，可能出現(xiàn)不連續(xù)性，其參數(shù)或初始條件的微小變化，就可能引起復(fù)雜的、甚或是性質(zhì)上的變化。 龐加萊的工作提出了經(jīng)典力學(xué)的確定性原則的適用限度的重大問題，留下了極富啟發(fā)性的論斷和猜想。不過，混沌問題是太復(fù)雜了，龐加萊的時(shí)代還不具備揭示和描述混沌現(xiàn)象的足夠的知識儲(chǔ)備和數(shù)學(xué)工具。雖然憑著他超人的幾何直覺對混沌的復(fù)雜性有所洞察，但是他并不真的是“不想”畫出他所發(fā)現(xiàn)的“同宿柵欄”，而是“無法”把它畫出來。這是只有用電子計(jì)算機(jī)技術(shù)才能處理的復(fù)雜幾何圖象。龐加萊的思想是太超前于他的時(shí)代了，所以他的發(fā)現(xiàn)在半個(gè)多世紀(jì)里并未受到科學(xué)界的重視；牛頓力學(xué)確定性的帷幕，仍然厚厚地遮蔽著混沌廣闊富饒的研究領(lǐng)域。 3．伯克霍夫的工作與KAM定理 美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫（Birkh off，George 1884～1944）是20世紀(jì)初少數(shù)幾個(gè)認(rèn)識到龐加萊動(dòng)力系統(tǒng)研究工作的重要性的人物之一，他繼承和發(fā)展了龐加萊的工作。 伯克霍夫把龐加萊截面方法用于探索哈密頓系統(tǒng)的一般行為。他發(fā)現(xiàn)微分方程的性質(zhì)取決于正則級數(shù)的收斂性。如果正則級數(shù)是收斂的，則微分方程的解位于N維不變環(huán)面上。但實(shí)際上級數(shù)的收斂、發(fā)散與否取決于振幅的大小。當(dāng)考慮非線性作用時(shí)，橢圓不動(dòng)點(diǎn)周圍的不變環(huán)面有些遭到破壞，有些繼續(xù)存在但有點(diǎn)變形。 1932年，伯克霍夫證明，對應(yīng)于不變環(huán)面的消失，存在不穩(wěn)定區(qū)域，它可以被一條扭曲映射下的不變曲線所包攏，而區(qū)域內(nèi)并無環(huán)繞原點(diǎn)的不變曲線。他實(shí)際上已經(jīng)證明，任意接近外邊界的點(diǎn)，在映射作用下可以任意接近內(nèi)邊界，反之亦然。在研究不穩(wěn)定區(qū)的結(jié)構(gòu)時(shí)，伯克霍夫讓一個(gè)收縮性的扭曲映射作用于兩條不變曲線之間的不穩(wěn)定區(qū)域，結(jié)果不穩(wěn)定區(qū)域被映射到一個(gè)更小的子區(qū)域中；映射的迭代最終把原區(qū)域變成了一個(gè)面積為零、結(jié)構(gòu)極其復(fù)雜的極限集合，位于原區(qū)域中的點(diǎn)的軌跡都收斂到這個(gè)集合中去了。 伯克霍夫?qū)嶋H上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了“混沌行為”和現(xiàn)在所說的“奇怪吸引子”的實(shí)例，他當(dāng)時(shí)稱之為“奇特曲線”。更值得提出的是，他已經(jīng)意識到這種行為是動(dòng)力系統(tǒng)的通有行為。除伯克霍夫等極少數(shù)人之外，幾乎沒有人沿著龐加萊的道路前進(jìn)。直到20世紀(jì)60年代以后，對動(dòng)力系統(tǒng)的研究才有了長足的進(jìn)展。 1960年前后，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫果洛夫（Kolmogorov，A.N.）、阿諾德（Arnold，V.I.）和莫塞爾（Moser，J.）提出并證明了以他們的姓氏的字頭命名的KAM定理。這個(gè)定理的基本思想是1954年柯爾莫果洛夫在阿姆斯特丹舉行的國際數(shù)學(xué)會(huì)議上宣讀的《在具有小改變量的哈密頓函數(shù)中條件周期運(yùn)動(dòng)的保持性》短文中提出的。后來他的學(xué)生阿諾德做出了嚴(yán)格的證明，莫塞爾又推廣了這些結(jié)果。 按照分析力學(xué)方法，N個(gè)自由度系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)是H=H（p1，p2……pN；q1，q2……qN），系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由哈密頓正則方程 確定。如果能夠找到一系列正則變換，從廣義動(dòng)量p1，p2……pN和廣義坐標(biāo)q1，q2……qN變到另一套作用-角度變量J1，J2……JN和θ1，θ2……θN，使得利用新變量表示的哈密頓函數(shù)只依賴于前一半變量J1，J2……JN，而與θ1，θ2……θN無關(guān)，則這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)就是完全可解的，即為一可積系統(tǒng)。因?yàn)檫@意味著這個(gè)系統(tǒng)的行為可化簡，歸約為N維環(huán)面上的條件周期運(yùn)動(dòng)。相反，如果找不到一種變換，使得哈密頓方程只包含作用變量，則系統(tǒng)是不可積的。實(shí)際上，對于多數(shù)保守系統(tǒng)，是無法找到這種正則變換的。 KAM定理是關(guān)于近可積系統(tǒng)的一個(gè)重要的、一般性結(jié)論，有十分重要的意義。假定系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)分為兩部分
大量的計(jì)算機(jī)數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明，破壞KAM定理的任何一個(gè)條件，都會(huì)促使迷走軌線增多，使運(yùn)動(dòng)的不規(guī)則性和隨機(jī)性增大，最終導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)然，這運(yùn)動(dòng)所遵循的仍然是決定性的牛頓力學(xué)方程式。所以，KAM定理以一個(gè)限制性原理的形式，從反面泄露了有關(guān)牛頓力學(xué)面目的真實(shí)信息。它暴露出，確定性的動(dòng)力系統(tǒng)，只要精確地從同一點(diǎn)出發(fā)，其運(yùn)動(dòng)就是一條確定的軌道；但是只要初始條件有無論多么微小的變化，其后的運(yùn)動(dòng)就會(huì)變得無序和混亂，就如同擲骰子一樣，是隨機(jī)和不可預(yù)測的。這就是牛頓力學(xué)的內(nèi)稟隨機(jī)性。 4．洛侖茲關(guān)于氣象預(yù)報(bào)的研究 混沌研究上的一個(gè)重大突破，是在天氣預(yù)報(bào)問題的探索中取得的。 1922年，英國物理學(xué)家和心理學(xué)家理查孫（Richardson，LewisFry 1881～1953）發(fā)表了一篇題為《用數(shù)值方法進(jìn)行天氣預(yù)報(bào)》的文章。在文章的末尾，他提出了一個(gè)異想天開的幻想：在一個(gè)大建筑內(nèi)，集聚一大批長于計(jì)算的工作者，在統(tǒng)一指揮下相互協(xié)調(diào)地對影響天氣變化的各種數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。他估計(jì)，為了使天氣預(yù)報(bào)和實(shí)際的天氣變化達(dá)到同步，大約需要64000個(gè)熟練的計(jì)算者。他設(shè)想，在遙遠(yuǎn)的將來，有朝一日或許有可能發(fā)展出比天氣變化還要快的計(jì)算手段，從而使天氣預(yù)報(bào)夢想成真。真是先知之見，不到30年，電子計(jì)算機(jī)就出現(xiàn)了，并且成功地用于天氣預(yù)報(bào)。在牛頓力學(xué)確定論思想的影響下，當(dāng)時(shí)科學(xué)家們對天氣預(yù)報(bào)普遍持有這樣樂觀的看法：氣象系統(tǒng)雖然復(fù)雜異常，但仍然是遵循牛頓定律的確定性過程。在有了電子計(jì)算機(jī)這種強(qiáng)有力的工具之后，只要充分利用遍布全球的氣象站、氣象船、探空氣球和氣象衛(wèi)星，把觀測的氣象數(shù)據(jù)（氣壓、溫度、濕度、風(fēng)力等）都及時(shí)準(zhǔn)確地收集起來，根據(jù)大氣的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行計(jì)算，天氣變化是可以做出精確預(yù)報(bào)的。既然天文學(xué)家能夠根據(jù)牛頓定律，用鉛筆和計(jì)算尺計(jì)算出了太陽系的未來，預(yù)見了哈雷彗星的出沒以及海王星和冥王星的存在，勾劃出了人造衛(wèi)星和洲際導(dǎo)彈的準(zhǔn)確軌跡，那么為什么對于風(fēng)和云就做不到呢？只要有一臺(tái)功能高超的計(jì)算機(jī)來充任拉普拉斯設(shè)想的“智者”，天氣的變化就會(huì)在人們精確的預(yù)言中。計(jì)算機(jī)之父約翰·馮·諾意曼就認(rèn)為氣象模擬是計(jì)算機(jī)的理想的用武之地。他甚至認(rèn)為，天氣狀況不僅可以預(yù)報(bào)，而且是可以人工控制和改變的。美國氣象學(xué)家、麻省理工學(xué)院的洛侖茲（Lorenz，Edward）最初也接受了這種觀點(diǎn)。1960年前后，他開始用計(jì)算機(jī)模擬天氣變化。 洛侖茲有良好的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，他本想成為一個(gè)數(shù)學(xué)家，只是由于第二次世界大戰(zhàn)的爆發(fā)，他成了空軍氣象預(yù)報(bào)員，使他成了一位氣象學(xué)家。比起龐加萊來，洛侖茲的條件是太優(yōu)越了。他擁有一臺(tái)“皇家馬可比”計(jì)算機(jī)，它是用真空管組成的，雖然運(yùn)算速度還不算快，但在當(dāng)時(shí)已經(jīng)是很了不起的了。洛侖茲把氣候問題簡化又簡化，提煉出影響氣候變化的少而又少的一些主要因素；然后運(yùn)用牛頓的運(yùn)動(dòng)定律，列出了12個(gè)方程。這些方程分別表示著溫度與壓力、壓力與風(fēng)速之間的關(guān)系等等。他相信，運(yùn)動(dòng)定律為數(shù)學(xué)確定性架起了橋梁，12個(gè)聯(lián)立方程可以用數(shù)值計(jì)算方法對氣象的變化做出模擬。開始時(shí)，洛侖茲讓機(jī)器每分鐘在打印機(jī)上打出一串?dāng)?shù)字，表示出一天的氣象，包括氣壓的升降，風(fēng)向的變化，氣溫的起伏等。洛侖茲把這些數(shù)據(jù)與他心目中的預(yù)測相對比，感覺到某種熟悉的東西一次一次地重復(fù)出現(xiàn)。氣溫上升又下降，風(fēng)向向北又向南，氣壓升高又降低；如果一條曲線由高向低變化而中間沒有隆起的部分，隨后就會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)隆起部分。但是他又發(fā)現(xiàn)，這種重復(fù)決不是精確的，一次與一次絕不完全吻合。這個(gè)結(jié)果已經(jīng)開始向洛侖茲透露著某種奧秘了。 1961年冬季的一天，洛侖茲用他的計(jì)算機(jī)算出了一長段數(shù)據(jù)，并得出了一個(gè)天氣變化的系列。為了對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行核對，又為了節(jié)省點(diǎn)時(shí)間，他把前一次計(jì)算的一半處得到的數(shù)據(jù)作為新的初始值輸入計(jì)算機(jī)。然后他出去喝了杯咖啡。一個(gè)小時(shí)后當(dāng)他又回到計(jì)算機(jī)旁的時(shí)候，一個(gè)意想不到的事情使他目瞪口呆了，新一輪計(jì)算數(shù)據(jù)與上一輪的數(shù)據(jù)相差如此之大，僅僅表示幾個(gè)月的兩組氣候數(shù)據(jù)逐漸分道揚(yáng)鑣，最后竟變得毫無相近之處，簡直就是兩種類型的氣候了。開始時(shí)洛侖茲曾經(jīng)想到可能是他的計(jì)算機(jī)出了故障，但很快他就悟出了真相：機(jī)器沒有毛病，問題出在他輸入的數(shù)字中。他的計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)器里存有6位小數(shù)，0.506127。他為了在打印時(shí)省些地方只打出了3位0.506。洛侖茲原本認(rèn)為舍棄這只有千分之一大小的后幾位數(shù)無關(guān)緊要；但結(jié)果卻表明，小小的誤差卻帶來了巨大的“災(zāi)難”。 為了仔細(xì)看一下初始狀態(tài)原本十分相同的氣候流程，如何越來相差越大，洛侖茲把兩次輸出的變化曲線打印在兩張透明片上，然后把它們重疊在一起（圖5）。一下子就清楚地看出來，開始時(shí)的兩個(gè)隆峰還很好地相重疊，但到第三個(gè)和第四個(gè)隆峰時(shí)，就完全亂套了。這個(gè)結(jié)果從傳統(tǒng)觀點(diǎn)看來是不可理解的。 因?yàn)榘凑战?jīng)典決定性原則，初始數(shù)據(jù)中的小小差異只能導(dǎo)致結(jié)果的微小變化；一陣微風(fēng)不會(huì)造成大范圍的氣象變化。但是洛侖茲是從事天氣預(yù)報(bào)的，他對長期天氣預(yù)報(bào)的失敗是有深切感受的。這個(gè)離奇古怪的計(jì)算結(jié)果與他的經(jīng)驗(yàn)和直覺是完全相符的。所以他深信他的這些方程組和計(jì)算結(jié)果揭露了氣象變化的真實(shí)性質(zhì)。他終于做出斷言：長期天氣預(yù)報(bào)是根本不可能的！他甚至有些慶幸地說：“當(dāng)然，我們實(shí)在也不曾做準(zhǔn)過氣象的長期預(yù)報(bào)，而現(xiàn)在好了，我們找到了開脫！”“對于普通人來說，看到我們可以在幾個(gè)月前就很準(zhǔn)地預(yù)報(bào)了潮汐，便會(huì)問：為什么對大氣就不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)呢？確實(shí)，大氣雖然是一個(gè)與潮汐不同的系統(tǒng)，但支配它們的定律的復(fù)雜程度卻是差不多的。但我認(rèn)為，任何表現(xiàn)出非周期性態(tài)的物理系統(tǒng)，都是不可預(yù)測的?！雹偈聦?shí)正是這樣，即使在今天，世界上最好的天氣預(yù)報(bào)也只能一天可靠，超過兩三天，就只是猜測。 洛侖茲是個(gè)穿著氣象學(xué)家外衣的數(shù)學(xué)家，他很快看出了氣候變化不能精確重演與長期天氣預(yù)報(bào)的不可能二者之間存在著一種必然的聯(lián)系。用數(shù)學(xué)語言來說，就是“非周期性”與“不可預(yù)見性”之間的聯(lián)系。氣象系統(tǒng)是不斷重復(fù)但又從未真正重復(fù)的，這叫做“非周期系統(tǒng)”。如果氣候的變化是嚴(yán)格的周期性的，即某一時(shí)刻各個(gè)地方的壓力、溫度、濕度、每一片云、每一股風(fēng)都和此前某一時(shí)刻的情況完全一樣，那么這一時(shí)刻以后的天氣變化也將和此前那一時(shí)刻以后的天氣變化完全相同，于是天氣就會(huì)循環(huán)往復(fù)地永遠(yuǎn)按照這個(gè)變化順序反復(fù)重現(xiàn)，精確的天氣預(yù)報(bào)也就成了平淡無奇的事情了。 基于這種認(rèn)識，洛侖茲就把氣候問題丟在一邊，專心致力于在更簡單的系統(tǒng)中去尋找產(chǎn)生復(fù)雜行為的模式。他抓住了影響氣候變化的重要過程，即大氣的對流。受熱的氣體或液體會(huì)上升，這種運(yùn)動(dòng)就是對流。烈日烘烤著大地，使地面附近的空氣受熱而上升；升到高空的空氣放熱變冷后，又會(huì)從側(cè)面下降。雷雨云就是通過空氣的對流形成的。如果對流是平穩(wěn)的，氣流就以恒定的方式漸漸上升；如果對流是不平穩(wěn)的，大氣的運(yùn)動(dòng)就復(fù)雜化了，出現(xiàn)某種非周期性態(tài)。這與天氣變化有某種類似。于是，洛侖茲就從表征著流體運(yùn)動(dòng)過程的納維-斯托克斯方程組出發(fā)，經(jīng)過無量綱化處理并做傅立葉展開，取頭一、二項(xiàng)，得到傅立葉系數(shù)滿足的一組常微分方程。與大氣的實(shí)際對流運(yùn)動(dòng)相比，這組方程是大為簡化了，它只是抽象地刻劃了大氣真實(shí)運(yùn)動(dòng)的基本特點(diǎn)，既考慮了流動(dòng)的速度，又考慮了熱的傳輸，與真實(shí)的大氣運(yùn)動(dòng)是大體類似的。他建立的三個(gè)方程是dx/dt=10(y-x) dy/dt=28x- y-xz dz/dt=(8/3)z+xy x、y、z是三個(gè)主要變量，t是時(shí)間，d/dt是對時(shí)間的變化率；常數(shù)28對應(yīng)于不平穩(wěn)對流剛開始后系統(tǒng)的狀態(tài)。這就是1963年洛侖茲發(fā)表在《氣象科學(xué)雜志》20卷第2期上的題為《確定性非周期流》中所列出的方程組。