1.(改編)已知過點P(－4，m＋1)和Q(m－1,6)的直線斜率等于1，那么m的值為( A )

A．1 B．4

C．1或3 D．1或4

解析：由斜率公式得k＝＝1，解得m＝1，故選A.

2.(2012·煙臺調(diào)研)過兩點(0,3)，(2,1)的直線方程為( B )

A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0

C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0

解析：由兩點式得：＝，即x＋y－3＝0，故選B.

3.(2012·海南嘉積中學(xué)期末)直線l與直線y＝1，直線x＝7分別交于P，Q兩點，PQ的中點為M(1，－1)，則直線l的斜率是( D )

A. B.

C．－ D．－

解析：因為PQ的中點為M(1，－1)，

所以由條件知P(－5,1)，Q(7，－3)，

所以k＝＝－，故選D.

4.已知直線x＝2及x＝4與函數(shù)y＝log₂x圖象的交點分別為A，B，與函數(shù)y＝lg x圖象的交點分別為C、D兩點，則直線AB與CD( D)

A．相交，且交點在第一象限

B．相交，且交點在第二象限

C．相交，且交點在第四象限

D．相交，且交點在坐標原點

解析：由圖象可知直線AB與CD相交，兩直線方程分別為AB：y＝x，CD：y＝x，則其交點為坐標原點，故選D.

5.(2012·貴陽模擬)直線l經(jīng)過點A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是 k＞或k＜－1 .

解析：設(shè)直線l的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，直線在x軸上的截距為1－，令－3＜1－＜3，解不等式可得k＞或k＜－1.

6.(2012·濟南模擬)過點(1,3)作直線l，若經(jīng)過點(a,0)和 (0，b)，且a∈N^*，b∈N^*，則可作出的直線l有 2 條．

解析：由題意＋＝1，所以(a－1)(b－3)＝3，

此方程有兩組正整數(shù)解或，有2條．

7.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直線坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(－3,4)，且法向量為n＝(1，－2)的直線(點法式)方程為1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡得x－2y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經(jīng)過點A(1, 2,3)且法向量為n＝(－1，－2,1)的平面(點法式)方程為 x＋2y－z－2＝0 (請寫出化簡后的結(jié)果)．

解析：所求方程為(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，化簡即得x＋2y－z－2＝0.

8.等腰△ABC的頂點為A(－1,2)，又直線AC的斜率為，點B的坐標為(－3,2)，求直線AC、BC及∠A的平分線所在的直線方程．

解析：由點斜式得直線AC的方程為y＝x＋2＋.

因為AB∥x軸，又△ABC是以A為頂點的等腰三角形且直線AC的傾斜角為，

所以直線BC的傾斜角α為或.

①當α＝時，直線BC的方程為y＝x＋2＋.

又∠A的平分線的傾斜角為，

所以∠A的平分線所在直線的方程為y＝－x＋2－.

②當α＝時，直線BC的方程為y＝－x＋2－3.

又∠A的平分線的傾斜角為，

所以∠A的平分線所在直線的方程為y＝x＋2＋.

9.已知兩點A(－1,2)，B(m,3)．

(1)求直線AB的方程；

(2)已知實數(shù)m∈[－－1，－1]，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．

解析：(1)當m＝－1時，直線AB的方程為x＝－1；

當m≠－1時，直線AB的方程為y－2＝(x＋1)．

(2)①當m＝－1時，α＝；

②當m≠－1時，m＋1∈[－，0)∪(0，]，

所以k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，

所以α∈[，)∪(，]．

綜合①②知，直線AB的傾斜角α∈[，].

1.某物體一天中的溫度T(單位：℃)是時間t(單位：h)的函數(shù)：T(t)＝t³－3t＋60(℃)，t＝0表示中午12：00，其后t取值為正，則該物體下午3點時的溫度為( B )

A. 8 ℃ B. 78 ℃

C. 112 ℃ D. 18 ℃

解析：據(jù)題意，下午3時對應(yīng)的t＝3，

所以T(3)＝78 ℃，故選B.

