把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。
因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下：
1、 提公因法
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來，
從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。
【例1】 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)
x -2x -x=x(x -2x-1)
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【因式分解的十二種方法】 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。
因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)總結(jié)如下： 1、 提公因法 如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提出來， 從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。 【例1】 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 應(yīng)用公式法
由于分解因式與整式乘法有著互逆的關(guān)系，如果把乘法公式反過來， 那么就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式。 【例】分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、 分組分解法
要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項(xiàng)分成一組， 并提出公因式a，把它后兩項(xiàng)分成一組，并提出公因式b，從而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n) 【例】分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、 十字相乘法
對于mx +px+q形式的多項(xiàng)式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p， 則多項(xiàng)式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 【例】分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法
對于那些不能利用公式法的多項(xiàng)式，有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解。 【例】分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添項(xiàng)法
可以把多項(xiàng)式拆成若干部分，再用進(jìn)行因式分解。 【例】分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) 7、 換元法
有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來。 【例】分解因式2x -x -6x -x+2 解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x =x [2(x + )-(x+ )-6 令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6 = x [2(y -2)-y-6] = x (2y -y-10) =x (y+2)(2y-5) =x (x+ +2)(2x+ -5) = (x +2x+1) (2x -5x+2) =(x+1) (2x-1)(x-2) 8、 求根法
令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 【例】分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0 通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1 則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) 9、 圖象法
令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,……x ，則多項(xiàng)式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 【例】因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6 作出其圖象，見右圖，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2 則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) 10、 主元法
先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。 【例】分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b) 分析：此題可選定a為主元，將其按次數(shù)從高到低排列 解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) 11、 利用特殊值法 將2或10代入x，求出數(shù)P，將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。 【例】分解因式x +9x +23x+15 解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值 則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5） 12、待定系數(shù)法 首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。 【例】分解因式x -x -5x -6x-4 分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。 解：設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d) = x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd 所以 解得 則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4) |
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