由于其中出現(xiàn)了xz、xy這些項(xiàng)，因而是非線性的，這意味著它們表示的關(guān)系不是簡單的比例關(guān)系。一般地說，非線性方程組是不可解的，洛侖茲的方程組也是不能用解析方法求解的，唯一可靠的方法就是用數(shù)值方法計(jì)算解。用初始時(shí)刻x、y、z的一組數(shù)值，計(jì)算出下一個(gè)時(shí)刻它們的數(shù)值，如此不斷地進(jìn)行下去，直到得出某一組“最后”的數(shù)值。這個(gè)方法叫做“迭代”，即反復(fù)做同樣方法的計(jì)算。用計(jì)算機(jī)進(jìn)行這種“迭代”運(yùn)算是很容易的。洛侖茲把x、y、z作為坐標(biāo)畫出了一個(gè)坐標(biāo)空間，描繪了系統(tǒng)行為的相軌道，他吃驚地發(fā)現(xiàn)，畫出的圖顯示出奇妙而無窮的復(fù)雜性（圖6）。這是三維空間里的雙重繞圖，就像是有兩翼翅膀的一只蝴蝶；它意味著一種新的序，軌線被限制在某個(gè)邊界之內(nèi)，決不會(huì)越出這個(gè)邊界；但軌線決不與自身相交，在兩翼上轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去地環(huán)繞著。這表示系統(tǒng)的性態(tài)永遠(yuǎn)不會(huì)重復(fù)，是非周期性的，從這一點(diǎn)來說，它又純粹是無序的。 正如這篇論文的標(biāo)題所表示的，從確定性的方程和確定的初始狀態(tài)（x、y、z的初始值）出發(fā)，經(jīng)過多次迭代后，卻得出了非周期性態(tài)的結(jié)果。這就是混沌！一切有關(guān)混沌的豐富內(nèi)容，都包含在這幅奇妙的畫圖中了。 現(xiàn)在就可以說明什么是現(xiàn)代科學(xué)意義上的“混沌”概念了。1986年在倫敦召開的一個(gè)關(guān)于混沌問題的國際會(huì)議上，提出了下述的定義：“數(shù)學(xué)上指在確定性系統(tǒng)中出現(xiàn)的隨機(jī)性態(tài)”。傳統(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為，確定性系統(tǒng)的性態(tài)受精確的規(guī)則支配，其行為是確定的，可以預(yù)言的；隨機(jī)系統(tǒng)的性態(tài)是不規(guī)則的，由偶然性支配，“隨機(jī)”就是“無規(guī)”。這樣看來，“混沌”就是“完全由定律支配的無定律性態(tài)”，這真是一個(gè)大自然的“悖論”。 5．“蝴蝶效應(yīng)”和“斯梅爾馬蹄” 無規(guī)性的源泉在于初始條件的選擇。一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的行為或運(yùn)動(dòng)軌道決定于兩個(gè)因素。一個(gè)是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)演化所遵從的規(guī)律，如牛頓定律；一個(gè)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)，即初始條件。經(jīng)典力學(xué)指出，一個(gè)確定性系統(tǒng)在給定了運(yùn)動(dòng)方程后，它的軌道就唯一地取決于初始條件，一組初始值只有一條軌道，這就是系統(tǒng)行為對初值的依賴性。 但是，任何測量都是有誤差的，所以任何時(shí)候都不可能絕對精確地測定初始值。實(shí)驗(yàn)上給出的初值都只能是近似的。這個(gè)誤差對系統(tǒng)的行為會(huì)不會(huì)有嚴(yán)重影響呢？經(jīng)典力學(xué)斷言，系統(tǒng)的行為或運(yùn)動(dòng)軌道對初值的依賴是不敏感的，知道了一個(gè)系統(tǒng)近似的初始條件，系統(tǒng)的行為就能夠近似地計(jì)算出來。這就是說，從兩組相接近的初值描繪出的兩條軌道，會(huì)始終相互接近地在相空間里偕游并行，永遠(yuǎn)不會(huì)分道揚(yáng)鑣，泛泛的小影響不會(huì)積累起來形成一種大的效應(yīng)。 混沌研究卻粉碎了傳統(tǒng)科學(xué)中這種對近似性和運(yùn)動(dòng)的收斂性的信仰。處在混沌狀態(tài)的系統(tǒng)，或者更一般地說對于一個(gè)非線性系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)軌道將敏感地依賴于初始條件。洛侖茲已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，從兩組極相鄰近的初始值出發(fā)的兩條軌道，開始時(shí)似乎沒有明顯的偏離，但經(jīng)過足夠長的時(shí)間后，就會(huì)呈現(xiàn)出顯著的差異來（圖5）。這就是說，初值的微小差異，在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì)逐漸被放大，終會(huì)導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)軌道的巨大偏差，以至于這種偏差要多大就有多大。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，一種變化過程可能有一個(gè)臨界點(diǎn)，在這一點(diǎn)上，一個(gè)微小的擾動(dòng)可能被放大成一個(gè)重大的變化。而在混沌中，這種點(diǎn)無處不在，確定性系統(tǒng)初值的微小差異導(dǎo)致了系統(tǒng)整體的混沌后果。 小的誤差竟能帶來巨大的災(zāi)難性后果，這一點(diǎn)早在1908年就被目光敏銳的龐加萊洞察到了。他在他的名著《科學(xué)與方法》中寫道： 我們覺察不到的極其輕微的原因決定著我們不能不看到的顯著結(jié)果，于是我們說這個(gè)結(jié)果是由于偶然性。如果我們可以正確地了解自然定律以及宇宙在初始時(shí)刻的狀態(tài)，那么我們就能夠正確地預(yù)言這個(gè)宇宙在后繼時(shí)刻的狀態(tài)。不過，即使自然定律對我們已無秘密可言，我們也只能近似地知道初始狀態(tài)。如果情況容許我們以同樣的近似度預(yù)見后繼的狀態(tài)，這就是我們所要求的一切，那我們便說該現(xiàn)象被預(yù)言到了，它受規(guī)律支配。但是，情況并非總是如此；可以發(fā)生這樣的情況：初始條件的微小差別在最后的現(xiàn)象中產(chǎn)生了極大的差別；前者的微小誤差促成了后者的巨大誤差。預(yù)言變得不可能了，我們有的是偶然發(fā)生的現(xiàn)象①。這一段幾乎是百年前的話，不正是我們近幾十年才揭開的混沌來源之謎嗎？ 洛侖茲從他關(guān)于長期天氣預(yù)報(bào)的研究中悟出的正是這個(gè)道理。對于任何小塊地區(qū)氣候變化的誤測，都會(huì)導(dǎo)致全球天氣預(yù)報(bào)的迅速失真。不論氣象觀測站的網(wǎng)點(diǎn)如何密集，都不可能覆蓋整個(gè)地球和從地面到高空的每一高度。在一尺之遙的空間范圍內(nèi)的一點(diǎn)氣象漲落，都可能迅速波及到一尺之外、十尺之外、百尺之外的空間，小誤差通過一系列湍流式的鏈鎖反應(yīng)，集結(jié)起來而成十倍、百倍、千倍地膨脹擴(kuò)大，終于使天氣預(yù)報(bào)變成一派胡言，在跨洋隔洲的地區(qū)形成山雨欲來風(fēng)滿樓的景象。洛侖茲非常形象地比喻說：巴西亞馬孫河叢林里一只蝴蝶扇動(dòng)了幾下翅膀，三個(gè)月后在美國的得克薩斯州引起了一場龍卷風(fēng)。人們把洛侖茲的比喻戲稱為“蝴蝶效應(yīng)”。這個(gè)看法當(dāng)時(shí)并不為氣象學(xué)家們所接受。據(jù)說洛侖茲把“蝴蝶效應(yīng)”說給他的一個(gè)朋友以說明長期天氣預(yù)報(bào)不可能時(shí)，他的朋友回答說“預(yù)報(bào)不會(huì)成為問題”，“現(xiàn)在是要搞氣象控制”。洛侖茲卻不這樣看，他認(rèn)為，人工改變氣候當(dāng)然是可能的；但是當(dāng)你這樣做時(shí)，你就無法預(yù)測它會(huì)產(chǎn)生什么后果。簡單的確定性系統(tǒng)如何會(huì)導(dǎo)致長期行為對初值的敏感依賴性呢？理解這一點(diǎn)的關(guān)鍵是要理解混沌的幾何特性，即由系統(tǒng)內(nèi)在的非線性相互作用在系統(tǒng)演化過程中所造成的“伸縮”與“折疊”變換。美國拓?fù)鋵W(xué)家斯梅爾（Smale，Stephen 1930～）對此做出了重要貢獻(xiàn)。 斯梅爾是一個(gè)杰出的拓?fù)鋵W(xué)家，本來在多維拓?fù)鋵W(xué)的一些最奇特的問題上已經(jīng)卓有成就。1958年，他開始對動(dòng)力系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行深入研究，并發(fā)表了一篇過于樂觀的論文。他在這篇論文里提出了一個(gè)錯(cuò)誤的猜想。他用極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言論證說，一切動(dòng)力系統(tǒng)最終都將進(jìn)入一個(gè)并不十分奇異的行為；或者說，典型的動(dòng)力學(xué)行為是定態(tài)的或周期的。雖然，一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)離奇古怪的性態(tài)，但斯梅爾認(rèn)為這種性態(tài)不會(huì)是穩(wěn)定的。后來斯梅爾曾回憶說：“我的過分樂觀引導(dǎo)我在那篇論文里認(rèn)為，幾乎所有常微分方程系統(tǒng)都是這樣一些（結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的）系統(tǒng)！”①他說如果他多少了解些龐加萊、伯克霍夫等人的文獻(xiàn)，他就不會(huì)有那種愚蠢的思想。 1959年圣誕節(jié)后，斯梅爾一家正在巴西首都里約熱內(nèi)盧暫住，他接到了他的朋友萊文松（Levinson，N.）的一封信，指出他的猜想是錯(cuò)誤的，并告訴他自己關(guān)于受迫范德坡方程的研究已經(jīng)提供了一個(gè)反例。早在本世紀(jì)20年代，德國物理學(xué)家范德坡（Van der Pol，B.）就已開始研究非線性電路的弛豫振蕩問題，并得出了以他的名字命名的范德坡方程和受迫范德坡方程。1927年，范德坡又和范德馬克（Van der Mark，J.）發(fā)現(xiàn)了著名的“分頻”現(xiàn)象。萊文松用這個(gè)反例說明，一個(gè)系統(tǒng)既有混沌又有穩(wěn)定性，混沌與穩(wěn)定性共存；系統(tǒng)的這種奇特性質(zhì)并不為小的擾動(dòng)所破壞。 當(dāng)斯梅爾仔細(xì)研究了萊文松的文章，最后確信萊文松是對的時(shí)，他就把自己的猜想換成了另一個(gè)問題：典型的動(dòng)力行為是什么？斯梅爾多年來是在拓?fù)鋵W(xué)中進(jìn)行探索的，他利用相空間對范德坡振子的全程可能性進(jìn)行探索。他注意的并不只是單條的軌線，而是全空間的性態(tài)；他的直覺由這系統(tǒng)的物理本質(zhì)躍進(jìn)到一種新型的幾何本質(zhì)。他思考的是形狀在相空間中的拓?fù)渥儞Q，例如拉伸或壓縮變換。這些變換有明確的物理意義。如系統(tǒng)中的耗散，由于摩擦而喪失能量，意味著系統(tǒng)在相空間中的形狀將會(huì)收縮，甚至可能最終完全靜止下來收縮到一點(diǎn)。為了反映范德坡振子的全部復(fù)雜運(yùn)動(dòng)性態(tài)，他想到相空間必須經(jīng)歷一種新的變換組合。這使他從觀察振子的總體行為提出了一種幾何模型——“斯梅爾馬蹄”。 斯梅爾馬蹄的道理很簡單。取一個(gè)正方形，把它拉伸為瘦長的矩形，再把它對折彎疊成馬蹄形（圖7）。然后想象把這馬蹄嵌入一個(gè)新的矩形中，再重復(fù)相同的變換：擠壓、折曲、拉伸…… 這實(shí)際上就像廚師揉面團(tuán)的操作過程：首先是伸縮變換，使面團(tuán)在一個(gè)方向搟平壓薄，同時(shí)在另一個(gè)方向上伸長；然后是折疊變換，將拉長的兩塊面對折疊置。這種操作反復(fù)進(jìn)行下去?？梢栽O(shè)想，開始時(shí)先在面團(tuán)上擦一層紅顏色，那么在廚師揉面過程中，紅色層將被拉長、變薄、交疊起來。經(jīng)過多次反復(fù)操作后，原來相鄰近的兩個(gè)紅色粒子會(huì)越來越遠(yuǎn)地分離開去，原來不相鄰近的兩個(gè)紅色粒子卻可能越來越靠近了。 動(dòng)力系統(tǒng)正是通過這兩種變換而形成渾沌軌道幾何圖象的復(fù)雜性的。伸縮變換使相鄰狀態(tài)不斷分離而造成軌道發(fā)散。但僅有伸縮變換還不足以擾亂相空間造成復(fù)雜性，還必須通過折疊變換。折疊是一種最強(qiáng)烈的非線性作用。伸縮和折疊的混合并不斷反復(fù)，才可能產(chǎn)生動(dòng)力系統(tǒng)相軌道的分離、匯合，產(chǎn)生無可預(yù)見的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。在混沌區(qū)內(nèi)，相空間中的伸縮與折疊變換以不同的方式永不停息又永不重復(fù)地進(jìn)行，從而造成了相軌道永不自交又永不相交的穿插盤繞、分離匯聚，完全“忘掉了”初始狀態(tài)的一切信息，“丟棄了”未來與過去之間的一切聯(lián)系，呈現(xiàn)出混沌運(yùn)動(dòng)。這就是系統(tǒng)長期行為對初值的敏感依賴性的源由。 本來，斯梅爾企圖只用拉伸與擠壓去解釋一切動(dòng)力系統(tǒng)的行為，而不用會(huì)大大損害系統(tǒng)穩(wěn)定性的折疊變換。但是折疊是必要的，因?yàn)檎郫B使動(dòng)力系統(tǒng)的行為有動(dòng)力性態(tài)上的根本變化，是導(dǎo)致混沌的一種重要作用。斯梅爾馬蹄給數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家提供了一個(gè)對動(dòng)力系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能性的直觀理解的幾何圖象。 6．“周期倍化分叉”的發(fā)現(xiàn) 在動(dòng)力系統(tǒng)演化過程中的某些關(guān)節(jié)點(diǎn)上，系統(tǒng)的定態(tài)行為可能發(fā)生性質(zhì)的改變，原來的穩(wěn)定定態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定定態(tài)，同時(shí)出現(xiàn)新的更多的定態(tài)，這種現(xiàn)象叫作“分叉”（bifurcation）。分叉是由運(yùn)動(dòng)方程中參數(shù)的變化引起的，所以往往要用“參數(shù)空間”來描繪分叉現(xiàn)象。隨著參數(shù)的變化，分叉可以一次接一次地相繼出現(xiàn)，而這種分叉序列又往往是出現(xiàn)混沌的先兆，最終會(huì)導(dǎo)致混沌。 生物群體數(shù)量（“蟲口”）變化的研究以及涉及到的一類典型一維映射的分叉現(xiàn)象的研究，在20世紀(jì)70年代混沌學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展中曾經(jīng)起到過特殊的作用。 澳大利亞昆蟲學(xué)家尼科爾森（Nicholson，A.J.）曾經(jīng)在一個(gè)大瓶子里用有限的蛋白質(zhì)食物喂養(yǎng)了一瓶子綠頭蒼蠅，研究受到空間和食物限制的蒼蠅群體數(shù)目（“蠅口”）的變化。他觀察到有時(shí)綠頭蒼蠅可繁殖到將近一萬只；過些時(shí)候又會(huì)降至幾百只。蠅口繁殖過快超過容器的空間限制后數(shù)目就急劇減少，而活動(dòng)空間的擴(kuò)大又使蠅口快速增長；蠅口決不會(huì)單調(diào)增大或單調(diào)減少，呈現(xiàn)一種周期性的漲落。尼科爾森發(fā)現(xiàn)，這個(gè)循環(huán)周期大約是38天。但每個(gè)周期內(nèi)蠅口數(shù)卻可能出現(xiàn)兩個(gè)峰值，而且到約450天后，蠅口的變化（振蕩）變得極不規(guī)則。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，蠅口數(shù)的變化包括了周期性、擬周期性和混沌。 看來，生物群體應(yīng)被看做是一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)，是受著某種動(dòng)力驅(qū)使的。在食物受限制的地域單種生物在起起落落地繁殖著；幾種生物共存的區(qū)域，各種生物在生存競爭中此長彼消；在捕食者與被食者之間，存在著雙向抑制作用；在宿主群體內(nèi)部，流行病在傳播。……這一切因素，都對生物群體起到約束作用，把群體限制在更合理的數(shù)目上。 生態(tài)學(xué)家們一直試圖為生物群體增減尋找一個(gè)數(shù)學(xué)模型。一個(gè)合理的簡化就是用離散的時(shí)間間隔去模擬蟲口的變化。