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拉普拉斯 易照華 (南京大學(xué)) 拉普拉斯，P．-S．(Laplace，Pierre-Simon)1749年3月23日生于法國(guó)諾曼底地區(qū)的博蒙昂諾日；1827年3月5日卒于法國(guó)巴黎．天文學(xué)、數(shù)學(xué)． 生平和事跡 拉普拉斯的父親皮埃爾·拉普拉斯(Pierre Laplace)是下諾曼底省的一個(gè)教區(qū)官員，兼做蘋(píng)果汁生意．母親瑪麗-安娜(Marie-Anne)的娘家為圖熱維爾富有的農(nóng)場(chǎng)主．拉普拉斯還有一個(gè)比他大4歲的姐姐，與母同名．近親中未發(fā)現(xiàn)有名氣的知識(shí)界人物，只有一個(gè)叔父路易(Louis)是未正式任命的神父，據(jù)說(shuō)是數(shù)學(xué)家，但早在拉普拉斯10歲時(shí)就去世了．對(duì)拉普拉斯的成長(zhǎng)影響不大． 拉普拉斯16歲時(shí)在家鄉(xiāng)念完小學(xué)和中學(xué)．按當(dāng)?shù)亓?xí)俗，孩子們中學(xué)畢業(yè)后一般去教堂或軍隊(duì)工作．父親希望他到教堂任職．他在1766年考入卡昂大學(xué)藝術(shù)系，后轉(zhuǎn)到神學(xué)系，準(zhǔn)備當(dāng)教士．大學(xué)里的教師們發(fā)現(xiàn)他具有特殊的數(shù)學(xué)才能，并給予啟發(fā)和鼓勵(lì)．其中有兩位教師對(duì)他的影響最大，一位是C．伽布勒(Gabled)，另一位是P．勒卡呂(Lecanu)． 為了發(fā)揮自己的數(shù)學(xué)專(zhuān)長(zhǎng)，拉普拉斯放棄了在卡昂大學(xué)取得碩士學(xué)位的機(jī)會(huì)，帶著勒卡呂寫(xiě)給巴黎科學(xué)院負(fù)責(zé)人J．L．達(dá)朗貝爾(D’Alembert)的推薦信，于1768年到了巴黎． 第一次見(jiàn)面時(shí)，達(dá)朗貝爾給了拉普拉斯一個(gè)題目，要他一周后再來(lái)，但他一夜之間就完成了．達(dá)朗貝爾又給了他一個(gè)關(guān)于打結(jié)的難題，他當(dāng)場(chǎng)就解出來(lái)了．達(dá)朗貝爾非常賞識(shí)他的數(shù)學(xué)才能，推薦他到巴黎科學(xué)院任職．但當(dāng)時(shí)科學(xué)院內(nèi)的保守勢(shì)力強(qiáng)大，不愿接受這位沒(méi)有學(xué)位的19歲青年．達(dá)朗貝爾只好介紹他暫時(shí)到軍事學(xué)校教書(shū)，講授中等數(shù)學(xué)、基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分析、靜力學(xué)等課程．這樣他可以繼續(xù)呆在巴黎，等待進(jìn)入科學(xué)院的機(jī)會(huì)．誰(shuí)知一等就是五年． 拉普拉斯在21歲生日后5天(1770年3月28日)完成第一篇數(shù)學(xué)論文“曲線的極大和極小研究”(Recherches sur le maxi-ma et minima des lignes courbes)．其中除了對(duì)極值問(wèn)題進(jìn)行綜合評(píng)述以外，還對(duì)當(dāng)時(shí)已著名的J．L．拉格朗日(Lagrange)做出的有關(guān)結(jié)果提出某些改進(jìn)．此后3年內(nèi)共完成13篇論文，課題涉及到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)、天文學(xué)的最新領(lǐng)域：極值問(wèn)題，差分方程，循環(huán)級(jí)數(shù)，機(jī)會(huì)對(duì)策，微分方程的奇異解，行星軌道傾角的變化，月球運(yùn)動(dòng)理論，衛(wèi)星對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的攝動(dòng)，行星的牛頓運(yùn)動(dòng)理論等．雖然在1773年以前只刊出4篇，但全都向巴黎科學(xué)院提出報(bào)告，逐漸受到科學(xué)界重視． 當(dāng)時(shí)巴黎科學(xué)院接受研究人員要經(jīng)過(guò)院士們投票決定，盡管有達(dá)朗貝爾等人的支持，但不少院士認(rèn)為拉普拉斯太年輕，不投贊成票．