初中數(shù)學知識點總結：軸對稱與中心對稱

走萬里路 2014-06-04

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一、軸對稱與軸對稱圖形：
1.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，兩個圖形中的對應點叫做對稱點，對應線段叫做對稱線段。
2.軸對稱圖形：如果一個圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。
注意：對稱軸是直線而不是線段
3.軸對稱的性質(zhì)：
（1）關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形；
（2）如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線；
（3）兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上；
（4）如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱。
4.線段垂直平分線：
（1）定義：垂直平分一條線段的直線是這條線的垂直平分線。
（2）性質(zhì)：①線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等；
                      ②到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
注意：根據(jù)線段垂直平分線的這一特性可以推出：三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。
5.角的平分線：
（1）定義：把一個角分成兩個相等的角的射線叫做角的平分線.
（2）性質(zhì)：①在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
②到一個角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.
注意：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.
6.等腰三角形的性質(zhì)與判定：
性質(zhì)：
（1）對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，或底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，或頂角的平分線所在的直線是它的對稱軸；
（2）三線合一：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；
（3）等邊對等角：等腰三角形的兩個底角相等。
說明：等腰三角形的性質(zhì)除“三線合一”外，三角形中的主要線段之間也存在著特殊的性質(zhì)，如：①等腰三角形兩底角的平分線相等；②等腰三角形兩腰上的中線相等；
③等腰三角形兩腰上的高相等；④等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等。
判定定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）。
7.等邊三角形的性質(zhì)與判定：
性質(zhì)：（1）等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°；
            （2）等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì)，并且在每條邊上都有“三線合一”。因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，而等腰三角形（非等邊三角形）只有一條對稱軸。
判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
說明：等邊三角形是一種特殊的三角形，容易知道等邊三角形的三條高（或三條中線、三條角平分線）都相等。
二、中心對稱與中心對稱圖形：
1.中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠和另外一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點。
2.中心對稱圖形：在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心。
3.中心對稱的性質(zhì)：（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形；
                                   （2）在成中心對稱的兩個圖形中,連接對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分；
                                   （3）成中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。
三、軸對稱與中心對稱的區(qū)別與聯(lián)系：

軸對稱	中心對稱
有一條對稱軸——直線	有一個對稱中心——點
圖形沿對稱軸對折(翻折180o)后重合	圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180 o后重合
對稱點的連線被對稱軸垂直平分	對稱點連線經(jīng)過對稱中心,且被對稱中心平分

四、幾種常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形：
軸對稱圖形：線段、角、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圓
對稱軸的條數(shù)：角有一條對稱軸，即該角的角平分線；等腰三角形有一條對稱軸，是底邊的垂直平分線；等邊三角形有三條對稱軸，分別是三邊上的垂直平分線；菱形有兩條對稱軸，分別是兩條對角線所在的直線，矩形有兩條對稱軸分別是兩組對邊中點的直線；
中心對稱圖形：線段、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓
對稱中心：線段的對稱中心是線段的中點；平行四邊形、菱形、矩形、正方形的對稱中心是對角線的交點，圓的對稱中心是圓心。
說明：線段、菱形、矩形、正方形以及圓它們即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。
五、坐標系中的軸對稱變換與中心對稱變換：
點P(x,y)關于x軸對稱的點P1的坐標為(x,-y)，關于y軸對稱的點P2的坐標為(-x,y)。關于原點對稱的點的坐標P3的坐標是(-x,-y)這個規(guī)律也可以記為：關于y軸（x軸）對稱的點的縱坐標（橫坐標）相同，橫坐標（縱坐標）互為相反數(shù)。關于原點成中心對稱的點的，橫坐標為原橫坐標的相反數(shù)，縱坐標為原縱坐標的相反數(shù)，即橫坐標、縱坐標同乘以-1。