因?yàn)樵S多生物群體的數(shù)目基本上都是按照一年的時(shí)間間隔變化的，而不是連續(xù)時(shí)間的變化。更有一些昆蟲，它們只在一年中的特定季節(jié)里繁殖，所以它們的一代一代之間決不會(huì)重疊。一年一年的變化，正是生態(tài)學(xué)家所要了解的全部信息。因此，描寫生物群體的方程不是連續(xù)的微分方程，而是比較簡單的差分方程，這是一種迭代模型，即逐年逐年地反復(fù)用同一個(gè)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，它可以反映由一個(gè)狀態(tài)（數(shù)目）到另一個(gè)狀態(tài)（數(shù)目）的跳躍變化。 這個(gè)差分方程應(yīng)該反映出以下影響蟲口增減的因素：第一，蟲口的增長必定與前一年的蟲口數(shù)目成正比，這是一個(gè)線性關(guān)系，比例系數(shù)k即群體的增長率；第二，蟲口的增長又受到空間、食物、流行病等許多因素的限制，不可能無限增長。實(shí)際情況是，群體小時(shí)穩(wěn)定增長，群體適中時(shí)增殖量近于零，群體暴漲時(shí)急劇下降。 一個(gè)較好的方程是由迭代邏輯斯蒂映射所得到的非線性邏輯斯蒂（Logistic）差分方程 xt+1=kxt(1-xt) x表示蟲口的相對數(shù)，它被定義為介于0和1之間的數(shù)，0代表滅絕，1代表群體的最大蟲口數(shù)；t表示時(shí)間，它只能以整數(shù)0，1，2，3……跳躍；生殖增長率k代表了這一模型的一個(gè)十分重要的特征，表示拉伸或壓縮的程度，也即非線性程度。從幾何學(xué)上講，邏輯斯蒂映射表示以不均勻的方式拉伸或壓縮一個(gè)線段，然后再加以折疊。對于一個(gè)生物群體來說，參數(shù)k越低，意味著群體最終將在較低的數(shù)量水平上滅絕；參數(shù)k的值提高以后，群體的數(shù)量也不會(huì)無限增長，這是可以理解的。但是計(jì)算表明，在k值提高后，群體卻不可能收斂于一個(gè)定態(tài)水平，這是令人費(fèi)解的。 20世紀(jì)70年代，美國普林斯頓大學(xué)的生態(tài)學(xué)家羅伯特·梅（Robert May）開始利用計(jì)算機(jī)對這種單一群體生物隨時(shí)間而變化的最簡單的生態(tài)學(xué)方程進(jìn)行系統(tǒng)的研究。他對這一非線性參數(shù)試用不同的值進(jìn)行迭代計(jì)算。他發(fā)現(xiàn)，改變的不僅僅是輸出的數(shù)量，而且也改變了輸出的性質(zhì)；因?yàn)樗粌H影響著平衡時(shí)群體的數(shù)值，而且還影響群體是否能夠?qū)崿F(xiàn)平衡。 梅編制了計(jì)算機(jī)程序，慢慢增加k值，對方程進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算。他發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k值小于1時(shí)，在0到1之間任意取初值x0，經(jīng)過若干次迭代，蟲口數(shù)趨于終態(tài)x*=0，表示生物群體將滅絕，這是可以預(yù)料的。當(dāng)1＜k＜3時(shí)，任取初值x0，經(jīng)過一系列迭代（演化過程）后，蟲口數(shù)越來越趨于一個(gè)穩(wěn)定態(tài)x*=1-1/k；如取k=2，則蟲口數(shù)將最終穩(wěn)定在x*=0.5；若取k=2.4，則x*=0.5833；若取k=2.7，則x*=0.6292；隨著k值的增大，穩(wěn)定平衡值也會(huì)增大，但系統(tǒng)的行為沒有質(zhì)的變化，都會(huì)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的定態(tài)（即蟲口數(shù)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值）。 為了在全局上對邏輯斯蒂差分方程的解（即最終定態(tài)）做出了解，梅以參數(shù)k值的變化為橫坐標(biāo)，以群體最終蟲口數(shù)為縱坐標(biāo)，把二者的變化關(guān)系集攏在一張圖上（圖8）。 迭代計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)k值超過3之后，系統(tǒng)的定態(tài)失穩(wěn)了，這條線分裂為兩條，蟲口交替振蕩于兩年的兩點(diǎn)之間，x*值在兩個(gè)數(shù)之間一年一換地交替躍變，這是周期2循環(huán)。當(dāng)k值增大到3.5左右時(shí)，周期2吸引子也開始失穩(wěn)，出現(xiàn)周期4循環(huán)，群體的不同起始值x*都收斂于以4年為周期的循環(huán)中，每4年返回近原值一次。當(dāng)k值增至3.56后，周期又加倍到8；k到3.567時(shí)，周期達(dá)到16。此后將更快地出現(xiàn)32、64、128……的周期倍化序列。這就是“周欺倍化級聯(lián)”；倍周期就是分叉或雙分枝現(xiàn)象。周期分裂再分裂，這種雙分枝越來越快地發(fā)生，以致到k=3.58左右這種分裂突然呈現(xiàn)崩潰之勢，周期性態(tài)就變成混沌，蟲口的漲落再也不會(huì)確定下來，蟲口的逐年變化完全成為隨機(jī)的，全部區(qū)域染成了墨色。 這么簡單的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，在非線性作用下，當(dāng)k從0趨向4時(shí)，其動(dòng)力學(xué)性態(tài)的復(fù)雜性逐步增加，即從定態(tài)變?yōu)橹芷谛詰B(tài)，通過周期倍化級聯(lián)而到達(dá)混沌性態(tài)。 但這還不是最終的圖景。更令人驚奇的是，在這個(gè)復(fù)雜的區(qū)域中又會(huì)突然出現(xiàn)一個(gè)有正規(guī)周期的窗口（圖8中狹窄的白條部分）；不過周期由偶數(shù)變?yōu)槠鏀?shù)。如當(dāng)k=3.835時(shí)，出現(xiàn)周期3循環(huán)；輕微地增加k值，周期以新的“倍化級聯(lián)”出現(xiàn)6、12、24、48……周期。當(dāng)k=3.739時(shí)，將得到周期5循環(huán)，此后又是雙分枝的10、20、40……的周期。愈來愈快的倍周期雙分枝再度爆發(fā)出現(xiàn)混沌。 這是一個(gè)十分奇妙的圖景：分叉再分叉，加快更加快，周期性態(tài)走向混沌性態(tài)，混沌區(qū)內(nèi)又出現(xiàn)周期窗口；窗口內(nèi)還有更小的窗口，出現(xiàn)更稠密的周期性態(tài)；放大任何窗口，都會(huì)重現(xiàn)整個(gè)圖景的微縮復(fù)本。 圖象特別明顯地顯示出，周期區(qū)內(nèi)分叉序列中兩個(gè)相鄰分叉點(diǎn)之間的距離越來越快地縮短，而且似乎有某種規(guī)則的比例關(guān)系。美國物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆(Feigenbaum，Mitchell)敏銳地覺察到了這種幾何收斂的周期僵化級聯(lián)現(xiàn)象的規(guī)則性，對收斂的速度——標(biāo)度比的值進(jìn)行了深入的探討。1975～1976年，費(fèi)根鮑姆在一次會(huì)議上聽到斯梅爾關(guān)于邏輯斯蒂映射及其通過周期倍化級聯(lián)走向混沌的介紹后，投入到對邏輯斯蒂映射的研究。那個(gè)時(shí)代，使用計(jì)算機(jī)是件麻煩冗長的過程，要用穿孔卡分批輸入數(shù)據(jù)，幾天后才能出結(jié)果。所以費(fèi)根鮑姆寧肯用惠普HP65型可編程計(jì)算器，這是一個(gè)幸運(yùn)的選擇。因?yàn)橛?jì)算器算得很慢，促使操作者在結(jié)果出來以前常去思考它。為了節(jié)省時(shí)間，費(fèi)根鮑姆就嘗試大致揣測級聯(lián)中的下一個(gè)分叉點(diǎn)可能在哪里。不久他就發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，相繼的分叉點(diǎn)之差具有恒定的比率，前一個(gè)差值約為后一個(gè)差值的4倍，更精確地說，這二者的比率約為4.669。對一個(gè)物理學(xué)家來說，恒定比率意味著標(biāo)度率，表明物理學(xué)特征必在愈來愈小的標(biāo)度上再現(xiàn)，這當(dāng)然是極為重要的。費(fèi)根鮑姆用這個(gè)方法對另一個(gè)映射即三角映射x→ksin(x) 進(jìn)行了計(jì)算，同樣發(fā)現(xiàn)了周期倍化級聯(lián)和幾何收斂現(xiàn)象，更為驚人的是它的標(biāo)度比值也是4.669。 費(fèi)根鮑姆利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行了更精確的計(jì)算。對于邏輯斯蒂映射，他很快得出了一個(gè)更精確的標(biāo)度比值：4.6692016090；對三角映射重復(fù)計(jì)算，到小數(shù)點(diǎn)后10位，兩數(shù)完全相同。看來標(biāo)度比不依賴于方程，無論邏輯斯蒂映射還是三角映射，沒有什么差別。這當(dāng)然不可能是巧合。費(fèi)根鮑姆的發(fā)現(xiàn)表明，在邏輯斯蒂映射一類的非線性映射中，倍周期分叉遵循一個(gè)普適性規(guī)律：當(dāng)t→∞時(shí)，分叉間距比存在一個(gè)極限值（更精確的）δ=4.66920160910399097…… 同時(shí)，分叉也在越來越窄的寬度上出現(xiàn)，這又是一種普適性規(guī)律：相鄰兩個(gè)分枝間的寬度按一定比率縮小，縮小因子在t→∞時(shí)也存在極限值 α=2.5029078750958928485…… 這兩個(gè)常數(shù)被稱為“費(fèi)根值”(Feigenvalue)。費(fèi)根值的普適性也具有相對性，它只適用于具有像拋物線那樣的峰的單峰映射；對于多峰或者具有扁平峰和尖峰那樣的情況，標(biāo)度比值將會(huì)不同；但每一類的映射，其標(biāo)度比總是相同的。 費(fèi)根鮑姆的發(fā)現(xiàn)，是一條普遍適用于一切從有序轉(zhuǎn)變到混沌的動(dòng)力系統(tǒng)在轉(zhuǎn)變點(diǎn)上的自然規(guī)律。這種普適性不僅是結(jié)構(gòu)的，而且是測度的。這一發(fā)現(xiàn)的意義在于，動(dòng)力系統(tǒng)中存在著標(biāo)度變換，它不僅控制著分叉花樣，而且延伸到精確數(shù)值。事物整體具有與其部分相似的結(jié)構(gòu)，說明在完全確定的系統(tǒng)中不需要引入任何干擾，就可能出現(xiàn)不規(guī)則的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，這是一種內(nèi)稟特性。 費(fèi)根鮑姆關(guān)于普適性的發(fā)現(xiàn)，指引人們走上混沌科學(xué)的大道，推動(dòng)了非線性科學(xué)的發(fā)展。 費(fèi)根鮑姆寫道①：“物理學(xué)中有一條基本假定，那就是分析分析再分析，把事物的組成分離出來，直到你真正明白基本的東西在單純的狀態(tài)以如何簡明的規(guī)律行事，然后，你就假定那些你還不懂的事物都是細(xì)節(jié)?！钡乾F(xiàn)在不行了，因?yàn)椤按罅肯到y(tǒng)底層有一反復(fù)運(yùn)行之規(guī)律，需要用另一種思維去認(rèn)識它。……這要拋棄純分析的方法，不能分析分析再分析?！彼又鴮懙溃骸叭祟愐肀傩聫?，必須捉住標(biāo)度結(jié)構(gòu)這一環(huán)，看看大家伙與小家伙的關(guān)系如何?！@產(chǎn)生復(fù)雜性的、持續(xù)進(jìn)行的單一過程卻與大小尺寸無關(guān)，與地點(diǎn)無關(guān)，與時(shí)間無關(guān)，它是普適的標(biāo)度變換，它存在于大與小的自相似之中，由小到大自相似的放大比率就是一個(gè)普適的費(fèi)根鮑姆常數(shù)?！?/p> 最后，他感慨萬千地寫道：“大地充滿了美，引人入勝?？茨闶鞘裁绰殬I(yè)你就如何理解”。 7．湍流研究和奇怪吸引子 湍流現(xiàn)象普遍存在于行星和地球大氣、海洋、江河、火箭尾流、鍋爐燃燒室、血液流動(dòng)等自然現(xiàn)象和工程技術(shù)中。湍流的出現(xiàn)將使流體中的質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運(yùn)速度大大加快，從而引起各種機(jī)械的阻力驟增，效率下降，能耗加大，噪音增強(qiáng)，結(jié)構(gòu)振顫加劇乃至破壞，如使飛機(jī)墜落，輸油管阻塞。另一方面，湍流又可能加速噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)油料的混合和充分燃燒，提高燃燒效率和熱交換效率，加快化學(xué)反應(yīng)的速度和混合過程。所以湍流的研究對工程技術(shù)的進(jìn)步有重要意義。同時(shí)湍流本身也是物理學(xué)領(lǐng)域中尚未取得重大突破的基礎(chǔ)研究課題之一。因此長期以來湍流的研究一直受到各方面的重視。 湍流是流體中局部速度、壓力等力學(xué)量在時(shí)間和空間中發(fā)生不規(guī)則脈動(dòng)的流體運(yùn)動(dòng)。其基本特征是流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)具有隨機(jī)性，它不僅有橫向脈動(dòng)，而且有反向運(yùn)動(dòng)，各個(gè)微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡極其紊亂，各個(gè)部分之間劇烈滲混，流場極不穩(wěn)定，隨時(shí)間變化很快。湍流的運(yùn)動(dòng)不僅有無窮多個(gè)自由度，大、中、小、微各種尺寸的渦旋層層相套，而且運(yùn)動(dòng)的能量迅速由大尺度運(yùn)動(dòng)分散到小尺度運(yùn)動(dòng)，錯(cuò)綜復(fù)雜地由整化零，是高度耗散的。湍流是經(jīng)過一次或多次突變形成的，在紊亂無規(guī)的背景中又會(huì)出現(xiàn)大尺度、相當(dāng)規(guī)則的結(jié)構(gòu)和協(xié)調(diào)一致的運(yùn)動(dòng)，所以給研究工作帶來極大的困難，經(jīng)過一百多年的研究，現(xiàn)在還沒有得到令人滿意的理論解釋。有一個(gè)傳說，說量子力學(xué)家海森伯在臨終前的病榻上向上帝提了兩個(gè)問題：上帝??！你為何賜予我們相對論？為何賜予我們湍流？海森伯說：“我相信上帝也只能回答第一個(gè)問題”。 早在1893年，龐加萊就發(fā)現(xiàn)了湍流問題，但又偏離了它。他發(fā)現(xiàn)，液體流中的渦旋通常不擴(kuò)散，而是傾向于集中到單個(gè)渦旋之中。他說這一現(xiàn)象還沒有恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)解釋。實(shí)際上他討論的是二維現(xiàn)象，還不是真正的湍流，但與間歇現(xiàn)象有明顯的聯(lián)系，表明他已很接近湍流的探討。 1895年，雷諾(Reynolds，Osborne 1842～1912)提出湍流瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可分解為時(shí)間平均和脈動(dòng)兩個(gè)部分，即