2.某旅店有客床100張，各床每天收費10元時可全部額滿．若每床每天收費每提高2元，則減少10張客床租出，這樣，為了減少投入多獲利，每床每天收費應(yīng)提高( C )

A．2元 B．4元

C．6元 D．8元

解析：設(shè)每床每天收費提高2x(x∈N^*)，

則收入y＝(10＋2x)(100－10x)＝20(5＋x)(10－x)，

所以當x＝2或3時，y取最大值．

當x＝2時，y＝1120，當x＝3時，y＝1120.

為滿足減少投入要求應(yīng)在收入相同的條件下多空出床位，故x＝3，故選C.

3.已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x³＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為( C )

A．13萬件 B．11萬件

C．9萬件 D．7萬件

4.某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入客運，據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y萬元與營運年數(shù)x (x∈N^*)的關(guān)系式為y＝－x²＋12x－25，則為使其營運年平均利潤最大，每輛客車營運年數(shù)為( C )

A．2 B．4

C．5 D．6

解析：平均利潤＝

＝12－(x＋)

≤12－10＝2，

當且僅當x＝，即x＝5時，等號成立，故選C.

5.1海里約合1852 m，根據(jù)這一關(guān)系，米數(shù)y關(guān)于海里x的函數(shù)解析式為 y＝1852x(x≥0) .

6.某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x＝ 20 噸．

解析：(方法一)設(shè)總費用為y萬元，則有

y＝·4＋4x≥2＝160，

當且僅當·4＝4x，即x＝20時，y取最小值．

(方法二)設(shè)總費用為y萬元，則有

y＝·4＋4x＝＋4x(x>0)，

由y′＝－＋4＝0，得x＝20.

所以當x＝20時，y取最小值．

7.(2013·珠海質(zhì)檢)某種細胞在培養(yǎng)過程中正常情況下，時刻t(單位：分鐘)與細胞數(shù)n(單位：個)的部分數(shù)據(jù)如下：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推測繁殖到1000個細胞時的時刻t最接近于 200 分鐘．

解析：由表格中所給數(shù)據(jù)可以得出n與t的函數(shù)關(guān)系為n＝2，令n＝1000，得2＝1000，又2¹⁰＝1024，所以時刻t最接近200分鐘．

8.商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)n是羊毛衫標價x的一次函數(shù)，標價越高，購買人數(shù)越少．已知標價為每件300元時，購買人數(shù)為零．標價為每件225元時，購買人數(shù)為75人．若這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的相同價格(標價)出售，問：

(1)商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應(yīng)定為每件多少元？

(2)通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標價為每件多少元？

解析：(1)設(shè)購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，

則n＝kx＋b(k<0)，

所以，所以，

所以n＝－x＋300.

y＝－(x－300)·(x－100)＝－(x－200)²＋10000，x∈(100,300]，

所以x＝200時，y_max＝10000，

即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應(yīng)定為每件200元．

(2)由題意得，

－(x－300)·(x－100)＝10000×75%，

所以x²－400x＋30000＝－7500，

所以x²－400x＋37500＝0，

所以(x－250)(x－150)＝0，所以x₁＝250，x₂＝150.

所以當商場以每件150元或250元出售時，可獲得最大利潤的75%.

9.經(jīng)市場調(diào)查，某城市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t(件)，價格近似滿足f(t)＝20－|t－10|(元)．

(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0≤t≤20)的函數(shù)表達式；

(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．

解析：(1)y＝g(t)·f(t)

＝(80－2t)·(20－|t－10|)

＝(40－t)(40－|t－10|)

＝.

(2)當0≤t<10時，y的取值范圍是[1200,1225]．

在t＝5時，y取得最大值為1225；

當10≤t≤20時，y的取值范圍是[600,1200]，

在t＝20時，y取得最小值為600.

答：第5天，日銷售額y取得最大值為1225元，第20天，y取得最小值600元．

1.已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角是( B )

A．30° B．60°

C．90° D．120°

2.(2012·東北三省四市教研協(xié)作體第二次調(diào)研測)已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2AB，E為AA₁的中點，則異面直線BE與CD₁所成的角的余弦值為( C )

A. B.

C. D.

解析：令AB＝1，則AA₁＝2，連接A₁B.因為CD₁∥A₁B，異面直線BE與CD₁所成的角即A₁B與BE所成的角．

在△A₁BE中，由余弦定理易得cos ∠A₁BE＝，故選C.