結(jié)果在1771年投票時(shí)，接受了比拉普拉斯年長(zhǎng)14歲的A．范德蒙(Vandermonde)；在1772年投票時(shí)又接受了比他大10歲的J．-A．-J．庫(kù)辛(Cousin)．達(dá)朗貝爾經(jīng)這兩次挫折后失去信心，在1773年元旦寫(xiě)信給柏林的普魯士學(xué)院數(shù)學(xué)部主任拉格朗日，希望能在那里給拉普拉斯找一個(gè)職位，并在信中氣憤地說(shuō)：“巴黎科學(xué)院寧愿接受一個(gè)才能比他低得多的人”[參看《拉格朗日文集》第13卷，254—256頁(yè)(Oeauvres de Lagrange，XⅢ，1882，254—256)]．拉普拉斯尚未接到回信，1773年2月J．A．de孔多塞(Condorcet)出任巴黎科學(xué)院執(zhí)行秘書(shū)，在他的堅(jiān)決支持下，終于在同年3月31日通過(guò)了接受拉普拉斯進(jìn)入科學(xué)院的決議．孔多塞在給拉普拉斯的第一個(gè)論文集(即上述13篇論文，1774年出版)所寫(xiě)的序言中熱情地說(shuō)：“巴黎科學(xué)院第一次接受了這樣年輕，并在這樣短的時(shí)期內(nèi)對(duì)多種難題寫(xiě)出重要論文的人”．由于拉普拉斯已有較高聲望，一開(kāi)始就成為副院士． 此后，拉普拉斯真正開(kāi)始他的科學(xué)研究生涯，逐步成為當(dāng)時(shí)數(shù)理學(xué)科中貢獻(xiàn)最大且在科學(xué)史上最負(fù)盛名的科學(xué)家之一．他是天體力學(xué)的主要奠基者，是首先在科學(xué)上提出宇宙在演化的學(xué)者，是分析概率論的創(chuàng)始人，是應(yīng)用數(shù)學(xué)的先驅(qū)，也是當(dāng)時(shí)最著名的物理學(xué)家．他的一生大致可分為4個(gè)時(shí)期：29歲以前的青少年時(shí)期，初露鋒芒，受到科學(xué)界的重視；29到40歲為鼎盛時(shí)期，完成多數(shù)重大成果；40到56歲為革命變革時(shí)期，主要進(jìn)行科學(xué)組織和教育工作，仍繼續(xù)研究和整理成果；56歲以后為晚年時(shí)期，主要總結(jié)成果和做組織管理工作． 拉普拉斯一生工作的主要單位是科學(xué)院．1773年被接受進(jìn)入的科學(xué)院叫“在巴黎的皇家科學(xué)院”，簡(jiǎn)稱(chēng)巴黎科學(xué)院．當(dāng)時(shí)在歐洲很多國(guó)家的首都都設(shè)有皇家科學(xué)院，故巴黎科學(xué)院就是法國(guó)皇家科學(xué)院，是1666年路易十四時(shí)代建立的．1793年8月8日，當(dāng)時(shí)的國(guó)民議會(huì)發(fā)出解散皇家科學(xué)院的公告，拉普拉斯離開(kāi)巴黎下鄉(xiāng)．1795年，共和國(guó)政府建立了全國(guó)統(tǒng)一的學(xué)術(shù)文化機(jī)構(gòu)，即歷史上著名的法蘭西研究院，下面劃分為5個(gè)學(xué)院或分院．其中研究自然科學(xué)的分院就叫法國(guó)科學(xué)院或法蘭西研究院的科學(xué)分院．此外，法蘭西研究院中還有語(yǔ)文學(xué)院、倫理學(xué)和政治學(xué)院、藝術(shù)學(xué)院、金石學(xué)和文學(xué)院．1816年，路易十八又把其中的科學(xué)院改名為法蘭西科學(xué)院． 拉普拉斯在1773年進(jìn)入巴黎科學(xué)院后，實(shí)現(xiàn)了自己的愿望，全力對(duì)數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)進(jìn)行研究．不僅得到科學(xué)院內(nèi)學(xué)者們的支持和鼓勵(lì)，還同在柏林的拉格朗日經(jīng)常通信，討論學(xué)術(shù)問(wèn)題．到1780年前后，拉普拉斯的學(xué)術(shù)地位已得到公認(rèn)，受到國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)界和政府部門(mén)的重視． 1784年，當(dāng)時(shí)的路易十六政府任命拉普拉斯3個(gè)重要職務(wù)：皇家炮兵學(xué)校考官，巴黎科學(xué)院特別委員會(huì)(就前幾年的市政問(wèn)題進(jìn)行審查，提出勸告)負(fù)責(zé)人，巴黎市立大醫(yī)院的審查委員會(huì)成員．