法國流體動(dòng)力學(xué)家?guī)彀Ｌ?Couette，M.M.1858～1943)為了研究流體被扭曲的“切變流”，曾制造了一個(gè)筒里套筒的雙圓筒裝置，中間裝上水，使外筒固定，內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)，有控制地進(jìn)行切變實(shí)驗(yàn)。1923年，英國應(yīng)用數(shù)學(xué)家泰勒(Taylor，GeoffreyIngram1886～1975)利用這種旋轉(zhuǎn)同心柱體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。當(dāng)內(nèi)筒轉(zhuǎn)速足夠高時(shí)，發(fā)現(xiàn)流體不再平穩(wěn)地轉(zhuǎn)動(dòng)，而是攪亂成成對的渦旋，渦旋會(huì)變成波狀，波動(dòng)又此起彼伏，出現(xiàn)麻花渦旋、辮子渦旋等螺旋模式；轉(zhuǎn)速更高時(shí)，系統(tǒng)則呈湍流狀（圖9）?！?nbsp; 那么，平穩(wěn)流是如何變成湍流的呢？也就是說湍流開始的時(shí)候是通過什么樣的步驟形成的呢？1944年，前蘇聯(lián)物理學(xué)家朗道(Landau，Lev 1908～1968)在一篇論文中提出了湍流肇始的一幅圖景：當(dāng)表征系統(tǒng)中外力與粘滯力競爭的無量綱雷諾數(shù)為零時(shí)，流體將做光滑的平穩(wěn)流動(dòng)；當(dāng)由于外界的擾動(dòng)而使雷諾數(shù)增大時(shí)，層流中分枝出一個(gè)周期軌道，對應(yīng)于流體的周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)更多的能量進(jìn)入流體，即雷諾數(shù)不斷增大時(shí)，每次都出現(xiàn)一個(gè)與上一個(gè)頻率不和諧的頻率；當(dāng)頻率數(shù)足夠大時(shí)，擬周期運(yùn)動(dòng)即轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?。這就是說，各種不同頻率的運(yùn)動(dòng)的積累和疊加，相互交錯(cuò)干擾，就會(huì)產(chǎn)生非常復(fù)雜的湍流。1948年，德國數(shù)學(xué)家霍普夫(Hopf，Eberhard1902～1983)按照同朗道一致的思路，提出了一個(gè)更加詳細(xì)的理論，即通過擺振的積累而由平穩(wěn)層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯木唧w機(jī)制。此后20多年，霍普夫-朗道理論曾被廣泛接受。 1967年，Kline首先利用氫氣泡顯示技術(shù)通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)了近壁湍流的相干結(jié)構(gòu)（擬序結(jié)構(gòu)）。這種大尺度的渦旋運(yùn)動(dòng)在將流體的平均運(yùn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧鞯膭?dòng)能的過程中，起了主要的作用。人們通過進(jìn)一步的流體動(dòng)力學(xué)實(shí)驗(yàn)，還發(fā)現(xiàn)了自由剪切流的相干結(jié)構(gòu)。到80年代，流體力學(xué)家們普遍認(rèn)識到相干結(jié)構(gòu)是對湍流的生成、維持和演化起主要作用的結(jié)構(gòu)。所以有人認(rèn)為相干結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)是湍流研究上的一個(gè)革命性的進(jìn)展。不過到目前為止，關(guān)于相干結(jié)構(gòu)的定義、成因和定量分析還有不少問題有待研究。 關(guān)于湍流的形成，即流體的運(yùn)動(dòng)是如何從層流轉(zhuǎn)變成湍流的問題，目前流行的看法是認(rèn)為，在層流中由于各種原因出現(xiàn)的擾動(dòng)波，經(jīng)演化、放大、失穩(wěn)而導(dǎo)致流體運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定，最終發(fā)展為湍流。 70年代以來，非線性科學(xué)關(guān)于混沌現(xiàn)象的理論和實(shí)驗(yàn)研究的進(jìn)展，為解決湍流理論的百年難題提供了啟示。特別為解決湍流的發(fā)生機(jī)制、小尺度混亂與大尺度結(jié)構(gòu)共存等問題帶來了希望。 1971年，法國物理學(xué)家茹勒(Ruelle，David)和荷蘭數(shù)學(xué)家泰肯斯(Takens，F(xiàn)loris)的《論湍流的本質(zhì)》一文，對湍流的研究產(chǎn)生了很大的影響。他們的結(jié)論否定了霍普夫-朗道關(guān)于湍流起始階段的傳統(tǒng)觀點(diǎn)。朗道和霍普夫的直覺即一系列不同頻率擺振的累積在數(shù)學(xué)上和物理學(xué)上似乎是容易理解的，但他們的理論在某種程度上是源于哈密頓動(dòng)力學(xué)的，不適用于有摩擦的耗散系統(tǒng)。在粘滯流體的流動(dòng)中充滿著摩擦。茹勒和泰肯斯指出，由平穩(wěn)流向湍流的轉(zhuǎn)變，不需要一系列的頻率，只要三個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)就會(huì)產(chǎn)生湍流的全部復(fù)雜性。他們描繪出如下的圖景：第一次轉(zhuǎn)變，即從定態(tài)到單個(gè)擺振，產(chǎn)生流體中的周期運(yùn)動(dòng)。第二次轉(zhuǎn)變，即加上一個(gè)不同頻率的擺振，開始時(shí)像兩個(gè)獨(dú)立的周期運(yùn)動(dòng)的擬周期疊加，但這種運(yùn)動(dòng)不能繼續(xù)保持下去，微小的擾動(dòng)就會(huì)破壞掉它。兩個(gè)獨(dú)立的周期運(yùn)動(dòng)將相互作用而變得同步，合成為具有單個(gè)合成周期的周期運(yùn)動(dòng)，即發(fā)生鎖頻現(xiàn)象。當(dāng)有三個(gè)疊加頻率時(shí)，不再發(fā)生頻率的鎖定現(xiàn)象，而會(huì)出現(xiàn)一個(gè)新奇的結(jié)果，即運(yùn)動(dòng)進(jìn)入維數(shù)不多的“奇怪吸引子”。他們認(rèn)為，湍流能量的耗散，必定導(dǎo)致相空間的壓縮，把運(yùn)動(dòng)軌跡向著吸引子的低維相區(qū)推進(jìn)。這個(gè)吸引子不會(huì)是不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)橥牧鞑粫?huì)逐漸平息；也不會(huì)是周期吸引子，因?yàn)橥牧魇且环N不同次序的性態(tài)，決不可能產(chǎn)生任何排斥其它節(jié)奏的節(jié)奏，它具有各種可能循環(huán)的整個(gè)寬譜。其相軌跡可能是一種繼續(xù)不斷變化、沒有明顯規(guī)則或次序的許多回轉(zhuǎn)曲線，所以稱為“奇怪吸引子”。茹勒和泰肯斯論文中的一些推理和證明是模糊的、錯(cuò)誤的，但他們提出的“奇怪吸引子”的圖象，卻是十分吸引人的。因?yàn)橥牧鞯漠a(chǎn)生可能很好地對應(yīng)于奇怪吸引子的出現(xiàn)。這是對湍流產(chǎn)生機(jī)制的一個(gè)很好的闡明。 1973年，美國實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家斯文尼(Swinney，Harry)和戈魯布(Gollub，Jerry)利用旋轉(zhuǎn)同心柱體產(chǎn)生的庫埃特-泰勒流進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。外面是一個(gè)玻璃圓筒，有空網(wǎng)球筒那么大；內(nèi)柱體是用平滑的薄鋼板做成的；兩柱體之間有八分之一英寸的間隙用來裝水。他們利用激光多普勒干涉儀技術(shù)，即利用激光光束在懸浮于水中的小小鋁粉片上的散射，來測定水的速度變化。本來他們是打算驗(yàn)證朗道關(guān)于由液體中不同頻率擺振的平穩(wěn)積累而形成湍流的論斷。他們不斷調(diào)節(jié)內(nèi)柱體的旋轉(zhuǎn)速度，反復(fù)觀察出現(xiàn)的躍遷。他們觀察到了朗道預(yù)言的第一個(gè)轉(zhuǎn)變的精確數(shù)據(jù)；他們大膽地尋找著下一個(gè)轉(zhuǎn)變。但是，他們未能找到預(yù)期的朗道序列，在下一個(gè)躍遷處，流一下子進(jìn)入混亂狀態(tài)，一點(diǎn)也沒有可準(zhǔn)確識別的新頻率；相反，卻逐漸顯出寬帶頻率。“我們的發(fā)現(xiàn)是，變成了混沌！”不過，當(dāng)時(shí)他們還不知道茹勒-泰肯斯理論。 1974年，茹勒訪問斯文尼和戈魯布的實(shí)驗(yàn)室時(shí)，三位物理學(xué)家才發(fā)現(xiàn)了他們的理論和實(shí)驗(yàn)之間的點(diǎn)滴聯(lián)系。斯文尼和戈魯布沒有用他們的實(shí)驗(yàn)觀察奇怪吸引子，也沒有檢測湍流最初階段的具體步驟，不過他們知道，朗道錯(cuò)了；而且他們猜測茹勒是對的。 1983年，法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特(Mandelbrot，Benoit)指出，湍流的耗散區(qū)域，即湍流中大大小小不同尺度的渦旋高度集中的區(qū)域，是一種間歇狀的分形結(jié)構(gòu)，具有局部的自相似性。因此分形理論在湍流的研究中也有重要應(yīng)用。 由于湍流的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)服從納維-斯托克斯方程，而這一方程本身就是封閉的，所以很容易直接用電子計(jì)算機(jī)數(shù)值求解完整的納維-斯托克斯方程，對湍流的瞬時(shí)流動(dòng)進(jìn)行直接的數(shù)值模擬。不過由于受到計(jì)算機(jī)速度和容量的限制，目前的數(shù)值模擬還只限于很低的雷諾數(shù)和很簡單的幾何邊界條件的情況；而實(shí)際的湍流運(yùn)動(dòng)大多發(fā)生在高雷諾數(shù)和邊界條件很復(fù)雜的情況。所以，湍流的完整理論的形成，還需做很多艱巨的工作。茹勒和泰肯斯提出的“奇怪吸引子”理論，并不只對湍流的研究有重要意義，而是對整個(gè)混沌理論的發(fā)展都有重要作用。利用相空間描述系統(tǒng)的演化要用到“吸引子”概念。一般的動(dòng)力系統(tǒng)，最終都會(huì)趨向于某種穩(wěn)定態(tài)，這種穩(wěn)定態(tài)在相空間里是由點(diǎn)（某一狀態(tài)）或點(diǎn)的集合（某種狀態(tài)序列）來表示的。這種點(diǎn)或點(diǎn)的集合對周圍的軌道似乎有種吸引作用，從附近出發(fā)的任何點(diǎn)都要趨近于它；系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)也只有到達(dá)這個(gè)點(diǎn)或點(diǎn)集上才能穩(wěn)定下來并保持下去，這種點(diǎn)或點(diǎn)集就是“吸引子”。它表示著系統(tǒng)的穩(wěn)定定態(tài)，是動(dòng)力系統(tǒng)的最終歸縮，即系統(tǒng)行為最終被吸引到的相空間處所。 經(jīng)典力學(xué)指出，有三種類型的吸引子。一種是穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，它代表一個(gè)穩(wěn)定定態(tài)；第二種是穩(wěn)定的“極限環(huán)”，即相空間中的封閉軌線，在它外邊的軌線都向里卷，在它里邊的軌線都向外伸，都以這個(gè)封閉曲線為其極限狀態(tài)。極限環(huán)代表一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)；第三類吸引子是穩(wěn)定的環(huán)面，代表系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。 對一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)來說，在長時(shí)間后系統(tǒng)的性態(tài)只可能是吸引子本身，其它的性態(tài)都是短暫的。所以吸引子的一個(gè)重要特征是“穩(wěn)定性”，它表示著運(yùn)動(dòng)的最終趨向或“演化目標(biāo)”，運(yùn)動(dòng)一旦進(jìn)入吸引子，就不會(huì)再離開它；當(dāng)一個(gè)小的擾動(dòng)使系統(tǒng)暫時(shí)偏離吸引子后，它也必然會(huì)再返回來的。吸引子的另一個(gè)重要特征是“低維性”，它作為相空間的點(diǎn)集合，其維數(shù)必定小于相空間的維數(shù)。 上述幾類吸引子，都代表規(guī)則的有序運(yùn)動(dòng)，所以只能用于描述經(jīng)典動(dòng)力系統(tǒng)，而不能描述混沌運(yùn)動(dòng)。有耗散的混沌系統(tǒng)的長期行為也要穩(wěn)定于相空間的一個(gè)低維的點(diǎn)集合上，這些點(diǎn)集合也是一種吸引子。但是混沌之所以是混沌，就是它絕不可能最終到達(dá)規(guī)則的有序運(yùn)動(dòng)；因而在它的吸引子內(nèi)部，運(yùn)動(dòng)也是極不穩(wěn)定的。在這種吸引子上，系統(tǒng)的行為呈現(xiàn)典型的隨機(jī)性，是活躍易變和不確定的。更為奇特的是，混沌系統(tǒng)的吸引子（點(diǎn)集合）具有極其復(fù)雜的幾何圖象，如果沒有電子計(jì)算機(jī)這種高效工具，混沌吸引子是無法繪制出來的。所以茹勒和泰肯斯把它們稱為“奇怪吸引子”，以區(qū)別于前述那幾種“平庸吸引子”。奇怪吸引子既具有穩(wěn)定性和低維性的特點(diǎn)，同時(shí)還具有一個(gè)突出的新特點(diǎn)，即非周期性——它永遠(yuǎn)不會(huì)自相重復(fù)，永遠(yuǎn)不會(huì)自交或相交。因此，奇怪吸引子的軌線將會(huì)在有限區(qū)域內(nèi)具有無限長的長度。 洛侖茲所給出的那個(gè)繞兩葉回轉(zhuǎn)的永不重復(fù)的軌線，就是一個(gè)奇怪吸引子——“洛侖茲吸引子”。它是在三維空間里的一類雙螺旋線；系統(tǒng)的軌道在其中的一葉上由外向內(nèi)繞到中心附近，然后突然跳到另一葉的外緣由外向內(nèi)繞行；然后又突然跳回原來的那一葉上。但每一葉都不是一個(gè)單層的曲面，而是有多層結(jié)構(gòu)。從中取出任意小的一個(gè)部分，從更精細(xì)的尺度上看，又是多層的曲面。所以這種螺旋線真是高深莫測、復(fù)雜異常。它永遠(yuǎn)被限制在有限的空間內(nèi)，卻又永不交結(jié)，永無止境。1976年，德國的若斯勒考察了一個(gè)更為簡化的洛侖茲方程 dx/dt=-(y+z) dy/dt=x+ay dz/dt=b+xz-cz 這個(gè)方程組的特點(diǎn)是只有最后一個(gè)方程中含有非線性項(xiàng)xz。若斯勒由這個(gè)方程組得出了一個(gè)洛侖茲吸引子的變種（圖10）。 它也是由很多層次構(gòu)成的復(fù)雜幾何圖象。與洛侖茲吸引子不同，若斯勒吸引子只有一片。它似乎是這樣形成的：當(dāng)z較小時(shí)，系統(tǒng)的軌道在(x，y)平面或平行于它的平面內(nèi)向外旋；當(dāng)x足夠大時(shí)，z開始起作用，軌道在z軸方向拉長；當(dāng)z變大后，dx/dt則變小，軌道又被拉回到x較小處。三個(gè)變量的交互作用，產(chǎn)生了軌線的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。 除此之外，混沌學(xué)家們還得到了一些其它的奇怪吸引子?？梢詳嘌裕浞终J(rèn)識奇怪吸引子的作用，對許多問題的探索，都會(huì)有巨大的作用。不過，奇怪吸引子的數(shù)學(xué)理論是困難的，目前還處于起始的階段。正像茹勒所說：①“這些曲線的花樣，這些點(diǎn)子的影斑，往往使人聯(lián)想到五彩繽紛的煙火，或?qū)掗煙o垠的銀河；也往往使人聯(lián)想到奇怪的、令人煩躁不安的植物繁殖。一個(gè)嶄新的領(lǐng)域展現(xiàn)在我們面前，其結(jié)構(gòu)需要我們?nèi)ヌ剿?，其協(xié)調(diào)（和諧）需要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)?！?/p> 8．生理混沌的探索 70年代以來，在生物個(gè)體的生理現(xiàn)象中，也廣泛地發(fā)現(xiàn)了混沌。 生物體全身的每個(gè)器官，都有自己的節(jié)律。生命的存在，就是一個(gè)耦合振子，即各種內(nèi)在節(jié)律振動(dòng)的巧妙組合。一旦某種節(jié)律失調(diào)，就會(huì)使生命體患上某種疾病。 心臟的搏動(dòng)，是推動(dòng)一切生命節(jié)律的中心環(huán)節(jié)。正常的心律是周期性的。人的心搏大約是每分鐘50到100次，日復(fù)一日、年復(fù)一年地進(jìn)行著；但是它有許多非周期的病，例如對生命危險(xiǎn)極大的心室纖維性顫動(dòng)。不同的心肌彼此不合節(jié)律地收縮，不協(xié)調(diào)地亂動(dòng)一起，起不到正常泵血的作用，終致使病人死亡。病者心臟的各個(gè)部分似乎都是正常的，節(jié)律依然是規(guī)則的；但心臟的整體運(yùn)動(dòng)，卻致命地扭曲了，陷入了穩(wěn)態(tài)混沌。這是一種復(fù)雜系統(tǒng)疾病。心臟自己不會(huì)停止這種纖顫，只有用電擊除顫器來消除。這種電震擊是一個(gè)巨大的擾動(dòng)，可以使心臟返回到定態(tài)。為什么心臟的節(jié)律在人的一生中經(jīng)歷幾百億次的搏動(dòng)，其中經(jīng)過多少次的緊張與松弛，加速與減速，從未失誤，然而卻會(huì)突然進(jìn)入一種無法控制的、致命的瘋狂節(jié)律——纖顫呢？研究表明，有一類重要的心律失常可能是所謂“模式鎖定”引起的，即兩種并行收縮心律的相互作用產(chǎn)生的。從物理學(xué)上講，就是外來的迫動(dòng)頻率與物體振蕩的固有頻率以某種簡單的數(shù)字比率達(dá)到同步，這稱為“鎖相”。加拿大數(shù)學(xué)生物學(xué)家列昂·格拉斯(Glass，Leon 1943～)和他的同事在1981年進(jìn)行了一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)。