1．中國對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)

史料記載, 我國在戰(zhàn)國時(shí)期就認(rèn)識(shí)到了負(fù)數(shù)。如李悝（約前455-395）在《法經(jīng)》中寫道，“衣五人終歲用千五百不足四百五十”。而在甘肅居延出土的漢簡(jiǎn)中, 有“相除以負(fù)百二十四算” 、“負(fù)二千二百四十五算” 、“ 負(fù)四算, 得七算, 相除得三算”等類似敘述,這里把“負(fù)”與“得”相比，意為缺少、虧空,就是今天負(fù)數(shù)的雛形。

關(guān)于負(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則是在我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》給出的，其最晚成書于公元前1世紀(jì)。

同名相除, 異名相益，正無入負(fù)之, 負(fù)無入正之.其異名相除, 同名相益, 正無入正之, 負(fù)無入負(fù)之.

這里的“同名”、“異名”, 就是“同號(hào)” 和“異號(hào)”,“相益” 、“相除” 是二數(shù)絕對(duì)值“相加” 和“相減” ,“無”即“零” 。前四句為減法法則，后四句為加法法則。大意為：同號(hào)兩數(shù)相減，等于其絕對(duì)值相減（若絕對(duì)值較大者為被減數(shù)，則符號(hào)不變；否則要改變符號(hào)）；異號(hào)兩數(shù)相減, 等于其絕對(duì)值相加（取絕對(duì)值較大者符號(hào)）；零減正數(shù)得負(fù)數(shù)，零減負(fù)數(shù)得正數(shù)。異號(hào)兩數(shù)相加, 等于其絕對(duì)值相減（取絕對(duì)值較大者符號(hào)）；同號(hào)兩數(shù)相加, 等于其絕對(duì)值相加（符號(hào)不變）；零加正數(shù)等于正數(shù), 零加負(fù)數(shù)等于負(fù)數(shù)。

 劉徽(約225-295)在注釋《九章算術(shù)》時(shí)，給出負(fù)數(shù)解釋，“兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。”意為在計(jì)算過程中遇到具有相反意義的量，應(yīng)用正負(fù)數(shù)加以區(qū)分。他還第一次給出區(qū)分正負(fù)數(shù)的方法：“正算赤，負(fù)算黑；否則以邪正為異?！奔丛谒慊I運(yùn)算中，用紅籌表示正數(shù)，用黑籌表示負(fù)數(shù)；亦可用斜放小竹棍表示負(fù)數(shù)，用正放小竹棍表示正數(shù)。用不同顏色的數(shù)表示正負(fù)數(shù)，一直沿用至今。

 此外，東漢末年的劉洪(約130-210)和宋代楊輝也論及了正負(fù)數(shù)加減法則，皆與《九章算術(shù)》一致。尤為稱道的是，朱世杰(1249-1314)在其1299年問世的《算學(xué)啟蒙》中給出正負(fù)數(shù)的乘除法則：

同名相乘為正，異名相乘為負(fù)，同名相除所得為正, 異名相除所得為負(fù).

這里的乘除運(yùn)算已是今天的乘除了。

2．印度對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)

印度最早使用負(fù)數(shù)者是婆羅摩笈多(Brahmagupta，598-665), 其在628年完成的《婆羅摩修正體系》第18章中給出了正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則, 他認(rèn)為負(fù)數(shù)就是負(fù)債和損失, 并用小點(diǎn)或小圈標(biāo)在數(shù)字上面表示負(fù)數(shù)。和當(dāng)時(shí)印度數(shù)學(xué)家一樣，婆羅摩笈多將文字編排成橢圓形句子，而且最后會(huì)有一個(gè)環(huán)狀排列的詩，讓人讀起來感覺很美妙。

       圖1   婆羅摩笈多                    圖2 邦貝利

對(duì)于正負(fù)數(shù)加減法法則，他敘述道：

18.30：正數(shù)加正數(shù)為正數(shù)，負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)為負(fù)數(shù)。正數(shù)加負(fù)數(shù)為彼此之差，若它們相等，其結(jié)果為零。負(fù)數(shù)加零為負(fù)數(shù)，正數(shù)加零為正數(shù)，零加零為零。