1785年4月，當(dāng)勒魯瓦(Le Roy)院士去世而出現(xiàn)空缺時(shí)，拉普拉斯被選為巴黎科學(xué)院院士．1786年，拉普拉斯簽署特別委員會(huì)決定：科學(xué)院每年出版人口資料，作為國(guó)家制訂政策的參考． 1788年5月15日，拉普拉斯同比他小20歲的瑪麗-夏洛特(Marie-Charlotte)結(jié)婚．她是貝桑松(Besancon)家族的女兒．婚后生一子一女，在1789年生的兒子取名夏爾-埃米爾(Charles-Emile)，他后來(lái)在軍隊(duì)工作成為將軍，于1874年去世．女兒名索菲-蘇珊(Sophie-Suzanne)，后與波特(Portes)侯爵結(jié)婚，1813年死于難產(chǎn)，遺女后來(lái)同科爾貝爾-夏邦內(nèi)(Colbert-Chabannais)伯爵結(jié)婚．這一支的后代為了紀(jì)念祖先，改姓為科爾貝爾-拉普拉斯(Colbert-Laplace)． 1789年7月14日，法國(guó)資產(chǎn)階級(jí)革命開(kāi)始，法國(guó)政局動(dòng)蕩．因巴黎科學(xué)院為皇家機(jī)構(gòu)，革命政府于秋天就提出要求，科學(xué)院在機(jī)構(gòu)和程序上都要實(shí)現(xiàn)自由原則，與制憲會(huì)議秩序一致．并任命拉普拉斯組織一個(gè)委員會(huì)，按此方針提出建議．拉普拉斯會(huì)同孔多塞、博爾達(dá)(Borda)等人一起商量，于1790年3月1日提出了相應(yīng)建議上交．其實(shí)拉普拉斯在革命前夕，即7月4日就提出科學(xué)院的“更新”建議，要求正式研究人員具有基本的數(shù)學(xué)物理知識(shí)(參看1789年7月4日科學(xué)院備忘錄)．但在7月8日的決議中，只通過(guò)要求正式研究人員了解數(shù)學(xué)、物理學(xué)的課題就行了．當(dāng)然拉普拉斯這個(gè)建議并不符合制憲會(huì)議方針，因而未包含在1790年3月的建議中． 1789年11月2日，革命政府推選拉普拉斯等15位院士組成一個(gè)“技術(shù)與職業(yè)咨詢局”，取代原由拉普拉斯領(lǐng)導(dǎo)的特別委員會(huì)，作為政府的一般專(zhuān)利和技術(shù)政策的咨詢機(jī)構(gòu)．拉普拉斯積極主動(dòng)參加活動(dòng)，首先決定繼續(xù)出版人口資料；然后為十進(jìn)位的度量衡公制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)而努力． 革命前不久，巴黎科學(xué)院在1789年6月就成立了以拉普拉斯和A．L．拉瓦錫(Lavoisier)為首的專(zhuān)門(mén)小組，研究制定公制系統(tǒng)．由于早有準(zhǔn)備，故咨詢局剛成立他們就在1790年4月14日提出了長(zhǎng)度單位和容積、重量單位間的關(guān)系．1790年5月8日的制憲大會(huì)上通過(guò)了公制法．1791年3月25日，巴黎科學(xué)院任命了由院士拉普拉斯、拉格朗日(1787年從普魯士到巴黎)、蒙日(Monge)、博爾達(dá)、孔多塞等人組成的“度量衡委員會(huì)”，最后確定了長(zhǎng)度單位．他們根據(jù)從法國(guó)敦刻爾克到西班牙巴塞羅那的大地測(cè)量結(jié)果，正式?jīng)Q定長(zhǎng)度單位“米”為巴黎子午線全長(zhǎng)的四千萬(wàn)分之一．這個(gè)長(zhǎng)度單位比過(guò)去定義的秒擺(即擺動(dòng)周期為2秒的單擺)長(zhǎng)度要更科學(xué)可靠，因秒擺長(zhǎng)度隨時(shí)間和地點(diǎn)不同而有改變，然后用十進(jìn)制確定更小和更大的長(zhǎng)度單位，如分米、厘米、毫米、……、公里等；面積、體積單位用相應(yīng)長(zhǎng)度單位的平方、立方來(lái)定義；重量單位用相應(yīng)單位體積的水重來(lái)定義．這就是至今使用的世界公制系統(tǒng)． 1793年8月8日，當(dāng)時(shí)的國(guó)民議會(huì)在羅伯斯比爾的雅各賓派控制下，發(fā)出解散巴黎科學(xué)院的公告．拉普拉斯、拉瓦錫、博爾達(dá)、庫(kù)侖(Coulomb)等人都被清洗．