他們從雞胚心臟中取出一團(tuán)細(xì)胞，這團(tuán)細(xì)胞能夠自發(fā)跳動(dòng)，相當(dāng)于固有振蕩器，每分鐘跳動(dòng)60次到120次。然后用一根極細(xì)的玻璃微電極插入細(xì)胞團(tuán)，打入一個(gè)相當(dāng)于迫振的周期性小電震。改變電脈沖的頻率和振幅，結(jié)果不僅產(chǎn)生了各種“鎖相”，而且產(chǎn)生了混沌。他們觀察到了搏動(dòng)方式一次又一次地出現(xiàn)了分叉，即“倍周期”現(xiàn)象。這個(gè)結(jié)果表明，模式鎖定可以導(dǎo)致混沌，即使雞胚心臟的細(xì)胞團(tuán)混沌地搏動(dòng)。 科學(xué)家們的研究表明，一個(gè)參數(shù)的微小變化，可以把一個(gè)健康的心臟推進(jìn)到一個(gè)雙分枝點(diǎn)而進(jìn)入混沌態(tài)?？茖W(xué)家們希望通過混沌動(dòng)力學(xué)的研究，能夠找到一種方法，在危急的纖顫發(fā)生之前，辨認(rèn)出它的來臨；并設(shè)計(jì)出最有效的除顫裝置和治療藥物，使這些猜想盲試的方法變得比較科學(xué)。 類似的動(dòng)力系統(tǒng)疾病現(xiàn)在也越來越多地被認(rèn)識。這類疾病是由于系統(tǒng)的原有振蕩停止或振蕩方式改變引起的。例如喘息、嬰兒窒息、精神分裂癥、某種類型的抑郁癥，還有由于白細(xì)胞、紅細(xì)胞、血小板、淋巴細(xì)胞失衡而導(dǎo)致的某種白血病等。但是，生理學(xué)家已開始認(rèn)識到，生理混沌可以導(dǎo)致疾病，它也可能是健康的保證。一個(gè)生命系統(tǒng)固然需要有抗干擾性，如心肌細(xì)胞和神經(jīng)細(xì)胞能夠很好地抵抗外界的干擾；但生物系統(tǒng)還需要有靈活性，即能夠在一個(gè)很大的頻率范圍內(nèi)適應(yīng)外界的各種變化而正常工作。環(huán)境的變化常常是難以預(yù)料的，生物機(jī)體必須能夠迅速地對各種變化做出反應(yīng)。如果機(jī)體的某種功能鎖定在一個(gè)嚴(yán)格固定的模式里不可改變，那就會(huì)喪失掉對外界變化的適應(yīng)能力。例如把心臟搏動(dòng)與呼吸節(jié)律都鎖入一個(gè)嚴(yán)格的周期中，在機(jī)體松弛與緊張的不同狀態(tài)，在空氣稀稠不同的各種海拔高度上，都只有同一種節(jié)律，這個(gè)生物體就不可能存活下去。人體的其他許多節(jié)律也都如此，都必須有多種變化的可能。哈佛醫(yī)學(xué)院的戈?duì)柕虏?Goldberger，Ary L.)斷言，健康的動(dòng)力學(xué)標(biāo)志就是分形物理結(jié)構(gòu)；治療疾病時(shí)應(yīng)著眼于拓寬一個(gè)系統(tǒng)的譜儲(chǔ)備，即增加產(chǎn)生不同頻率的能力。“廣譜的分形過程是‘信息上極為豐富的’。與此相反，周期態(tài)只能反映狹窄譜帶，它必然是單調(diào)的、重復(fù)的系列，信息內(nèi)容貧乏?！雹偈サ甑木癫W(xué)家阿諾德·曼德爾(Mandell，Arnold)甚至說：“可能是這樣，數(shù)學(xué)上的生理衛(wèi)生健康其實(shí)就是疾病，而數(shù)學(xué)上的病理才是健康，即混沌態(tài)才是健康?！雹谒J(rèn)為，人體中最混沌的器官就是腦，說人達(dá)到了平衡，那就是死亡，生物學(xué)平衡即死亡?！叭绻惚晃以儐柲愕念^腦是否在平衡態(tài)，你的腦是否一個(gè)平衡系統(tǒng)，那就是說，要求你在幾分鐘的時(shí)間里不要去胡思亂想，而你這時(shí)自己就會(huì)知道你的大腦并非平衡系統(tǒng)?！雹劭茖W(xué)家們也已開始用混沌來研究人工智能。例如利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在多個(gè)吸引流域之間的來回變遷與溝通來模擬符號與記憶。人的精神思想包含著豐富的概念、決策、情緒和七情六欲，不能把精神和思想描繪成靜態(tài)的數(shù)學(xué)模型，它具有一系列尺度的層次，神經(jīng)元實(shí)現(xiàn)著各種微觀尺度與宏觀尺度的交融聯(lián)系，這與流體力學(xué)中的湍流或其它復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)十分相似。量子物理學(xué)家薛定諤(1887～1961)在《生命是什么？》這部名著中提出：生命以負(fù)熵為食；一個(gè)活的生物體有驚人的本領(lǐng)去濃縮“有序性之流”于自身之中，從而使生命避免融入原子混沌的崩潰之路。這正是生命活動(dòng)的最基本的奧秘，它吮吸有序性于無序的海洋之中！他指出，生命的基本物質(zhì)是“非周期晶體”，它組成了生物體這個(gè)十分動(dòng)人的、復(fù)雜的物質(zhì)結(jié)構(gòu)。所以，非周期性正是生命奇特性質(zhì)近于神妙境地的根源！無論人們?nèi)绾慰创煦纾珶o論如何也不能把混沌和非周期性從人體、生命、精神思想中排除出去了。 通過混沌探索的歷史回顧，我們可以斷言，混沌學(xué)正在改變著整個(gè)科學(xué)建筑的結(jié)構(gòu)，改變著整個(gè)科學(xué)世界圖景?；煦鐚W(xué)的發(fā)展，或者更廣義地說，非線性科學(xué)的發(fā)展，撥正了科學(xué)探索的方向盤。未來科學(xué)的任務(wù)，不是使用經(jīng)典確定論的手術(shù)刀剖析明白宇宙的鐘表結(jié)構(gòu)，而是按照確定性與隨機(jī)性統(tǒng)一的觀點(diǎn)，闡明客觀世界這個(gè)超巨系統(tǒng)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和運(yùn)行方式，揭示它演化發(fā)展的機(jī)理與途徑。J.格萊克(Gleick，James)在《混沌》一書中寫道：“這門新科學(xué)的最熱情的鼓吹者們竟然宣稱：20世紀(jì)的科學(xué)只有三件事將被永志不忘，那就是相對論、量子力學(xué)和混沌。他們認(rèn)為混沌是20世紀(jì)物理學(xué)的第三場大革命。與前兩場革命相似，混沌與相對論及量子力學(xué)一樣沖跨了牛頓物理學(xué)的基本原則。正如一位物理學(xué)家所說：‘相對論消除了絕對空間和時(shí)間的牛頓幻覺；量子力學(xué)消除了關(guān)于可控測量過程的牛頓迷夢；混沌則消除了拉普拉斯決定論關(guān)于可預(yù)見性的狂想’。而這第三場革命又有一些不同，它直接適用于我們看得見摸得著的世界，是在和人類自身尺度大小差不多的對象中發(fā)生的過程?！雹?/p> D、分形與分維研究 1．分形與“無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)” 兩千多年來，古希臘人創(chuàng)立的幾何學(xué)，一直是人們認(rèn)識自然物體形狀的有力工具。經(jīng)典幾何學(xué)所描繪的都是由直線或曲線、平面或曲面、平直體或曲體所構(gòu)成的各種幾何形狀，它們是現(xiàn)實(shí)世界中物體形狀的高度抽象。天文學(xué)家們用這種幾何知識構(gòu)造了多種宇宙理論，建筑師們利用它設(shè)計(jì)出大量宏偉的建筑；以致于近代物理學(xué)的奠基者、偉大的科學(xué)家伽利略極其權(quán)威地?cái)嘌裕捍笞匀坏恼Z言是數(shù)學(xué)，“它的標(biāo)志是三角形、圓和其他幾何圖形”。 然而事實(shí)上，傳統(tǒng)幾何學(xué)的功能并不是那么大的，它所描述的只是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的規(guī)則形體。這類形體在自然界里只占極少數(shù)。自然界里普遍存在的幾何形體大多數(shù)是不規(guī)則的、不光滑的、不可微的，甚至是不連續(xù)的。如蜿蜒起伏的山脈，曲折凸凹的海岸線，坑坑洼洼的地面，枝干縱橫的樹枝，團(tuán)塊交疊的浮云，孔穴交錯(cuò)的蛋糕……真是奇形怪狀，千姿百態(tài)。這些形狀和經(jīng)典幾何學(xué)所描述的形狀，真是大相徑庭。對于了解自然界的復(fù)雜性來講，歐幾里得幾何學(xué)是一種不充分、不具有普遍性的抽象。1975年冬天的一天，正在思索著現(xiàn)實(shí)世界真實(shí)幾何形象問題的法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特(Mandelbrot，B.B.)隨手翻閱他兒子的字典，注意到了拉丁字“fractus”，這個(gè)來自動(dòng)詞frangere的形容詞含有破裂之意。他由此創(chuàng)立了“分形”(fractal)這個(gè)概念，并由此創(chuàng)立了“分形幾何理論”，從而把數(shù)學(xué)研究擴(kuò)展到了傳統(tǒng)幾何學(xué)無法涉足的那些“病態(tài)曲線”和“幾何學(xué)怪物”的領(lǐng)域。曼德爾布羅特說：“云朵不是球，山巒不是錐，海岸線不是圓，樹皮不光滑，閃電也不走直線?！狈中螏缀螌W(xué)所映射出的自然事物不是光滑無瑕、平坦規(guī)整的，而是凸凹不平、粗糙叢雜、扭曲斷裂、糾結(jié)環(huán)繞的幾何形體。 自然界的現(xiàn)象通常都發(fā)生在某種特征標(biāo)度上，如特征長度、特征時(shí)間等特征尺度上?？茖W(xué)家關(guān)于事物特征的描述最基本的莫過于問它有多大，持續(xù)多久。這都是依賴于標(biāo)度（尺度）的一些基本性質(zhì)。每種事物都有其特征尺度，例如天體物理學(xué)家描寫的宇宙結(jié)構(gòu)，大約在數(shù)百萬光年的范圍上；生物學(xué)家認(rèn)識的微生物的結(jié)構(gòu)大約有微米的長度；物理學(xué)家研究的夸克，約在10-13厘米的數(shù)量級上。每一個(gè)具體事物，都與特定的尺度相連系。幾厘米長的昆蟲與幾米、十幾米大小的巨獸在形態(tài)、結(jié)構(gòu)上必然極不相同，否則它們就無法生存和繁衍?！冻o·卜居》中說：“夫尺有所短，寸有所長”。這也是說事物都有其自己的特征尺度，要用適宜的尺去測度。用寸來量度細(xì)菌，用尺來量度萬里長城，前者失之過長，后者又嫌太短。所以，標(biāo)度是十分重要的。試圖對自然現(xiàn)象做定量描寫時(shí)，就必須從特征尺度入手。一個(gè)好的理論模型，往往要涉及三個(gè)層次：首先是由特征尺度確定的基本層次；更大尺度的環(huán)境就用“平均場”和決定外力的“位勢”等描寫；更小尺度上的相互作用，則以“摩擦系數(shù)”、“擴(kuò)散系數(shù)”等得自于實(shí)驗(yàn)的“常數(shù)”來表征。如果要從理論上對這些系數(shù)做出闡明和推算，那就必須從物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的更深入細(xì)微的層次上進(jìn)行探討。 但是，分形幾何學(xué)卻否定了關(guān)于事物大小和久暫的區(qū)分的絕對標(biāo)度性，指出對于大自然的某些現(xiàn)象，去尋求特征尺度是毫無意義的。曼德爾布羅特研究過電子通訊中的噪音，研究過河水泛濫的數(shù)據(jù)，還研究過棉花價(jià)格的漲落。通過這些研究，他開始形成實(shí)際的圖象。在他的關(guān)于現(xiàn)實(shí)的圖象里竟然沒有二分法的位置，無法把微小的變化與宏大的變化分離開來，而是把它們緊緊地聯(lián)系在一起。他所尋找的圖象，無所謂小尺度和大尺度的差異，而是超越一切尺度；它不是左和右的對稱、上和下的對稱，而是大尺度與小尺度之間的對稱。曼德爾布羅特把1900年以來棉花價(jià)格的數(shù)據(jù)通過計(jì)算機(jī)處理，確實(shí)找到了他所追求的驚人的結(jié)果。那些從正態(tài)的誤差分布觀點(diǎn)看來產(chǎn)生偏離的數(shù)，從尺度觀點(diǎn)看卻發(fā)現(xiàn)了對稱。每一天的價(jià)格變化曲線與每一個(gè)月的價(jià)格變化曲線完全匹配。雖然其間經(jīng)歷了兩次世界大戰(zhàn)和一次經(jīng)濟(jì)大蕭條，但在60年的周期里，竟然有價(jià)格的變異度不變的基本規(guī)律。在極為無序的大量數(shù)據(jù)的內(nèi)部，竟然存在著如此出人預(yù)料的序，完全具有任意性的數(shù)據(jù)竟然被一條規(guī)律所支配，這個(gè)尺度問題看來具有自己的生命。這使曼德爾布羅特從對實(shí)際現(xiàn)象的研究轉(zhuǎn)向探索尺度現(xiàn)象。 曼德爾布羅特關(guān)于大自然過程里不規(guī)整花樣的研究以及他關(guān)于無窮復(fù)雜形象的探索最終匯流到一個(gè)交結(jié)點(diǎn)上，這就是自然事物的“自相似”這個(gè)特性?！按笞匀辉谒袠?biāo)度上同時(shí)起作用”。自然界的許多事物在其內(nèi)部的各個(gè)層次上都具有自相似的結(jié)構(gòu)，在一個(gè)花樣內(nèi)部還有更小的同樣的花樣。自相似物體不具有特征標(biāo)度，它是跨越尺度的對稱性；它在不同測量尺度上看去差不多一樣，是一種“無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)”?！胺中巍本鸵馕吨白韵嗨啤?。一個(gè)幾何圖形，如果它的組成部分與圖形整體之間有某種相似性，就稱為“分形”?！白韵嗨啤钡乃枷朐谌祟愇幕母鱾€(gè)方面都有所反映。中國古代就有“袖里有乾坤，壺中有日月”和“一塵一世界”的說法。曼德爾布羅特曾引頌《格列佛游記》的作者J.斯韋夫特(J.Swift1667～1745)的一首打油詩：“博物學(xué)家看仔細(xì)，大蚤身上小蚤棲；更有微蚤叮小蚤，遞相嚙噬無盡期。”德國哲人萊布尼茲(G.W.F.VonLeibniz1646～1716)也曾設(shè)想，在一滴水里包含著多姿多彩的世界，其中又有許多滴水，每滴水又各有新的世界。 海岸線就是天然存在的一個(gè)分形。曼德爾布羅特在一篇題為《英國的海岸線有多長》①的文章里做出這樣的結(jié)論：任何海岸線，在某種意義上都是無限長的；在另一種意義上說則決定于你所選用的尺的長度。因?yàn)樵诓煌瑯?biāo)度上描繪的海岸線圖，都顯示出相似的灣、岬分 布。每一個(gè)大灣中都有小灣和小岬，那些小灣和小岬中又有更小的灣和岬；把這些灣和岬放大后和實(shí)際的海岸線仍然相似。正如曼德爾布羅特所說：“當(dāng)你初次在一張比例尺為十萬分之一的地圖看到的一個(gè)海灣或半島重新在一張比例尺為一萬分之一的地圖上被觀察時(shí)，無數(shù)更小的海灣和更小的半島就變得清晰可見了。在一張比例尺為一千分之一的地圖上，更小更小的海灣和更小更小的半島又出現(xiàn)了?！彼裕闳绻靡幻椎某哐睾０稖y量，可以得出一個(gè)近似的長度，因?yàn)閷?shí)際上你已經(jīng)把小于一米的曲曲彎彎部分忽略掉了。如果改用一厘米的尺去量，一些小的曲折將被計(jì)入，得到的海岸線將會(huì)增長。隨著測度標(biāo)尺的變小，海岸線的長度會(huì)不斷加長，永遠(yuǎn)不會(huì)收斂于一個(gè)極限數(shù)值。其根本原因就在于海岸線是一個(gè)無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。 分形不僅在所有的標(biāo)度上都有結(jié)構(gòu)，而且在所有標(biāo)度上都有相同的結(jié)構(gòu)。1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫(Koch，Helge Von 1870～1924)構(gòu)造的“雪花曲線”，嚴(yán)格地顯示了分形這種有趣的特征。設(shè)想給出一個(gè)正三角形，再不斷進(jìn)行如下變換：在每邊正中的1/3邊上再造一個(gè)凸出來的正三角形，使原三角形變成六角形；在這個(gè)六角形的12條邊的每條邊中間的1/3上再凸出一個(gè)正三角形，變成一個(gè)4×12=48邊形；反復(fù)操作這種變換以至無窮（圖11），其邊緣愈來愈增添精細(xì)結(jié)構(gòu)，得到一個(gè)由分形曲線（“科赫曲線”）圍成的科赫島，好似一個(gè)雪花?？坪涨€是一條連續(xù)的環(huán)，絕不自身相交；每次變換都會(huì)使“科赫島”的面積稍有增加，但總面積永遠(yuǎn)是有限的，并不比原三角形的面積大很多（小于原三角形的外接圓）；但科赫曲線的總和卻是無窮長的。這似乎是一個(gè)矛盾的結(jié)果：島的面積有限，但周長無窮大；或者說一條無限長又絕不自交的曲線包圍成了一個(gè)有限的面積。 數(shù)學(xué)家們還構(gòu)造了許多類似的一維的、二維的和三維的分形結(jié)構(gòu)。如“康托爾灰塵”（圖12）；在一條線段上去掉中間的1/3；然后對所余二段各去掉其中間的1/3；反復(fù)操作下去，剩下的即康托爾集合。它是一些點(diǎn)非點(diǎn)、線非線的東西，數(shù)量為無窮多，但總長度為零。另如“塞爾平斯基地毯”（圖13甲）和它的三維類似“孟格爾海綿”（圖13乙）。前者總面積為零而孔線長度無窮大；后者總體積為零而總的表面積無窮大。