3.如果平面的一條斜線和它在這個平面上的射影的方向向量分別是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么這條斜線與平面的夾角是( D )

A．90° B．60°

C．45° D．30°

解析：cos θ＝＝，因此a與b的夾角為30°.

4.(2013·河北省普通高中質(zhì)量檢測)三棱錐P-ABC的兩側(cè)面PAB、PBC都是邊長為2a的正三角形，AC＝a，則二面角A-PB-C的大小為( D )

A．90° B．30°

C．45° D．60°

解析：取PB的中點為M，連接AM，CM，則AM⊥PB，CM⊥PB，所以∠AMC為二面角A-PB-C的平面角．在等邊△PAB與等邊△PBC中知AM＝CM＝a，即△AMC為正三角形，所以∠AMC＝60°，故選D.

5.(2012·江西省吉安市二模)已知正六棱錐的底面邊長為1，體積為，其側(cè)棱與底面所成的角等于 .

解析：設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)棱與底面所成的角為θ，

則×6××1²×h＝，解得h＝，

于是tan θ＝，故θ＝.

6.(2012·福建省福州市3月質(zhì)檢)已知三棱錐底面是邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長均為2，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值為( D )

A. B.

C. D.

解析：由題意知該三棱錐是正三棱錐，如圖，故頂點S在底面上的射影是底面正三角形的中心O，則AO＝×＝，所以cos ∠SAO＝＝＝，故選D.

7.(2012·海南?？?月檢測)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-BD₁-B₁的大小為 120° .

解析：以D為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖．

設(shè)A(1,0,0)，則D₁(0,0,1)，B(1,1,0)，B₁(1,1,1)，C(0,1,0)，

則＝(－1,1,0)為平面BB₁D₁的一個法向量，

設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABD₁的一個法向量，

則n·＝0，n·＝0，

又＝(－1,0,1) ，＝(0,1,0)，

所以，所以，

令x＝1，則z＝1，所以n＝(1,0,1)，

所以cos〈，n〉＝＝＝－，

所以〈，n〉＝120°，

故二面角A-BD₁-B₁的大小為120°.

8.如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是正方形ADD₁A₁和ABCD的中心，G是CC₁的中點．設(shè)GF、C₁E與AB所成的角分別為α，β，求α＋β.

解析：建立空間直角坐標系如圖．設(shè)正方體的棱長為2.

則B(2,0,0)，A(2, 2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C₁(0,0,2)，E(1,2,1)．

則＝(0,2,0)，＝(1,1，－1)，＝(1,2，－1)，

所以cos 〈，〉＝，cos 〈，〉＝，

所以cos α＝，cos β＝，sin β＝，

所以α＋β＝90°.

9.(2013·廣東省高州市二模)已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，求：

(1)直線AD與平面BCD所成角的大?。?/p>

(2)二面角A-BD-C的余弦值．

解析：(1)如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AH⊥BC，垂足為H，則AH⊥平面DBC，

所以∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角，

由題設(shè)知△AHB≌△AHD，

則DH⊥BH，AH＝DH，所以∠ADH＝45°.

所以直線AD與平面BCD所成的角為45°.

(2)過H作HR⊥BD，垂足為R，連接AR，

則由AH⊥平面BCD，

所以AH⊥BD，AH∩HR＝H，

所以BD⊥平面AHR，所以BD⊥AR.

故∠ARH為二面角A-BD-C的平面角的補角，

設(shè)BC＝a，則由題設(shè)知，AH＝DH＝a，BH＝.

在△HDB中，HR＝a，

所以tan ∠ARH＝＝2，

故二面角A-BD-C的余弦值的大小為－.

1.如圖所示，函數(shù)圖象與x軸均有公共點，但不能用二分法求公共點橫坐標的是( B )

解析：由二分法定義可知選B.

