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平面幾何定理及公式 22 邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等 28 定理 2 到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上 29 推論 1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊 32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合 33 推論 3 等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（等角對等邊） 35 推論 1 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形 36 推論 2 有一個(gè)角等于 60°的等腰三角形是等邊三角形 37 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半 39 定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 40 逆定理 和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合 42 定理 1 關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等形 43 定理 2 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線 44 定理 3 兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在 對稱軸上 45 逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條 直線對稱 46 勾股定理 直角三角形兩直角邊 a、b 的平方和、等于斜邊 c 的平方，即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長 a、b、c 有關(guān)系 a^2+b^2=c^2 ，那么這個(gè) 三角形是直角三角形 48 定理 四邊形的內(nèi)角和等于 360° 49 四邊形的外角和等于 360° 50 多邊形內(nèi)角和定理 n 邊形的內(nèi)角的和等于（n-2）×180° 51 推論 任意多邊的外角和等于 360° 52 平行四邊形性質(zhì)定理 1 平行四邊形的對角相等 53 平行四邊形性質(zhì)定理 2 平行四邊形的對邊相等 54 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等 55 平行四邊形性質(zhì)定理 3 平行四邊形的對角線互相平分 56 平行四邊形判定定理 1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形 57 平行四邊形判定定理 2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 58 平行四邊形判定定理 3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 59 平行四邊形判定定理 4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形 60 矩形性質(zhì)定理 1 矩形的四個(gè)角都是直角 61 矩形性質(zhì)定理 2 矩形的對角線相等 62 矩形判定定理 1 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 63 矩形判定定理 2 對角線相等的平行四邊形是矩形 64 菱形性質(zhì)定理 1 菱形的四條邊都相等 65 菱形性質(zhì)定理 2 菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角 66 菱形面積=對角線乘積的一半，即 S=（a×b）÷2 67 菱形判定定理 1 四邊都相等的四邊形是菱形 68 菱形判定定理 2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形 69 正方形性質(zhì)定理 1 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等 70 正方形性質(zhì)定理 2 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一 組對角 71 定理 1 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形是全等的 72 定理 2 關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分 73 逆定理 如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分， 那么這兩個(gè)圖 形關(guān)于這一點(diǎn)對稱 74 等腰梯形性質(zhì)定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等 75 等腰梯形的兩條對角線相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 77 對角線相等的梯形是等腰梯形 78 平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線 上截得的線段也相等 79 推論 1 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰 80 推論 2 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊 81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半 82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h 83 (1)比例的基本性質(zhì) 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性質(zhì) 如果 a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d 85 (3)等比性質(zhì) 如果 a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0), 那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b 86 平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例 87 推論 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）， 所得的對應(yīng)線段成例 88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊 89 平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例 90 定理 平行于三角形一邊的直線和其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS） 94 判定定理 3 三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS） 95 定理 如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似 96 性質(zhì)定理 1 相似三角形對應(yīng)高的比， 對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比 97 性質(zhì)定理 2 相似三角形周長的比等于相似比 98 性質(zhì)定理 3 相似三角形面積的比等于相似比的平方 99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值 100 任意銳角的正切值等于它的余角的余切值， 任意銳角的余切值等于它的余角的正切值 105 到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓 106 和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線 107 到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線 108 到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線 109 定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。 110 垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧 111 推論 1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧 ②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧 ③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 112 推論 2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 113 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形 114 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等 115 推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等 116 定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 117 推論 1 同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中， 相等的圓周角所對的弧也相等 118 推論 2 半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑 119 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 120 定理 圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角 121①直線 L 和⊙O 相交 d＜r ②直線 L 和⊙O 相切 d=r ③直線 L 和⊙O 相離 d＞r 122 切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 123 切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑 124 推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) 125 推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 126 切線長定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角 127 圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等 128 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角 129 推論 如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等 130 相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等 131 推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 132 切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線 段長的比例中項(xiàng) 133 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 134 如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上 135①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r ③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內(nèi)含 d＜R-r(R＞r) 136 定理 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 137 定理 把圓分成 n(n≥3): ⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正 n 邊形 ⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正 n 邊 形 138 定理 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓 139 正 n 邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n 140 定理 正 n 邊形的半徑和邊心距把正 n 邊形分成 2n 個(gè)全等的直角三角形 141 正 n 邊形的面積 Sn=pnrn／2 p 表示正 n 邊形的周長 142 正三角形面積√3a／4 a 表示邊長 143 如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有 k 個(gè)正 n 邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為 360°， 因此 k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4 144 弧長計(jì)算公式：L=n 兀 R／180 145 扇形面積公式：S 扇形=n 兀 R^2／360=LR／2 146 內(nèi)公切線長= d-(R-r) 外公切線長= d-(R+r) 初中幾何證明的一般途徑 證明兩線段相等 1.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。 2.同一三角形中等角對等邊。 3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。 4.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。 5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。 6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。 7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。 *9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。 *10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段 相等。 11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。 *12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。 13.等于同一線段的兩條線段相等。 證明兩個(gè)角相等 1.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。 2.同一三角形中等邊對等角。 3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。 4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對角相等。 5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。 *6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。 *7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。 8.相似三角形的對應(yīng)角相等。 *9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角。 10.等于同一角的兩個(gè)角相等。 證明兩直線平行 垂直于同一直線的各直線平行。 2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。 3.平行四邊形的對邊平行。 4.三角形的中位線平行于第三邊。 5.梯形的中位線平行于兩底。 6.平行于同一直線的兩直線平行。 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。 證明兩條直線互相垂直 等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。 2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。 3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。 4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。 6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。 7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的對角線互相垂直。 *10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。 *11.利用半圓上的圓周角是直角。 證明線段的和差倍分 1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。 2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。 3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。 4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。 5.利用一些定理（三角形的中位線、含 30 度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、 三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等） 。 證明 角的和差倍分 1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。 2.利用角平分線的定義。 3.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。 證明線段不等 1.同一三角形中，大角對大邊。 2.垂線段最短。 3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 4.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。 *5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。 6.全量大于它的任何一部分。 證明兩角的不等 1.同一三角形中，大邊對大角。 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。 3.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。 *4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。 5.全量大于它的任何一部分。 證明比例式或等積式 1.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。 2.利用內(nèi)外角平分線定理。 3.平行線截線段成比例。 4.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。 *5.與圓有關(guān)的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。 6.利用比利式或等積式化得。 證明四點(diǎn)共圓 1.對角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。 *2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。 *3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)） 。 *4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。 *5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓） |
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