在當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家的頭腦里，認(rèn)為這些曲線或形狀是“病態(tài)的”，似乎大自然不應(yīng)如此。但曼德爾布羅特卻由這些一層比一層精細(xì)的相似結(jié)構(gòu)中，窺視到了宇宙的秘密。 2．分維概念的提出 對于歐幾里得幾何所描述的整形來說，可以由長度、面積、體積來測度。但用這種辦法對分形的層層細(xì)節(jié)做出測定是不可能的。曼德爾布羅特放棄了這些測定而轉(zhuǎn)向了維數(shù)概念。分形的主要幾何特征是關(guān)于它的結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性和復(fù)雜性，主要特征量應(yīng)該是關(guān)于它的不規(guī)則性和復(fù)雜性程度的度量，這可用“維數(shù)”來表征。維數(shù)是幾何形體的一種重要性質(zhì)，有其豐富的內(nèi)涵。整形幾何學(xué)描述的都是有整數(shù)維的對象：點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，體是三維的。這種幾何對象即使做拉伸、壓縮、折疊、扭曲等變換，它們的維數(shù)也是不變的；這種維數(shù)稱為“拓?fù)渚S”，記為d。例如當(dāng)把一張地圖卷成筒，它仍然是一個(gè)二維信息載體；一根繩子團(tuán)成團(tuán)，仍然是一維結(jié)構(gòu)。但曼德爾布羅特認(rèn)為，在分形世界里，維數(shù)卻不一定是整數(shù)的。特別是由于分形幾何對象更為不規(guī)則，更為粗糙，更為破碎，所以它的分?jǐn)?shù)維（簡稱“分維”，記為D）不小于它的拓?fù)渚S，即D≥d。 維數(shù)和測量有密切關(guān)系。如為了測一平面圖形的面積，就要用一個(gè)邊長為l、面積為l2的標(biāo)準(zhǔn)面元去覆蓋它，所得的數(shù)目就是所測的面積。如果用長度l去測面積，就會(huì)得到無窮大；而如果用l3去測這塊面積，結(jié)果就是零。這就表明，用n維的標(biāo)準(zhǔn)體ln去測量一個(gè)幾何對象，只當(dāng)n與拓?fù)渚S數(shù)d一致時(shí)，才能得出有限的數(shù)值。如果n＜d，就會(huì)得到無窮大；如果n＞d，則結(jié)果為零。分?jǐn)?shù)維也是按照這個(gè)要求來定義的。由于分形的復(fù)雜性有多種不同類型，所以可以提出不同定義的分維概念，從不同的角度表示分形的不規(guī)則性。通常用的是“容量維”。簡單地說，分維所表示的不規(guī)整程度，相當(dāng)于一個(gè)物體占領(lǐng)空間的本領(lǐng)。一條光滑的一維直線，完全不能占領(lǐng)空間；但是“科赫曲線”卻有無窮的長度，比光滑的直線有更多的折皺，擁擠在一個(gè)有限的面積里，的確占領(lǐng)了空間，它已不同于一條直線，但又小于一個(gè)平面。所以它大于一維，又小于二維，它的容量維為1.2618，這看來是理所當(dāng)然的。海岸線的分維數(shù)通常在1.15到1.25之間。曼德爾布羅特指出，對于各種分形來說，即使在不同的尺度上，用分維表示的不規(guī)整程度卻是一個(gè)常量。這真是一個(gè)令人驚奇的性質(zhì)，也表明“分維”概念的客觀現(xiàn)實(shí)特性。分維所表征的正是大自然的規(guī)則的不規(guī)則性。一個(gè)分形的曲線意味著一種有組織的結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)隱藏在奇特怪異的形狀之中。 分形和混沌動(dòng)力學(xué)之間的聯(lián)系很快就被發(fā)現(xiàn)了。混沌的奇怪吸引子都是分形。結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性使現(xiàn)實(shí)世界出現(xiàn)了大量分形幾何形體，也使確定性動(dòng)力學(xué)體系出現(xiàn)無規(guī)性。奇怪吸引子都有層次的自相似性。無窮相似結(jié)構(gòu)互相套疊起來，就相當(dāng)于沒有規(guī)則結(jié)構(gòu)，所以“無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)”呈現(xiàn)出總體的混沌。非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)一旦進(jìn)入混沌吸引子區(qū)域，就會(huì)隨機(jī)地在吸引子內(nèi)部四處游蕩，但又不能充滿整個(gè)區(qū)域，區(qū)域內(nèi)存在著無窮多的隨機(jī)空隙，從而使整個(gè)混沌區(qū)出現(xiàn)維數(shù)上的“空洞”，呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)維數(shù)。 洛侖茲吸引子就是三維背景空間中的一張分形曲面，其容量維等于2.06；若斯勒吸引子也是三維背景空間中的一張分形曲面。所以，“分形幾何學(xué)”和“分維”概念已經(jīng)成為混沌學(xué)研究的重要工具。 E、遠(yuǎn)離平衡態(tài)的自組織開放系統(tǒng)的研究 1．“時(shí)間之箭”的再發(fā)現(xiàn) “時(shí)間”是物理學(xué)中最重要的基本概念之一。關(guān)于是否存在“時(shí)間箭頭”，即時(shí)間是否確實(shí)具有單向性的問題，自古希臘的蘇格拉底以來，一直迷惑著各個(gè)歷史時(shí)期的哲學(xué)家和科學(xué)家。甚至在一些文學(xué)作品中，也出現(xiàn)有關(guān)于時(shí)間倒流的構(gòu)想。在牛頓力學(xué)、相對論和量子力學(xué)中，都否定了時(shí)間的方向性。決定論和因果論與這些理論的可逆性是緊密聯(lián)系的。牛頓力學(xué)的基本定律，就是機(jī)械決定論的最堅(jiān)實(shí)的科學(xué)基礎(chǔ)；愛因斯坦建造他十分成功的引力的幾何理論，其動(dòng)機(jī)就是出于對因果性的根本地位的堅(jiān)定信仰。在這些決定性的理論中，時(shí)間被降到次要的地位，時(shí)間t只是描述運(yùn)動(dòng)的一個(gè)參量，不具有演化方向的意義。不管時(shí)間朝哪個(gè)方向走，整個(gè)的未來和整個(gè)的過去都包含在現(xiàn)在之中；過去、未來和現(xiàn)在都只不過是同一整體的幾個(gè)不同方面而已。在這些方程中，沒有內(nèi)在的時(shí)間箭頭，它們對時(shí)間反演是完全對稱的；無論時(shí)間向前進(jìn)行還是向后倒退，所發(fā)生的運(yùn)動(dòng)沒有質(zhì)的差異。在這些物理理論中，時(shí)間的變化并不影響運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，“正的時(shí)間”和“負(fù)的時(shí)間”沒有本質(zhì)的差異。而且情況比這還更糟，在這些理論中，時(shí)間不僅無向，它還必須循環(huán)，歷史必須按照“龐加萊回歸”無限重復(fù)。但是，當(dāng)我們把思考轉(zhuǎn)向真實(shí)的世界和現(xiàn)實(shí)生活時(shí)，就明明白白地得出結(jié)論：時(shí)間是不對稱的?！皶r(shí)光不會(huì)倒流”，“機(jī)不可失，時(shí)不再來”，“少小不努力，老大徒悲傷”……這些經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)，都包含著“時(shí)間不可逆轉(zhuǎn)”這個(gè)平凡而顛撲不破的真理。19世紀(jì)誕生的達(dá)爾文的進(jìn)化論，更令人信服地表明時(shí)間是有箭頭的。生物進(jìn)化的過程是不可逆的，生物的進(jìn)化由低級到高級、從簡單到復(fù)雜，其結(jié)構(gòu)愈來愈精致，功能愈來愈完善，它從最小、最簡單的微生物一直進(jìn)化到結(jié)構(gòu)高度有序的人體。差不多和達(dá)爾文的進(jìn)化論同時(shí)，演化的觀點(diǎn)也已經(jīng)進(jìn)入到物理學(xué)之中。在19世紀(jì)50年代所完成的熱力學(xué)理論中，描述系統(tǒng)熱運(yùn)動(dòng)的方程不具有時(shí)間反演的對稱性；當(dāng)以-t去代替t時(shí)，方程的形式也就不同了，表明“過去”與“未來”是不等同的。例如，一個(gè)系統(tǒng)初始時(shí)溫度不均勻，處于不平衡狀態(tài)，隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)將趨于溫度均勻的平衡狀態(tài)；而反方向的過程卻不可能自動(dòng)出現(xiàn)，已達(dá)到溫度均勻的平衡狀態(tài)，不可能自行倒轉(zhuǎn)回去形成冷熱懸殊的非平衡狀態(tài)。這種對稱性的破壞，表明時(shí)間是和系統(tǒng)的演化緊密聯(lián)系著的；時(shí)間只能向前流逝。于是，具有實(shí)質(zhì)內(nèi)容的“時(shí)間箭頭”就進(jìn)入了物理學(xué)理論，“存在物理學(xué)”的一統(tǒng)天下被“演化物理學(xué)”所打破。 這種演化物理學(xué)的最基本的定律，就是1865年由德國物理學(xué)家克勞修斯(Clausius，R.E.1822～1888)所提出的“熵增加原理”、“熵”是決定于系統(tǒng)的熱力學(xué)狀態(tài)的物理量，用它的變化可以表述自發(fā)過程的方向。一個(gè)系統(tǒng)經(jīng)過一個(gè)絕熱過程由一個(gè)態(tài)變化到另一個(gè)態(tài)的時(shí)候，它的熵永不減少，這就是熵增加原理。這個(gè)原理的最重要的意義是，它顯示了“時(shí)間箭頭”的存在。它體現(xiàn)著能量從集中到耗散，從有效到無效，從高值到低值。我們時(shí)時(shí)感受到我們周圍世界的熵增加：火焰慢慢燃盡，留下一堆灰燼；青草漸漸枯黃，在寒風(fēng)中破碎飛散；瀑布飛流直下，沿著河川流向大海；山石滾落平川，經(jīng)水沖刷、風(fēng)化變成泥漿……而相反的過程卻從未自動(dòng)發(fā)生過。從一件件自然事物的變化中，我們體驗(yàn)著時(shí)光的流逝。熵增加原理決定了時(shí)間的方向性，人們無法阻止熵的增加，因而也無法逆轉(zhuǎn)時(shí)間的推移；這樣，“歷史”也就具有了實(shí)質(zhì)性的意義?？藙谛匏惯€由此預(yù)言了宇宙將走向“熱寂”的最終結(jié)局。 深為進(jìn)化論思想所吸引的玻耳茲曼(Boltzmann，L.1844～1906)決心要找到熵的力學(xué)解釋，即找到熵增加原理的微觀機(jī)制。他使用的方法也與生物進(jìn)化論的方法相同。因?yàn)樯镞M(jìn)化中的自然選擇是對一個(gè)大的生物群體而言的，是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念；玻耳茲曼也是從分子群體的角度去探討可逆與不可逆過程的差別。他提出了熵增加原理的統(tǒng)計(jì)解釋，指出自然界的自發(fā)過程是系統(tǒng)從概率較小的有序狀態(tài)向概率較大的無序狀態(tài)的過渡，平衡態(tài)即具有最大概率的最無序的狀態(tài)。熱力學(xué)第二定律（熵增加原理）把時(shí)間與有序性和無序性（隨機(jī)性）這樣的概念聯(lián)系起來，時(shí)間的流逝方向就變得顯而易見了：任何孤立系統(tǒng)中都有一種不容改變的傾向，使系統(tǒng)的有序度不斷降低而無序度不斷增加，這就是物理過程不可逆性的實(shí)質(zhì)。 不過，熱力學(xué)第二定律所確言的演化方向似乎與達(dá)爾文生物進(jìn)化論所言的演化方向正好相反。前者斷言自然物質(zhì)中存在著從有序到無序，終結(jié)于最大元序狀態(tài)的演化趨勢；后者指出生命系統(tǒng)中存在著的是一類熵減少的過程。19世紀(jì)中葉這兩種理論所揭示的“演化悖論”，深深地困擾著科學(xué)家們的認(rèn)識；再加上物理學(xué)家們牢固地被牛頓力學(xué)決定論思想所束縛，幾乎在所有的地方都把單向時(shí)間的概念排除在他們的科學(xué)之外，堅(jiān)信自然過程的可逆性是深藏于自然事物的深層原因之中的；因此，他們對玻耳茲曼的理論和觀點(diǎn)，展開了猛烈的攻擊。玻耳茲曼開始時(shí)曾認(rèn)為他已成功地從動(dòng)力學(xué)角度確定了熵增大的機(jī)制，亦即確定了“熱力學(xué)的時(shí)間箭頭”；但在強(qiáng)大的反對勢力面前，“他放棄了證明有一個(gè)客觀的時(shí)間之矢存在的打算，而引入了另外一種思想，這種思想在某種意義上把熵增大定律約化成一種同義反復(fù)?，F(xiàn)在他認(rèn)為時(shí)間之矢不過是一種約定，是我們（或許可以說，是所有活著的生物）把它引進(jìn)到一個(gè)在過去與未來之間沒有客觀差別的世界中來的”。①當(dāng)時(shí)其他一些著名的物理學(xué)家，對時(shí)間的不可逆性也都持否定態(tài)度。愛因斯坦就認(rèn)為“不可逆的時(shí)間”只是人類的幻覺。1917年，當(dāng)他用廣義相對論討論宇宙模型時(shí)，就為了維護(hù)宇宙在大尺度上的特征不隨時(shí)間變化的傳統(tǒng)科學(xué)觀點(diǎn)，而引進(jìn)了一個(gè)稱為“宇宵斥力”的宇宙項(xiàng)，得到了一個(gè)沒有時(shí)間方向的、靜態(tài)的宇宙模型。后來當(dāng)天體物理學(xué)家弗里德曼(Friedmann，A.1888～1925)和勒梅特(LeMaitre，G.1894～1966)對這個(gè)靜態(tài)宇宙模型提出批評后，愛因斯坦承認(rèn)自己犯了平生最大的一個(gè)錯(cuò)誤。但當(dāng)后來勒梅特希望和愛因斯坦討論更精確的宇宙初始狀態(tài)的問題時(shí)，愛因斯坦卻表示對此沒有興趣。著名物理學(xué)家玻恩(Born，Max1882～1970)甚至提出“不可逆性是無知進(jìn)入物理學(xué)基本定律的結(jié)果”。 但是，也有人堅(jiān)持著熵增加原理的根本重要性。如英國天體物理學(xué)家愛丁頓(Eddington，A.S.1882～1944)就說：“我認(rèn)為，熵增原則——即熱力學(xué)第二定律——是自然界所有定律中至高無上的。如果有人指出你所鐘愛的宇宙理論與麥克斯韋方程不符——那么麥克斯韋方程就算倒楣。如果發(fā)現(xiàn)它與觀測相矛盾——那一定是觀測的人把事情搞糟了。但是如果發(fā)現(xiàn)你的理論違背了熱力學(xué)第二定律，我就敢說你沒有指望了，你的理論只有丟盡臉、垮臺(tái)。”①他同樣肯定熵增加原理顯示了“時(shí)間箭頭”的存在；他說“熵是時(shí)光之箭”。 20世紀(jì)以來物理學(xué)以及相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，把存在和演化兩種科學(xué)觀點(diǎn)的沖突推進(jìn)到一個(gè)新的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，迎來了一個(gè)關(guān)于時(shí)間的本質(zhì)的新的綜合。1986年7月，耗散結(jié)構(gòu)理論的創(chuàng)始人普里戈金(Prigogine，Ilya1917～)以《時(shí)間的再發(fā)現(xiàn)》為題做了一次演講；他面對倍感驚奇的聽眾，對這個(gè)題目做出解釋說：“實(shí)際上對時(shí)間這個(gè)概念的理解，人們在最近10年或20年中已經(jīng)有了重大的變化；完全可以說，時(shí)間是又一次被發(fā)現(xiàn)了?！雹偎鞔_指出：“我們已開始破譯著名的熱力學(xué)第二定律所傳達(dá)出來的深刻的信息。無處不在的、或稱為萬有的時(shí)間箭頭，即時(shí)間對稱性破缺，正是第二定律的核心；正是從這里再度發(fā)現(xiàn)時(shí)間?！雹谠谄绽锔杲鹂磥恚?9世紀(jì)提出的熱力學(xué)第二定律，已經(jīng)把不可逆的演化和時(shí)間之矢的問題提到了顯著的地位；而20世紀(jì)以來的一系列科學(xué)進(jìn)展，特別是基本粒子不穩(wěn)定性的發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)代宇宙學(xué)演化觀念的發(fā)展，以及非平衡成為有序之源的發(fā)現(xiàn)，都標(biāo)志著時(shí)間之矢的再發(fā)現(xiàn)。所謂“時(shí)間的再發(fā)現(xiàn)”，即關(guān)于時(shí)間對稱破缺、不可逆性作為自然界的一種建設(shè)性因素的發(fā)現(xiàn)，這標(biāo)志著一種新的科學(xué)觀念的產(chǎn)生。普里戈金寫道：“時(shí)間不僅貫穿到生物學(xué)、地質(zhì)學(xué)和社會(huì)科學(xué)之中，而且貫穿到傳統(tǒng)上一直把它排除在外的兩個(gè)層次，即微觀層次和宇觀層次之中。不但生命有歷史，而且整個(gè)宇宙也有一個(gè)歷史，這一點(diǎn)具有深遠(yuǎn)的含義?！