拉普拉斯早得到消息，于清洗前就攜全家逃離巴黎，同妻子和兩子女一起搬到巴黎東南30英里處的默倫．至1794年7月27日(熱月9日)政變，羅伯斯比爾的雅各賓派下臺(tái)以后才回到巴黎．共和國(guó)政府在1795年6月25日通過(guò)法律條文，決定組建法國(guó)經(jīng)度局，統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)全國(guó)的天文和航海工作，包括原巴黎科學(xué)院的度量衡委員會(huì)和巴黎天文臺(tái)等單位．拉普拉斯是經(jīng)度局的領(lǐng)導(dǎo)成員．1795年12月27日，在法蘭西研究院中的科學(xué)院組建會(huì)上，拉普拉斯被任命為副院長(zhǎng)，并于1796年4月6日被選為院長(zhǎng)．同時(shí)為法蘭西研究院院士和科學(xué)院院士． 拉普拉斯在此時(shí)期內(nèi)對(duì)法國(guó)的高等教育也有重大貢獻(xiàn)．1795年初成立的高等師范學(xué)校，9月1日重建改名的巴黎綜合工科學(xué)校是法國(guó)的最高學(xué)府．他是這兩所學(xué)校的第一批教授和組織者．他強(qiáng)調(diào)學(xué)校要系統(tǒng)地教授數(shù)學(xué)和物理學(xué)知識(shí)，并要嚴(yán)格挑選學(xué)生．19世紀(jì)前半期最著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家如A．M．安培(Ampère)、S．卡諾(Carnot)、A．J．菲涅耳(Fresnel)、L．馬呂(Malus)和S．-D．泊松(Poisson)等都畢業(yè)于這兩所學(xué)校．在1796年出版的歷史性名著《宇宙體系論》(Exposition du système du mon-de)，就是他在這些學(xué)校的講稿． 拉普拉斯在這幾年內(nèi)還很不情愿地參加了所謂“法蘭西共和歷法”的制訂工作．以1793年為共和歷Ⅰ年，以熱、霧、霜等為月名．在他再三建議下，直到拿破侖帝國(guó)的1806年初才恢復(fù)使用格里歷． 拿破侖對(duì)拉普拉斯非常重視，他們?cè)缭?785年9月就認(rèn)識(shí)．當(dāng)時(shí)拉普拉斯是軍事學(xué)?？脊?，而青年拿破侖是該校炮兵學(xué)員，參加拉普拉斯主持的數(shù)學(xué)考試．1799年10月，即霧月政變(11月9日)前3周，拉普拉斯把新出版的《天體力學(xué)》(Mécanique célèste)第一、二卷送給拿破侖．拿破侖高興地說(shuō)：“近6個(gè)月內(nèi)較空，一定拜讀”．還邀請(qǐng)他們夫婦第二天去吃飯．霧月政變后，拿破侖成為最高執(zhí)政官，很快就提名拉普拉斯擔(dān)任內(nèi)政部長(zhǎng)．當(dāng)時(shí)內(nèi)政部的職責(zé)是處理除經(jīng)濟(jì)和警務(wù)以外的全部國(guó)內(nèi)事務(wù)．拉普拉斯在任期間，曾于1799年12月16日發(fā)布重組巴黎綜合工科學(xué)校以及教育改革的法令．把重組后的巴黎綜合工科學(xué)校的學(xué)制改為2年，以學(xué)基礎(chǔ)課為主．畢業(yè)后再上專(zhuān)業(yè)性工科學(xué)校，如巴黎礦業(yè)學(xué)校、巴黎橋梁公路學(xué)校、炮兵工程學(xué)校等． 在擔(dān)任內(nèi)政部長(zhǎng)6周后，拿破侖認(rèn)為他不適宜任行政官員，任命自己的弟弟呂西安(Lucien)任內(nèi)政部長(zhǎng)．又提名拉普拉斯為上議院(元老院)議員，并于1803年當(dāng)選為議長(zhǎng)．給予拉普拉斯最高薪金，年收入超過(guò)10萬(wàn)法郎．拿破侖稱(chēng)帝后，1805年又提名拉普拉斯為勛級(jí)會(huì)榮譽(yù)軍團(tuán)成員，這是拿破侖在1802年成立的表彰重大功勛者的榮譽(yù)團(tuán)體．雖然拿破侖如此重視拉普拉斯，但他們之間的私人交往很少，因?yàn)槔绽怪饕θ栽趯W(xué)術(shù)工作上．在動(dòng)蕩的革命變革時(shí)期內(nèi)，盡管他參加了大量社會(huì)活動(dòng)和組織工作，但仍堅(jiān)持研究和整理成果．攻下巴士底監(jiān)獄后第4天，拉普拉斯就在科學(xué)院內(nèi)宣讀他關(guān)于黃道傾角變化的論文還在1805年前完成了歷史性名著《宇宙體系論》和《天體力學(xué)》前4卷以及大量論文． 