2.(2012·三明市高三上學(xué)期聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝3^x－log₂(－x)的零點所在區(qū)間是( B )

A．(－，－2) B．(－2，－1)

C．(1,2) D．(2,5)

解析：因為f(－2)＝3^－2－log₂2＝－<0，f(－1)＝3^－1－log₂1＝>0，即f(－2)f(－1)<0，故選B.

3.(改編)函數(shù)f(x)＝(x²－1)cos 2x在區(qū)間[0,2π]上的零點個數(shù)為( B )

A．6 B．5

C．4 D．3

解析：由f(x)＝(x²－1)cos 2x＝0，得x²－1＝0或cos 2x＝0.

由x²－1＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)．

由cos 2x＝0，得2x＝kπ＋(k∈Z)，故x＝＋(k∈Z)．

又因為x∈[0,2π]，所以x＝，，，.

所以零點的個數(shù)為1＋4＝5個，故選B.

4.(2012·山東省5月沖刺)a是f(x)＝2^x－logx的零點，若0<<I>x₀<<I>a，則f(x₀)的值滿足( B )

A．f(x₀)＝0 B．f(x₀)<0

C．f(x₀)>0 D．f(x₀)的符號不確定

解析：函數(shù)f(x)＝2^x＋log₂x在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，這個函數(shù)有零點，則這個零點是唯一的，根據(jù)函數(shù)f(x)是單調(diào)遞增的，所以在(0，a)上，函數(shù)f(x)的函數(shù)值小于零，即f(x₀)<0.

5.某同學(xué)在求方程lgx＝2－x的近似解(精確到0.1)時，設(shè)f(x)＝lgx＋x－2，發(fā)現(xiàn)f(1)<0，f(2)>0，他用“二分法”又取了4個值，通過計算得到方程的近似解為x≈1.8，那么他所取的4個值中的第二個值為 1.75 .

解析：按照“二分法”又取的第一個值是1.5，第二值是1.5與2的中間值1.75.

6.(2012·福建莆田市3月質(zhì)量檢查)函數(shù)f(x)＝所有零點的和等于 0 .

解析：當x＜0時，()^x－2＝0，解得x＝－1；

當x≥0時，x－1＝0，得x＝1，所以所有零點之和為0.

7.(2012·浙江省重點中學(xué)協(xié)作體高三第二學(xué)期4月聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝，則函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的所有零點所構(gòu)成的集合為 {－3，，，－} .

解析：由y＝f[f(x)]＋1＝0，得f(x)＝－2或f(x)＝，于是x＝－3或或或－，經(jīng)驗證它們都是函數(shù)f(x)的零點，所以所有零點所構(gòu)成的集合為{－3，，，－}．

8.已知函數(shù)f(x)＝2(m－1)x²－4mx＋2m－1.

(1)m為何值時，函數(shù)圖象與x軸只有一個公共點．

(2)如果函數(shù)的一個零點在原點，求m的值．

解析：(1)由條件知當m＝1時，函數(shù)f(x)＝－4x＋1與x軸只有一個交點，滿足條件；

當m≠1時，Δ＝(－4m)²－8(m－1)(2m－1)＝0，解得m＝.

綜上知，當m＝1或時，函數(shù)f(x)的圖象與x軸只有一個公共點．

(2)函數(shù)的一個零點在原點，即x＝0為f(x)＝0的一個根，

所以有2(m－1)×0²－4m·0＋2m－1＝0，解得m＝.

9.證明：方程x²－x－3＝0在[－2,3]上恰有兩個實數(shù)解．

證明：設(shè)f(x)＝x²－x－3＝(x－)²－，

由于f(－2)＝f(3)＝3>0，f()＝－<0，

因此函數(shù)f(x)在[－2，]，[，3]內(nèi)至少有一個零點．

又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[，3]上單調(diào)遞增，

故函數(shù)f(x)在[－2，]，[，3]上都只有一個零點，

從而函數(shù)f(x)在[－2,3]上恰有兩個零點，

即方程x²－x－3＝0在[－2,3]上恰有兩個實數(shù)解．