雹畚覀兙唧w來看一看現(xiàn)代科學(xué)關(guān)于時(shí)間對稱破缺的三個(gè)重大發(fā)現(xiàn)。 第一個(gè)是關(guān)于基本粒子不穩(wěn)定性的發(fā)現(xiàn)?！盎玖Ｗ印崩硭?dāng)然地被認(rèn)為是“宇宙之磚”，即構(gòu)成宇宙萬物的最基本的層次；它的“基本性”也包含著永恒不變之意。它們不生不滅，是一種沒有歷史的“存在”。但近幾十年的研究表明，“時(shí)間之矢”也深藏于基本粒子的本性之中。大統(tǒng)一理論斷言，過去被認(rèn)為是最穩(wěn)定的質(zhì)子，也會(huì)發(fā)生衰變。理論預(yù)測，質(zhì)子、中子衰變后成為輕子和介子。例如質(zhì)子在衰變后產(chǎn)生正電子和中性π介子；中子在衰變后產(chǎn)生電子和帶正電的π子。還可能有其它不同的衰變方式。質(zhì)子的衰變是極其緩慢的，其壽命大約為1031～1032年。這個(gè)理論預(yù)言正在世界各國許多實(shí)驗(yàn)室里經(jīng)受檢驗(yàn)，目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)可能是質(zhì)子衰變的事例。 第二個(gè)是關(guān)于宇宙學(xué)演化觀念的發(fā)展。早在1929年，美國天文學(xué)家哈勃(Hubble，E.P.1889～1953)就發(fā)現(xiàn)了星系譜線紅移的哈勃定律，表明宇宙不是靜態(tài)的，而是隨著時(shí)間在膨脹。1965年，美國貝爾電話公司的彭齊亞斯(Penzias，A.A.1933～)和威耳孫(Wilson，R.W.1936～)發(fā)現(xiàn)了彌漫全部天空的3K微波背景輻射。其它還有星系氦豐度為30%以及星系分子中有出乎意料多的氘等重要發(fā)現(xiàn)。這些觀測結(jié)果，都支持了“大爆炸宇宙學(xué)”關(guān)于宇宙是從一個(gè)非常致密、極端的熱的原始火球發(fā)生爆炸而產(chǎn)生，并一直膨脹開來的學(xué)說。這個(gè)學(xué)說認(rèn)為在物質(zhì)密度無窮大、時(shí)空曲率也無窮大的這個(gè)“奇點(diǎn)”狀態(tài)之前，是沒有時(shí)間和空間的。大爆炸的發(fā)生，就是宇宙時(shí)間的起始。大爆炸發(fā)出的輻射隨著宇宙的膨脹而冷卻下來，這就是彭齊亞斯和威耳孫所發(fā)現(xiàn)的3K宇宙背景輻射。 膨脹的宇宙當(dāng)然是一個(gè)演化著的、有歷史的宇宙?？梢哉J(rèn)為自然界所有過程的不可逆性都來自于宇宙的原始爆炸和隨后發(fā)生的宇宙膨脹。這樣就可以把熱力學(xué)第二定律所論證了的“時(shí)間箭頭”和宇宙聯(lián)系起來。膨脹的宇宙本身就是一個(gè)永不停息的大鐘；或者如愛丁頓爵士所說，時(shí)間的指針是由星系的退離自行帶動(dòng)的。 這里又涉及到另一個(gè)問題，即無處不在的引力的作用，最終會(huì)使膨脹停止下來，并且使所有的物質(zhì)不可抗拒地回聚在一起，成為一個(gè)最終的奇點(diǎn)。果真如此，宇宙就是以大爆炸開始，而以大坍縮終結(jié)。那么就會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問：在膨脹過程中，時(shí)間箭頭是從高度有序的大爆炸奇點(diǎn)，指向某種無序性最大的中間態(tài)；然后當(dāng)宇宙開始向大坍縮——它看上去和大爆炸是同樣高度有序的——收縮時(shí)，時(shí)間箭頭便反轉(zhuǎn)過來，即出現(xiàn)時(shí)間逆轉(zhuǎn)的現(xiàn)象。這個(gè)看法受到了牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家、第一個(gè)從事奇點(diǎn)研究的彭羅塞(Penrose，R.)的反駁。彭羅塞認(rèn)為，即使在大坍縮的過程中，熵也是不斷增加的，時(shí)間箭頭依然不變。因?yàn)椋按蟊ā焙汀按筇s”這兩個(gè)宇宙奇點(diǎn)的結(jié)構(gòu)是不等價(jià)的，即不對稱的。雖然它們都是物質(zhì)無限密集的火球，但原始火球的時(shí)空奇點(diǎn)具有一個(gè)限制條件，它不適用于黑洞或大坍縮奇點(diǎn)；大爆炸奇點(diǎn)相對于大坍縮奇點(diǎn)來說，有序程度要高得多，熵也低得多。對于大爆炸和大坍縮，時(shí)空在奇點(diǎn)附近的幾何結(jié)構(gòu)是完全不同的。觀測表明，大爆炸奇點(diǎn)是各向同性的、受到高度約束的、具有高序的低熵狀態(tài)。但是在走向大坍縮的過程中，卻會(huì)產(chǎn)生像黑洞那樣的時(shí)空缺陷，在大坍縮中凝聚成質(zhì)量巨大的雜亂無序的一團(tuán)，它必然也具有相應(yīng)的高熵。當(dāng)然，彭羅塞的這些看法，還只是一種有價(jià)值的猜想。他期望創(chuàng)立一種令人滿意的量子引力理論，這個(gè)理論“必須含有關(guān)于時(shí)空幾何本質(zhì)的某種根本性的新思想”，它應(yīng)當(dāng)同時(shí)對時(shí)間演化和初始條件做出解釋。普里戈金所看重的第三個(gè)事實(shí)，是關(guān)于非平衡系統(tǒng)中一致性和相干性的發(fā)現(xiàn)。在已往的物理學(xué)中，主要是研究平衡結(jié)構(gòu)。但70年代以來的研究表明，平衡態(tài)中的結(jié)構(gòu)是一種靜止的“死”結(jié)構(gòu)，非平衡態(tài)中的結(jié)構(gòu)才是具有演化潛質(zhì)的結(jié)構(gòu)。當(dāng)系統(tǒng)處于遠(yuǎn)離平衡的狀態(tài)時(shí)，有可能產(chǎn)生自組織現(xiàn)象，自發(fā)地產(chǎn)生時(shí)空有序結(jié)構(gòu)。這是數(shù)以億計(jì)的分子遙相呼應(yīng)、相互協(xié)同合作的結(jié)果，這就是所謂的“相干性”。這一發(fā)現(xiàn)把人們對不可逆過程和有序、無序問題的認(rèn)識大大推進(jìn)一步，認(rèn)識到不可逆過程在有序的形成中可以起到積極作用。這樣，熱力學(xué)第二定律和達(dá)爾文生物進(jìn)化論這兩種演化學(xué)說之間的矛盾，也可以得到解決。當(dāng)代最著名的廣義相對論學(xué)家和宇宙論學(xué)家、英國劍橋大學(xué)的霍金(Hawking，S.W.1942～)在1988年出版的《時(shí)間簡史》（ABriefHistoryofTime）中提出：“時(shí)間箭頭將過去和將來區(qū)別開來，使時(shí)間有了方向。至少有三種不同的時(shí)間箭頭：第一個(gè)，是熱力學(xué)時(shí)間箭頭，即是在這個(gè)時(shí)間方向上無序度或熵增加；然后是心理學(xué)時(shí)間箭頭，這就是我們感覺時(shí)間流逝的方向，在這個(gè)方向上我們可以記憶過去而不是未來；最后，是宇宙學(xué)時(shí)間箭頭，在這個(gè)方向上宇宙在膨脹，而不是收縮。”①霍金討論了為什么三種時(shí)間箭頭指向同一方向。首先他指出，“總存在著比有序狀態(tài)更多得多的無序狀態(tài)的這一事實(shí)，是使熱力學(xué)第二定律存在的原因”。這也就是熱力學(xué)時(shí)間箭頭得以存在的根據(jù)。由于我們對大腦工作的細(xì)節(jié)尚知之不多，所以霍金轉(zhuǎn)而討論計(jì)算機(jī)的心理學(xué)時(shí)間箭頭。他指出，為了保證記憶器處于正常的狀態(tài)，就要消耗一定的能量；這部分能量以熱的形式耗散了，從而增加了宇宙的無序度的量，這個(gè)量大于記憶器本身有序度的增量。因此，計(jì)算機(jī)記憶過去的時(shí)間方向和無序度增加的方向是一致的?！拔覀儗r(shí)間方向的主觀感覺或心理學(xué)時(shí)間箭頭，是在我們頭腦中由熱力學(xué)時(shí)間箭頭所決定的。正像一個(gè)計(jì)算機(jī)，我們必須在熵增加的順序上將事物記住?！雹陉P(guān)于宇宙學(xué)時(shí)間箭頭，霍金指出，根據(jù)量子引力理論，必須滿足無邊界條件的要求去討論宇宙歷史的開始。即宇宙開始時(shí)在尺度上有限，但是沒有邊界或邊緣?！霸谶@種情形下，時(shí)間的開端就會(huì)是規(guī)則的、光滑的空間-時(shí)間的點(diǎn)，并且宇宙在一個(gè)非常光滑和有序的狀態(tài)下開始它的膨脹。它不可能是完全均勻的，否則就違反了量子理論不確定性原理。必然存在密度和粒子速度的小起伏，然而無邊界條件意味著，這些起伏又是在與不確定性原理相一致的條件下盡可能的小。”①這樣，“宇宙開始時(shí)處于一個(gè)光滑有序的狀態(tài)，隨時(shí)間演化成波浪起伏的無序的狀態(tài)。這就解釋了熱力學(xué)時(shí)間箭頭的存在”。②霍金也討論了如果宇宙膨脹停止并開始收縮后的時(shí)間箭頭問題。他指出，“無邊界條件”意味著在收縮相時(shí)無序度繼續(xù)增加；所以當(dāng)宇宙開始收縮時(shí)或在黑洞中熱力學(xué)和心理學(xué)時(shí)間箭頭不會(huì)反向。他還以“弱人擇原理”為基礎(chǔ)指出，收縮相的條件不適合于智慧人類的存在?！皩τ谥腔凵男袨閬碚f，一個(gè)強(qiáng)的熱力學(xué)箭頭是必需的。為了生存下去，人類必須消耗能量的一種有序形式——食物，并將其轉(zhuǎn)化成能量的一種無序形式——熱量，所以智慧生命不能在宇宙的收縮相中存在。這就解釋了，為何我們觀察到熱力學(xué)和宇宙學(xué)的時(shí)間箭頭指向一致。并不是宇宙的膨脹導(dǎo)致無序度的增加，而是無邊界條件引起無序度的增加，并且只有在膨脹相中才有適合智慧生命的條件?！雹?/p> 普里戈金根據(jù)耗散結(jié)構(gòu)理論的新成就，也深入地探討了這一問題。他認(rèn)為，熱力學(xué)第二定律表述為一個(gè)選擇原則表明，時(shí)間對稱破缺意味著存在著一個(gè)熵壘，即存在不允許時(shí)間反演不變的態(tài)。如同相對論中光壘限制了信號的傳播速度一樣。無限大的熵壘保證了時(shí)間方向的單一性，保證了生命與自然的一致性，使認(rèn)識成為可能。生命系統(tǒng)是耗散的自組織系統(tǒng)，存在內(nèi)稟生命節(jié)律；生物體借助于這種內(nèi)稟生命節(jié)律機(jī)制內(nèi)在地產(chǎn)生時(shí)間的方向性的感覺。耗散自組織系統(tǒng)具有歷史和分叉，通過某種滯后返回時(shí)表現(xiàn)出某種對歷史的“記憶”。從認(rèn)識論角度來看，這正是主體能夠認(rèn)識客體，主觀時(shí)間能夠反映客觀時(shí)間的物質(zhì)基礎(chǔ)?！昂纳⒔Y(jié)構(gòu)理論最使人感興趣的方面之一就是：我們現(xiàn)在能在物理學(xué)和化學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)這個(gè)時(shí)間方向性的根源。這個(gè)發(fā)現(xiàn)反過來又以自洽的方式證明我們認(rèn)為自己所具有的對時(shí)間的感覺是合理的。”①雖然在時(shí)間之矢的探索中，現(xiàn)在已取得了一些重要進(jìn)展，但這一問題的最終解決還很遙遠(yuǎn)。特別是著名哲學(xué)家哥德爾在1949年提出的“時(shí)間旅行”的觀點(diǎn)，直接否定了時(shí)間箭頭的單向性。哥德爾根據(jù)廣義相對論得出了旅行回到過去是可能的結(jié)論。他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)滿足愛因斯坦方程的轉(zhuǎn)動(dòng)宇宙模型，其中返回到過去的旅行是可以允許的。哥德爾想到這的確包含了一些荒誕的結(jié)果，如一個(gè)人會(huì)在某個(gè)地方發(fā)現(xiàn)過去某個(gè)時(shí)候的他自己，并對這個(gè)人做某件在自己的記憶中從沒發(fā)生過的事；甚至?xí)l(fā)生“新生兒自謀殺”。如果這是可以實(shí)現(xiàn)的，那么這個(gè)人就不會(huì)活到能干這件事，這當(dāng)然是個(gè)矛盾。所以人們當(dāng)然可以把它作為愛因斯坦方程的一個(gè)沒有物理意義的解而加以舍棄。但不久宇宙學(xué)家們又從愛因斯坦方程中得到一個(gè)被稱為“蚯蚓洞”的奇異解。這個(gè)“蚯蚓洞”可以把宇宙中相隔很遠(yuǎn)的不同部分、甚至把分離開的宇宙連接起來。掉進(jìn)一個(gè)適當(dāng)?shù)尿球径吹娜?，就可能回到他的“過去”的某個(gè)地方。不過按照牛頓力學(xué)或愛因斯坦力學(xué)，蚯蚓洞不可能支撐很久，所以旅行者可能會(huì)在回到過去的旅途中被擠壓得粉碎。然而1990年，三個(gè)美國理論物理學(xué)家莫里斯(Morris，Michael)、托恩(Thorne，Kip)和尤瑟福(Yurtsever，Ulyi)從現(xiàn)代物理學(xué)理論的最新成果出發(fā)認(rèn)真研究了蚯蚓洞問題。他們認(rèn)為，如果考慮了物質(zhì)的量子性質(zhì)，蚯蚓洞的坍塌就可以避免，因而逆時(shí)運(yùn)動(dòng)以及“新生兒自謀殺”等許多怪事依然存在著可能性。這些結(jié)論與因果規(guī)律當(dāng)然是不相容的。這一驚人的結(jié)論已在物理學(xué)界和哲學(xué)界引起廣泛興趣和激烈的爭論，爭論已深入到逆時(shí)運(yùn)動(dòng)是否一定違反因果律，存在逆時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)空的穩(wěn)定性問題以及異常物質(zhì)的性質(zhì)等一系列根本問題。這一討論當(dāng)然會(huì)涉及“時(shí)間之矢”的根本性的問題。 2．從伯納德花紋到化學(xué)振蕩的發(fā)現(xiàn) 圖14溫度梯度造成了氣體分布的濃度梯度 宏觀系統(tǒng)的自然傾向是沿著時(shí)間箭頭走向平衡態(tài)。但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩種氣體的混合體由于加熱而離開平衡態(tài)后，組織便會(huì)以一種簡單濃度梯度的形式出現(xiàn)。如圖14所示盛有氫氣和硫化氫氣體混合物的容器，使兩端產(chǎn)生并保持一個(gè)很小的溫度差，就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩種氣體將逐漸分離，較輕的氫氣多流向較熱的一邊，較重的硫化氫氣則多聚集于較冷的一邊，形成了各自的濃度梯度。這個(gè)現(xiàn)象表明，在不可逆的非平衡態(tài)過程中，可以產(chǎn)生出有序性。 當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)更加壯麗的有序組織。1900年，法國的伯納德(Bernard，Henri)首次發(fā)現(xiàn)了蜂巢狀的自組織花紋（圖15）。在一個(gè)透明的碟子里加入一些液體，在爐子上加熱，液體在豎直方向上便產(chǎn)生一個(gè)溫度差。當(dāng)液層頂部和底部之間的溫度差達(dá)到一個(gè)閾值后，對流開始，下層較熱的液體流入上面較冷的部分。這時(shí)由于浮力、熱擴(kuò)散、粘滯力三種作用的耦合而形成液面上大范圍規(guī)則的蜂巢狀花紋（“伯納德花紋”）。這種蜂巢結(jié)構(gòu)的尺度約為分子間距的一億倍。為了形成這種蜂巢狀的對流單元，無數(shù)分子必須遙相呼應(yīng)、協(xié)調(diào)行動(dòng)。這表明，熱的耗散把熵從系統(tǒng)中輸出，使系統(tǒng)低熵的蜂巢結(jié)構(gòu)得以產(chǎn)生并維持下去。 化學(xué)反應(yīng)會(huì)發(fā)生振蕩。1921年，伯克利加州大學(xué)的布雷(Bray，William)在用碘作催化劑使過氧化氫分解為水和氧氣時(shí)，第一次發(fā)現(xiàn)了振蕩式的化學(xué)反應(yīng)。但是當(dāng)時(shí)化學(xué)家們錯(cuò)誤地確信，熱力學(xué)定律不允許振蕩，因而用實(shí)驗(yàn)方法的疵病為借口否定了這個(gè)發(fā)現(xiàn)。 1952年，英國數(shù)學(xué)家圖靈(Turing，Alan)在一篇論文中，提出了像化學(xué)振蕩一類現(xiàn)象的可能性。圖靈對形狀、結(jié)構(gòu)和功能在生物體中的出現(xiàn)感到興趣，期望為生物學(xué)中所謂的“形態(tài)來源論”找到一個(gè)化學(xué)基礎(chǔ)。他提出了這樣一個(gè)簡單問題：一個(gè)有機(jī)體是如何把一個(gè)化學(xué)渾湯規(guī)整成為一個(gè)生物結(jié)構(gòu)，如何使一團(tuán)完全相同的細(xì)胞變成一個(gè)有機(jī)體？這是生命形成的一個(gè)難題。比如，一個(gè)哺乳動(dòng)物的胚胎，本來是一個(gè)許多細(xì)胞組成的球體，支配它發(fā)展的生物化學(xué)反應(yīng)的均勻、不可逆的擴(kuò)散，本應(yīng)保持這種球?qū)ΨQ性，為何卻反而孕育出不具有這種球?qū)ΨQ性的動(dòng)物形體？