1806年，拿破侖帝國(guó)授予拉普拉斯伯爵銜．他在巴黎南郊阿爾克伊村購(gòu)買(mǎi)土地，與物理學(xué)家C．L．貝托萊(Berthollet)為鄰．以他們兩人為核心，在那里聚集了一批年輕的物理學(xué)家，形成一個(gè)沙龍，被大家非正式地稱(chēng)為阿爾克伊協(xié)會(huì)．拉普拉斯晚年的天文學(xué)和物理學(xué)研究工作，都同此協(xié)會(huì)有關(guān)． 1810年以后，拉普拉斯又重新研究概率論，在1812年出版了歷史性名著《概率分析理論》(Theorie analytique des probabilit-és)．還提出了一些有關(guān)應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法． 1813年，拿破侖又授予拉普拉斯留尼汪勛章．拿破侖下臺(tái)后，1815年前后有不少人指責(zé)拉普拉斯在政治上無(wú)原則，過(guò)去討好拿破侖，現(xiàn)在又支持新王朝．實(shí)際上，拉普拉斯雖然對(duì)拿破侖也很尊重，但對(duì)他稱(chēng)帝后的戰(zhàn)爭(zhēng)政策并不支持．1814年，他在上議院投票時(shí)支持波旁(Bourbon)王朝推翻拿破侖帝國(guó)．正因如此，在拿破侖復(fù)辟的百日期間，他被迫離開(kāi)巴黎．1816年，路易十八把法蘭西研究院中的科學(xué)院改名為法蘭西科學(xué)院，拉普拉斯被選為院士，次年任院長(zhǎng)．1817年，路易十八還晉封拉普拉斯為侯爵． 阿爾克伊協(xié)會(huì)是拉普拉斯的物理學(xué)活動(dòng)中心，到1809年達(dá)到高峰，世人稱(chēng)之為拉普拉斯學(xué)派．那里集中了當(dāng)時(shí)物理學(xué)界的精英，從事熱學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)、流體力學(xué)和光學(xué)方面的研究．拉普拉斯在法蘭西研究院中設(shè)立了“競(jìng)爭(zhēng)獎(jiǎng)”，1816年以前，得獎(jiǎng)?wù)叨际抢绽箤W(xué)派的成員，論文中都有拉普拉斯的觀點(diǎn)．第一次打破這種壟斷的是女物理學(xué)家S．熱爾曼(Germain)，她在1816年1月提出的“彈性表面理論”論文獲獎(jiǎng)，是對(duì)拉普拉斯學(xué)派的第一次挑戰(zhàn)．拉普拉斯的弟子菲涅耳在1819年發(fā)表的論文“光的折射理論”獲競(jìng)爭(zhēng)獎(jiǎng)，支持了光的波動(dòng)理論．而拉普拉斯是終生堅(jiān)持光的微粒理論的．到1820年，拉普拉斯學(xué)派的骨干J．B．畢奧(Biot)也發(fā)表支持波動(dòng)理論的論文．自此以后，拉普拉斯學(xué)派在物理學(xué)界的影響逐漸由他的弟子們代表，而他本人已達(dá)70高齡，雖能堅(jiān)持工作，但只能做些天體力學(xué)的補(bǔ)充性研究，直到去世為止． 根據(jù)著名數(shù)學(xué)家J．傅里葉(Fourier)在1829年所撰紀(jì)念文章中的描述(見(jiàn)文獻(xiàn))，拉普拉斯的記憶力一直到垂老時(shí)都非常好，雖然飲食很少，但不顯衰弱．拉普拉斯在1827年3月5日去世，先葬于巴黎附近的大拉謝斯，后在1878年遷回老家博蒙昂諾日，那時(shí)他的后裔已搬走了．現(xiàn)存主要畫(huà)像為1803年任上議院議長(zhǎng)時(shí)的官方像，由畫(huà)家P．-N．蓋蘭(Guérin)所繪制．由于他的學(xué)術(shù)聲望，晚年還擔(dān)任倫敦和格丁根皇家學(xué)會(huì)會(huì)員；俄國(guó)、丹麥、瑞士、普魯士、意大利等國(guó)的科學(xué)院院土． 各個(gè)時(shí)期的重要研究成果 拉普拉斯一生共研究了100多個(gè)課題，大部分在前兩個(gè)時(shí)期完成；后兩個(gè)時(shí)期還完成了歷史性名著《天體力學(xué)》等． 1．青少年時(shí)期(1778以前)他在29歲以前寫(xiě)出了60多篇論文和報(bào)告，涉及到當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)和天文學(xué)最新領(lǐng)域，主要成果有： (1)有限差分方法．