18.32：負(fù)數(shù)減零為負(fù)數(shù)，正數(shù)減零為正數(shù)，零減零為零，正數(shù)減負(fù)數(shù)為彼此之和。

對(duì)于正負(fù)數(shù)乘除法法則，他敘述道：

18.33：正負(fù)得負(fù)，負(fù)負(fù)得正，正正得正，正數(shù)乘零﹑負(fù)數(shù)乘零和零乘零皆為零。

18.34：正數(shù)除正數(shù)或負(fù)數(shù)除負(fù)數(shù)皆為正數(shù)，正數(shù)除負(fù)數(shù)或負(fù)數(shù)除正數(shù)皆為負(fù)數(shù)，零除零為零。

18.35：正數(shù)或負(fù)數(shù)除零，有零作為該數(shù)的除數(shù)；零除正數(shù)或負(fù)數(shù)，有正數(shù)或負(fù)數(shù)作為該數(shù)的除數(shù)。正數(shù)或負(fù)數(shù)的平方為正數(shù)，零的平方為零。

可見婆羅摩笈多已明確把0作為一個(gè)數(shù)來對(duì)待，這在當(dāng)時(shí)是個(gè)了不起的數(shù)學(xué)成就。他還試圖以0作分母，認(rèn)為0/0=0，實(shí)際上其值在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中是不確定的。

 3．西方對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)

     古巴比倫人在解方程中未提出負(fù)根概念，即不用或未發(fā)現(xiàn)負(fù)數(shù)根。西方首先使用負(fù)數(shù)者應(yīng)是古希臘的丟番圖 (Diophantus，約246-330) , 盡管他不承認(rèn)方程的負(fù)根,但已認(rèn)識(shí)到“減數(shù)乘減數(shù)得加數(shù), 加數(shù)乘減數(shù)得減數(shù)”。 若在解方程中出現(xiàn)負(fù)根，他就放棄此根。

至14世紀(jì)，丘凱(N.Chuquet，1445-1500)和斯蒂弗爾(M. Stifel，1487-1567)都稱負(fù)數(shù)為“荒謬之?dāng)?shù)”。卡爾達(dá)諾(G..Cardano，1501-1576)在其《大術(shù)》中承認(rèn)了負(fù)根, 但卻認(rèn)為負(fù)數(shù)是“假數(shù)”。直到1572年，邦貝利(R.Bombelli，1526-1572)在其《代數(shù)學(xué)》中才給出了負(fù)數(shù)的明確定義。然而在17世紀(jì)以前, 西方有不少數(shù)學(xué)家不承認(rèn)負(fù)數(shù)，如韋達(dá)(F.Viète，1540－1603),在解方程時(shí)極力回避負(fù)數(shù), 并把負(fù)根統(tǒng)統(tǒng)舍去。由于把零看作“無” , 因而難以理解比“無” 還要“少”。如帕斯卡（B.Pascal ，1623-1662）認(rèn)為，從0減去4是純粹胡說。而阿潤德則舉例強(qiáng)烈反對(duì)負(fù)數(shù)，若(-1):1=1:(-1)，則有較小數(shù)與較大數(shù)之比等于較大數(shù)與較小數(shù)之比，豈不荒謬！

直到1629年，荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德(A.Girard，1593-1632)才使用負(fù)數(shù)解決幾何問題，并在其《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》中用“-”表示負(fù)數(shù)和減法運(yùn)算。吉拉德的符號(hào)得到公認(rèn)，一直沿用至今。

與中國數(shù)學(xué)家不同的是，西方數(shù)學(xué)家更多的是關(guān)注負(fù)數(shù)存在的合理性。隨著19世紀(jì)實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)的建立，負(fù)數(shù)在邏輯上的合理性才算真正建立起來。可見負(fù)數(shù)概念在西方國家被認(rèn)可經(jīng)歷了較長(zhǎng)的一段時(shí)間。故負(fù)數(shù)的率先引進(jìn)是我國古代數(shù)學(xué)家奉獻(xiàn)給數(shù)學(xué)科學(xué)的一份瑰寶。

參考文獻(xiàn)

[1] [美]克萊因.西方文化中的數(shù)學(xué)[M].張祖貴譯.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2004.

[2] 李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3] [英]李約瑟.中國科學(xué)技術(shù)史(第2卷)[M].何兆武譯.北京:科學(xué)出版社,1990．