圖靈證明了，受精卵變成生物的復(fù)雜形態(tài)所必需的這種對稱性的破壞，的確可以發(fā)生。他已經(jīng)觸及到了問題的底蘊(yùn)，即在平衡態(tài)附近，對稱的均勻狀態(tài)是穩(wěn)定的；遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)，均勻狀態(tài)就會(huì)因?yàn)闊o處不在的漲落而變成不穩(wěn)定的。圖靈還發(fā)現(xiàn)，各種顏色的物體具有不同的擴(kuò)散率，在液體里相互起反應(yīng)，就會(huì)變化其濃度而形成空間不隨時(shí)間變化的穩(wěn)態(tài)圖案，也可以產(chǎn)生彩色波浪的振蕩式圖案。圖靈的這種思想，在將近20年的時(shí)間里沒有受到化學(xué)家和生物學(xué)家的注意。 比圖靈的工作稍早，50年代初，俄國化學(xué)家別洛索夫(Be-lousov，B.P.1893～1970)做出了化學(xué)振蕩反應(yīng)的關(guān)鍵工作。他用檸檬酸、溴酸鉀、硫酸作配劑，用鈰鹽作催化劑進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，他驚訝地發(fā)現(xiàn)，溶液開始在無色和淡黃色兩種狀態(tài)間變來變?nèi)ィㄏ喈?dāng)于帶電鈰離子的兩種不同的形式），即發(fā)生了顏色規(guī)則的周期振蕩。這樣，別洛索夫就首次提供了一個(gè)實(shí)在的化學(xué)反應(yīng)，支持“反應(yīng)-擴(kuò)散”雙重不可逆過程可以產(chǎn)生自組織的概念。但不幸的是，這個(gè)反應(yīng)的奇特行為是化學(xué)家和生物學(xué)家們無法相信的，所以他的論文屢遭拒絕，最后在一個(gè)輻射醫(yī)學(xué)學(xué)術(shù)討論會(huì)的文集中刊登出來。當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為熱力學(xué)第二定律確言：任何化學(xué)反應(yīng)只能走向退化的平衡態(tài)，在兩種顏色之間的化學(xué)振蕩當(dāng)然是不可能的。 1963年，從莫斯科大學(xué)生物化學(xué)系畢業(yè)的扎鮑廷斯基(Zhabotinskii，A.M.)對別洛索夫的配方做了一些修改，主要是用鐵鹽代替了鈰鹽，使顏色更鮮艷地從藍(lán)變紅，出現(xiàn)周期性的紅-藍(lán)變化。如果化學(xué)混合物在一薄層內(nèi)擴(kuò)散，就會(huì)形成圓形波和螺旋波紋。這就是“BZ反應(yīng)”。這一發(fā)現(xiàn)終于取得了承認(rèn)，眾多的化學(xué)振蕩反應(yīng)被做了出來。近20多年來，自組織化學(xué)反應(yīng)的研究，已經(jīng)成為很時(shí)髦的一門學(xué)科。 美國化學(xué)家溫弗利(Winfree，Art)對此評論說：“雖然‘BZ反應(yīng)’談不上具有一個(gè)可以變異、可以演化的遺傳系統(tǒng)，它有不少特點(diǎn)，就是使我們對生物體系感到興趣的特點(diǎn)：諸如化學(xué)的新陳代謝（有機(jī)酸氧化為二氧化碳），自我組織的結(jié)構(gòu)，有節(jié)奏的活動(dòng)，在某些極限以內(nèi)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，在這些極限以外的不可逆的解體，一個(gè)自然的壽命等等?！雹?/p> 3．耗散結(jié)構(gòu)與自組織理論的提出 耗散結(jié)構(gòu)理論是在熱力學(xué)發(fā)展的過程中建立起來的。經(jīng)典的熱力學(xué)理論只適用于平衡態(tài)的過程，無法用以解釋像生命這種遠(yuǎn)離平衡和高度有序化的系統(tǒng)。所以必須把熱力學(xué)定律向非平衡態(tài)、非線性作用的領(lǐng)域推進(jìn)。就像圖14所示的熱擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)所表明的那樣，在非可逆的、非平衡態(tài)過程中，可以產(chǎn)生出有序性。 1931年，非平衡態(tài)熱力學(xué)的創(chuàng)始人之一、美籍挪威化學(xué)物理學(xué)家昂薩格(Onsager，Lars1903～1976)證明了不可逆過程熱力學(xué)的一個(gè)基本原理，對動(dòng)力系數(shù)對稱性的昂薩格定理。這一定理確立了廣義熱力學(xué)“流”和“勢”（或“力”）的線性關(guān)系。1932年，昂薩格又確立了非平衡態(tài)熱力學(xué)的一般關(guān)系，即著名的“昂薩格倒易關(guān)系”，這個(gè)關(guān)系在近平衡態(tài)的區(qū)域里成立。因?yàn)樵诮胶鈶B(tài)區(qū)域，作用力比較弱，“勢”或“力”（如溫度梯度、濃度梯度等）同由它引起的“流”（如熱流、擴(kuò)散流等）之間呈近似的線性關(guān)系。如圖14所示的實(shí)驗(yàn)里，溫度梯度如同一種熱力學(xué)力，給系統(tǒng)一個(gè)“推動(dòng)”，引發(fā)了熱量流和質(zhì)量流；當(dāng)溫度梯度不很大，即接近平衡的情況下，熱流和質(zhì)量流與造成它們的“力”直接成正比；這種情況下的熱力學(xué)被稱為“線性熱力學(xué)”。昂薩格的倒易關(guān)系表明，在線性系統(tǒng)中有一種美學(xué)上很漂亮的對稱關(guān)系：一個(gè)力（如某個(gè)溫度梯度）可以產(chǎn)生或影響一個(gè)流（如某個(gè)擴(kuò)散過程），那么這個(gè)流形成的力（如某個(gè)濃度梯度）也會(huì)影響與那個(gè)力聯(lián)系著的流（如熱流）。這個(gè)效應(yīng)已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上得到證實(shí)。倒易關(guān)系的提出標(biāo)志著熱力學(xué)從平衡態(tài)向非平衡態(tài)的推進(jìn)，它本身也是不可逆過程熱力學(xué)的最早結(jié)果之一。昂薩格為此獲得了1963年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。 1945年，普里戈金登上了熱力學(xué)的舞臺(tái)。他1917年出生于莫斯科，10年后隨同家人遷居西歐。后來師從比利時(shí)物理化學(xué)家德·頓戴(deDonder，Thophile1873～1957)投身于化學(xué)熱力學(xué)的研究，并逐漸成為布魯塞爾學(xué)派的領(lǐng)導(dǎo)人。他在時(shí)間的可逆與不可逆，物質(zhì)結(jié)構(gòu)的有序與無序，自然界的簡單性與復(fù)雜性，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定，運(yùn)動(dòng)規(guī)律的決定論與非決定論等重大問題上，都有深入的研究與獨(dú)到的見解，并創(chuàng)立了“耗散結(jié)構(gòu)理論”，獲得了1977年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)。 1945年，28歲的普里戈金發(fā)現(xiàn)，在線性表現(xiàn)良好的區(qū)域，熱力學(xué)耗散降到它可能的最低點(diǎn)。他假定在近平衡區(qū)域里，局域體積元可以看做平衡系統(tǒng)，然后根據(jù)熱力學(xué)第二定律以及昂薩格倒易關(guān)系，得到了“最小熵產(chǎn)生原理”。這個(gè)原理表明，在近平衡的情況下，熵是遞減函數(shù)；當(dāng)達(dá)到定態(tài)時(shí)，耗散處于一個(gè)極小值。比如在熱擴(kuò)散的情形下，總熵可能是增加的，但當(dāng)氣體最終的濃度梯度建立起來之后，系統(tǒng)內(nèi)稟的熵的產(chǎn)生率就達(dá)到它的最低值。 1947年，普里戈金發(fā)表了題為《不可逆現(xiàn)象的熱力學(xué)研究》的博士論文，其中包括了“最小熵產(chǎn)生原理”。這個(gè)原理表明，在線性非平衡區(qū)，熵產(chǎn)生起著平衡態(tài)理論中熱力學(xué)勢的作用，可作為判別線性非平衡區(qū)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)函數(shù)；它表明，在這個(gè)態(tài)上，如果由于干擾和漲落而有所偏離，系統(tǒng)內(nèi)部的變化都會(huì)使它回到原來的態(tài)，所以熵產(chǎn)生最小的態(tài)是穩(wěn)定態(tài)。但是它同時(shí)還表明，在近平衡的非平衡線性區(qū)域，不可能發(fā)生突變，使系統(tǒng)過渡到新的穩(wěn)定的有序結(jié)構(gòu)。 普里戈金提出的這個(gè)最小耗散概念，比起最大熵的平衡態(tài)概念來是更為有用的。因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)都不是完全處在平衡態(tài)的，總會(huì)具有進(jìn)一步演化的趨向。但是只要有一點(diǎn)很小的外部作用，使系統(tǒng)保持在偏離熱平衡的狀態(tài)，系統(tǒng)也將會(huì)實(shí)現(xiàn)一種穩(wěn)恒態(tài)，而不是塌陷到完全無序的狀態(tài)。如圖14所示的實(shí)驗(yàn)?zāi)菢?，一個(gè)不很大的溫度梯度，就會(huì)使氣體保持一種濃度梯度，不隨時(shí)間而改變。 最小熵產(chǎn)生原理雖然是一個(gè)重要的結(jié)果，但它的證明決定于昂薩格所描述的流與力之間的良好線性關(guān)系。他希望大膽地跨進(jìn)一步，探究遠(yuǎn)離平衡態(tài)的非線性系統(tǒng)的情景，以完成更為復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)隨時(shí)間演化的圖象，并把他的原理推廣到流和力的簡單關(guān)系被破壞的情況，找到一個(gè)關(guān)于演化的新的判據(jù)。從1947年到1967年，普里戈金和他的同事格蘭斯道夫(Glansdorff，Paul)一起，考察了大量不同系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡態(tài)時(shí)的不可逆過程，概括出了它們的演化行為的共同點(diǎn)，提出了“耗散結(jié)構(gòu)”的概念，建立了一種稱為“廣義熱力學(xué)”的理論。從本質(zhì)上講，他們使用的是一種“局部平衡”的近似方法，即把一個(gè)遠(yuǎn)離平衡態(tài)的系統(tǒng)，劃解為許多子系統(tǒng)，在局部上表現(xiàn)為平衡態(tài)；整個(gè)系統(tǒng)由這許許多多的局部連綴而成。這個(gè)方法與廣義相對論理論把彎曲時(shí)空想象為許多局部平直時(shí)空連綴在一起的方法是類似的。他們利用這種方法來研究平衡態(tài)熱力學(xué)遠(yuǎn)不能處理的情形。 1969年，在一個(gè)理論物理學(xué)和生物學(xué)的國際會(huì)議上，普里戈金在《結(jié)構(gòu)、耗散和生命》①的論文里，正式提出了“耗散結(jié)構(gòu)理論”。1971年，他和格蘭斯道夫合著的《結(jié)構(gòu)的熱力學(xué)理論，穩(wěn)定性和漲落》②，更系統(tǒng)地闡述了他們得出的可能對事物隨時(shí)間演化的方式做出判別的所謂“普適演化判據(jù)”。在第一篇論文的開頭，普里戈金就指出： “生物學(xué)與理論物理學(xué)之間仍然存在著巨大的鴻溝，這是非常明顯的。按照某些著名生物學(xué)家的看法，在空間和功能兩個(gè)方面的有序，乃是生命的基本特征。 生命問題當(dāng)然是一個(gè)‘多體問題’。因?yàn)橛行虻男纬珊途S持包含著大量分子的聯(lián)合作用。但是，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)在處理這種聯(lián)合現(xiàn)象上，目前尚處于初期階段。…… 在生命系統(tǒng)中，新陳代謝和能量的耗散，很可能起著本質(zhì)的作用?！?/p> 普里戈金說，他希望在熱力學(xué)的唯象方法的基礎(chǔ)上，去“討論生物有序之源，還想說明非線性熱力學(xué)的新近發(fā)展能夠使生物學(xué)和物理學(xué)之間的鴻溝縮小?！?/p> 普里戈金區(qū)分了兩種類型的結(jié)構(gòu)，即“平衡結(jié)構(gòu)”和“耗散結(jié)構(gòu)”。平衡結(jié)構(gòu)是一種不與外界進(jìn)行任何能量和物質(zhì)交換就可以維持的“死”的有序結(jié)構(gòu)；而耗散結(jié)構(gòu)則只有通過與外界不斷交換能量和物質(zhì)才能維持其有序狀態(tài)，這是一種“活”的結(jié)構(gòu)。普里戈金-格蘭斯道夫的判據(jù)指出，對于一個(gè)與外界有能量和物質(zhì)交換的開放系統(tǒng)，在到達(dá)遠(yuǎn)離平衡態(tài)的非線性區(qū)時(shí)，一旦系統(tǒng)的某個(gè)參量變化到一定的閾值，穩(wěn)恒態(tài)就變得不穩(wěn)定了，出現(xiàn)一個(gè)“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”或稱為“分叉點(diǎn)”，系統(tǒng)就可能發(fā)生突變，即非平衡相變，演化到某種其它狀態(tài)。一個(gè)重要的新的可能性是，在第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)之后，系統(tǒng)在空間、時(shí)間和功能上可能會(huì)呈現(xiàn)高度的組織性，即到達(dá)一個(gè)高度有序的新狀態(tài)。例如在某些遠(yuǎn)離平衡的化學(xué)反應(yīng)中，可以出現(xiàn)規(guī)則的顏色變化或者漂亮的彩色渦旋。應(yīng)該指出的是，當(dāng)系統(tǒng)遠(yuǎn)離平衡時(shí)，整體熵產(chǎn)生以極快的速率增長，這是與熱力學(xué)第二定律一致的。但是在小的尺度范圍內(nèi)，卻可能出現(xiàn)極其有序的結(jié)構(gòu)。這是只有在系統(tǒng)是開放的，通過與外界的能量和物質(zhì)交換而保持在偏離平衡的狀態(tài)時(shí)才可能出現(xiàn)的。因?yàn)檫@才使得系統(tǒng)所產(chǎn)生的熵可以輸送到外界，使系統(tǒng)處于低熵的有序狀態(tài)。 普里戈金和格蘭斯道夫所給出的確實(shí)不像他們自己所說的是一個(gè)“普適演化判據(jù)”，而只是一個(gè)“弱”判據(jù)。因?yàn)樗皇侵赋隽藷崃W(xué)轉(zhuǎn)折點(diǎn)存在的可能性，沒有給出它的必然性；對于在第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)之后會(huì)發(fā)生什么情況，他們的非平衡態(tài)熱力學(xué)只給出了一個(gè)模糊的圖象，系統(tǒng)的演化有多種多樣的可能性可供選擇。這種極度的復(fù)雜性，使得確定性的因果聯(lián)系的描述變?yōu)椴豢赡?。對于一個(gè)化學(xué)家來說，這些選擇可能意味著反應(yīng)過程出現(xiàn)顏色的周期性變化或顯現(xiàn)出彩色圖案；對于一個(gè)生態(tài)學(xué)家來說，這些選擇可能是生物種群的交替變化或?qū)崿F(xiàn)一個(gè)穩(wěn)恒態(tài)；對于一個(gè)醫(yī)生來說，這或許是心臟病發(fā)作的預(yù)兆。但是無論如何，普里戈金-格蘭斯道夫的“判據(jù)”還是非常有價(jià)值的，因?yàn)樗赋鲈谶@種“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”之后，我們在有些情況下可以看到有序結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。它表明，熱力學(xué)定律并不禁止有序結(jié)構(gòu)的自發(fā)產(chǎn)生，這就是普里戈金和格蘭斯道夫所創(chuàng)立的理論的真正意義。在《結(jié)構(gòu)、耗散和生命》這篇有里程碑意義的論文的“結(jié)束語”里，普里戈金寫道：“生命看來好像不再作為反對熱力學(xué)第二定律的一個(gè)支撐點(diǎn)，盡管有某些‘麥克斯韋妖’方面的工作，然而下述物理定律合乎特有的動(dòng)力學(xué)定律和遠(yuǎn)離平衡的條件。這些特有的動(dòng)力學(xué)定律允許能量和物質(zhì)流動(dòng)，以建立和維持功能有序和結(jié)構(gòu)有序?！焙纳⒔Y(jié)構(gòu)理論就這樣把熱力學(xué)定律和生物進(jìn)化論協(xié)調(diào)起來，解決了克勞修斯關(guān)于物理過程是從有序到無序發(fā)展，而達(dá)爾文確言生物世界是從無序到有序發(fā)展的“演化悖論”。 |
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