為了解決天體運(yùn)動(dòng)和概率論方面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，他把無(wú)窮小的微分概念推廣到有限的差分；從而建立了差分方程及其求積方法．他從第二篇論文“關(guān)于有限差分的積分學(xué)的某用途”(Sur quelques usages du calcul intégrale appliqué auxdifferences finies)開(kāi)始，得到一系列結(jié)果．為了解出差分方程，還建立了循環(huán)級(jí)數(shù)方法和多變量的循環(huán)迭代級(jí)數(shù)方法，用它們可定出展開(kāi)式系數(shù)． (2)發(fā)展概率論．在17世紀(jì)由賭博產(chǎn)生的概率論，經(jīng)J．伯努利(Bernoulli)和德莫瓦夫(De Moivre)等人的工作，到18世紀(jì)70年代已初具規(guī)模．拉普拉斯從1772年開(kāi)始對(duì)事件的概率及機(jī)會(huì)對(duì)策進(jìn)行深入研究，于1774年正式提出概率的嚴(yán)格定義： 如果每種情況都是等可能的，則一個(gè)事件的概率等于有利情況的數(shù)目除以所有可能情況的數(shù)目． 這實(shí)質(zhì)上就是概率的古典定義，由此使概率論向公理化和公式化方向發(fā)展．此外，他還提出計(jì)算某些特殊事件概率的分析公式，為以后建立“分析概率論”打下了基礎(chǔ)．在此時(shí)期內(nèi)提出的各種平均值的定義和概念，不僅在天文學(xué)中得到應(yīng)用，也為統(tǒng)計(jì)學(xué)和后來(lái)C．F．高斯(Gauss)建立“最小二乘法”創(chuàng)造了條件． (3)萬(wàn)有引力定律．牛頓是萬(wàn)有引力定律的發(fā)現(xiàn)者，但他只討論了質(zhì)點(diǎn)和密度為球狀對(duì)稱(chēng)的天體之間的吸引．拉普拉斯經(jīng)過(guò)多次研究天體運(yùn)動(dòng)的具體情況后，逐漸對(duì)萬(wàn)有引力加深理解，于1776年提出“萬(wàn)有引力原理”(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，可歸納為四條：第一，吸引力與質(zhì)量成正比，與距離平方成反比；第二，一個(gè)物體的引力是它各部分引力的合力；第三，引力是瞬時(shí)傳播的(即速度為無(wú)窮大)；第四，物體在靜止時(shí)和在運(yùn)動(dòng)時(shí)，引力作用相同． 這四條原理加快了用萬(wàn)有引力定律研究天體運(yùn)動(dòng)的進(jìn)展．特別是第二條，可用于研究各種形狀天體的吸引問(wèn)題，為后來(lái)天體力學(xué)的奠基、位勢(shì)理論的建立以及地球形狀和潮汐理論的發(fā)展打下了基礎(chǔ)．第三條是拉普拉斯根據(jù)他自己的引力為“微?！钡挠^點(diǎn)，由月球平均運(yùn)動(dòng)的加速現(xiàn)象估計(jì)出來(lái)的．從當(dāng)時(shí)的觀測(cè)資料分析，月球平均約二千年加速一度，不能用天體之間的引力來(lái)解釋?zhuān)腥苏J(rèn)為這是由于引力傳播速度為有限所產(chǎn)生的結(jié)果．拉普拉斯根據(jù)觀測(cè)到的月球加速數(shù)值，具體計(jì)算出萬(wàn)有引力傳播速度應(yīng)為光速的768萬(wàn)倍，因而可認(rèn)為是無(wú)窮大．當(dāng)然，從現(xiàn)代物理學(xué)觀點(diǎn)看來(lái)，第三和第四條都有問(wèn)題．但對(duì)于太陽(yáng)系這個(gè)局部空間中的慢速運(yùn)動(dòng)天體而言，根據(jù)這些原理建立的運(yùn)動(dòng)理論，與當(dāng)時(shí)觀測(cè)結(jié)果符合得很好． (4)彗星分布研究．結(jié)合對(duì)概率和萬(wàn)有引力的討論，拉普拉斯從1776年開(kāi)始發(fā)表關(guān)于彗星軌道分布的論文(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．其中根據(jù)當(dāng)時(shí)63個(gè)已知軌道的彗星，統(tǒng)計(jì)出它們的軌道同黃道面的傾角平均值為46°6′，大大超過(guò)當(dāng)時(shí)所知大行星和衛(wèi)星的軌道傾角．拉普拉斯用統(tǒng)計(jì)方法試圖證明，在太陽(yáng)的引力范圍內(nèi)，隨機(jī)地拋出大量質(zhì)點(diǎn)，它們繞太陽(yáng)的軌道相對(duì)某固定平面的傾角平均值應(yīng)接近45°；并試圖計(jì)算傾角在某兩個(gè)界限內(nèi)的概率．盡管具體結(jié)果無(wú)應(yīng)用價(jià)值，但所用的統(tǒng)計(jì)方法和概率算法都有意義． (5)偏微分方程的解法．在研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉普拉斯于1777年提出一種解線性偏微分方程的一般方法(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，即以后文獻(xiàn)中所說(shuō)的級(jí)聯(lián)法．拉普拉斯證明，一般二階偏微分方程： 其中因變量z=z(x，y)及α，β，γ，δ，λ，T均為自變量x，y的函數(shù)；可找到變換使x，y變?yōu)樾伦兞喀?，θ后，相?yīng)的(1)式能簡(jiǎn)化為 (2) 其中m，n，l，T為ω，θ的函數(shù)．拉普拉斯還給出了求出方程(2)的全積分和奇積分的方法． (6)常數(shù)交易法．為了討論大行星運(yùn)動(dòng)中某些軌道根數(shù)的長(zhǎng)期變化，拉普拉斯在1774—1778年間寫(xiě)出了一系列論文，(見(jiàn)原始文獻(xiàn)[4—6])，與拉格朗日相互獨(dú)立地建立了常數(shù)交易法．開(kāi)始主要用作行星運(yùn)動(dòng)方程的近似解法，后來(lái)逐漸成為常微分方程的一種通用解法． (7)地球形狀和潮汐理論．在這段時(shí)期中，拉普拉斯還廣泛地研究了有關(guān)地球物理學(xué)的各種課題，包括大地測(cè)量學(xué)、流體靜力學(xué)中均勻流體自轉(zhuǎn)時(shí)的平衡形狀、潮汐、地面重力公式等． 拉普拉斯根據(jù)18世紀(jì)前半期的多次大地測(cè)量結(jié)果，試圖較準(zhǔn)確地定出地面子午線方程．但因地面高低不平，很難實(shí)現(xiàn)．1776年，他在近似地假定地球是均勻旋轉(zhuǎn)橢球時(shí)，給出表面各處的重力公式為： (3) 其中P′為赤道上的重力大小，αm為所討論地點(diǎn)的離心力與引力之比，θ為該處的余緯度(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．后在1778年又作了改進(jìn)，增加了一些改正項(xiàng)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))． 拉普拉斯在大地測(cè)量方面的貢獻(xiàn)還在于提出“方位角”的嚴(yán)密概念．為加強(qiáng)大地網(wǎng)、控制三角鎖網(wǎng)的方位，使之具有同一等級(jí)的誤差，并消除誤差傳播．在大地點(diǎn)上對(duì)天文方位角作垂線偏差影響歸算后得出： 為大地經(jīng)度，該公式為拉普拉斯導(dǎo)得．測(cè)有天文經(jīng)、緯度和方向角的大地點(diǎn)稱(chēng)拉普拉斯點(diǎn)；由此而算出的大地方位角稱(chēng)為拉普拉斯方位角． 在同時(shí)完成的另外幾篇論文中(見(jiàn)原始文獻(xiàn)[9，10])，拉普拉斯討論了潮汐和海流問(wèn)題以及大氣潮，都是開(kāi)創(chuàng)性課題；此外，他還把潮汐同地軸在空間中的歲差和章動(dòng)結(jié)合起來(lái)討論． 青少年時(shí)期中，真正做研究工作的時(shí)間只有8年(1770—1778)，但研究的課題涉及到天文學(xué)和數(shù)學(xué)的前沿領(lǐng)域，得到了大量成果．不僅提高了他在科學(xué)界的聲望，同時(shí)也為下一時(shí)期的重大貢獻(xiàn)作了準(zhǔn)備． 2．鼎盛時(shí)期(1778—1789)29歲以后的拉普拉斯已是一個(gè)成熟的科學(xué)家，進(jìn)入他科學(xué)創(chuàng)作的鼎盛時(shí)期，具有重大貢獻(xiàn)的研究成果為： (1)拉普拉斯算子．此時(shí)期最初完成的兩篇論文中，一篇完善了微分方程近似解所用的常數(shù)變易法(見(jiàn)原始文獻(xiàn))；另一篇討論級(jí)數(shù)理論，是他在1779年6月在科學(xué)院提出的報(bào)告，于1780年正式發(fā)表(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，其中提出的微分算子，成為后來(lái)19世紀(jì)出現(xiàn)的“運(yùn)算微積”的萌芽，他推廣了拉格朗日的想法，即算子的正指數(shù)與微商的階數(shù)對(duì)應(yīng)，負(fù)指數(shù)與積分的重?cái)?shù)對(duì)應(yīng)．拉普拉斯提出的算子形式為： (4) 對(duì)任一函數(shù)u=u(x)，則有關(guān)系 (5) 其中s，s′，…f，f′，…為與α和函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)，可根據(jù)一些具體的函數(shù)u(x)定出來(lái)． (2)概率和人口論．從1780年起，拉普拉斯進(jìn)一步研究事件的概率和原因．特別對(duì)重復(fù)試驗(yàn)事件的概率問(wèn)題作了深入討論，并用于計(jì)算巴黎和倫敦的男孩和女孩的出生概率(見(jiàn)原始文獻(xiàn))． 拉普拉斯先作一般討論．根據(jù)以前若干年內(nèi)的記錄，設(shè)共出生p個(gè)男孩，q個(gè)女孩．則過(guò)去生男孩的概率為p/(p+q)，但今后怎樣？他用P表示今后生男孩的可能性在界限 之間，其中θ為非常小的量．拉普拉斯推出用定積分計(jì)算P值的公式，在p，q趨于無(wú)窮時(shí)，P趨于1．此結(jié)果與伯努利的大數(shù)定律是一致的． 他根據(jù)巴黎和倫敦的具體人口資料算出，巴黎每年生男孩的概率比生女孩大1/259，而倫敦則大1/12416． 1786年以后，拉普拉斯進(jìn)一步研究人口統(tǒng)計(jì)學(xué)．他從1771—1784年的法國(guó)人口資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究后表明，人口的年出生平均數(shù)，乘上某個(gè)因子后可得近似的人口總數(shù)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．抽樣調(diào)查證明此因子為26． (3)生成函數(shù)．拉普拉斯在研究概率論和級(jí)數(shù)理論過(guò)程中，要用到一些特殊函數(shù)族yn(x)，而且需要n很大時(shí)的函數(shù)值．他在1782年的論文中(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，正式提出生成函數(shù)的想法： “若yn(x)為x的函數(shù)族，而函數(shù)u(x，t)為無(wú)窮級(jí)數(shù) y0(x)+y1(x)t+y2(x)t2+…+yn(x)tn+… 的和，則我稱(chēng)u(x，t)為函數(shù)族yn(x)的生成函數(shù)．” 生成函數(shù)的提出對(duì)特殊函數(shù)的發(fā)展起了非常重要的作用，由此容易求出特殊函數(shù)的遞推公式和微分關(guān)系． (4)拉普拉斯軌道計(jì)算方法．行星和彗星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道，要由6個(gè)積分常數(shù)確定．為方便起見(jiàn)，常取空間圓錐曲線軌道的6個(gè)軌道根數(shù)：半主徑a，偏心率e，軌道面對(duì)黃道面的傾角i，軌道對(duì)黃道面升交點(diǎn)(由南向北)黃經(jīng)Ω，軌道近日點(diǎn)角距ω以及通過(guò)近日點(diǎn)的時(shí)刻t0作為軌道根數(shù)．所謂軌道計(jì)算方法，就是用地面上對(duì)行星(或彗星)的位置觀測(cè)資料，算出這6個(gè)軌道根數(shù)．從理論上說(shuō)，用3個(gè)時(shí)刻的6個(gè)球面坐標(biāo)的觀測(cè)資料，可以算出6個(gè)軌道根數(shù)．但因地球也在運(yùn)動(dòng)，計(jì)算相當(dāng)困難．自牛頓以來(lái)的100年間，只有一些很粗略的方法．拉普拉斯早期討論彗星軌道傾角分布時(shí)，是靠助手用彗星的大量觀測(cè)資料繪出視運(yùn)動(dòng)曲線，再?gòu)慕?jīng)驗(yàn)定出軌道傾角．由于彗星的軌道變化快，經(jīng)常要重新計(jì)算． 1784年，拉普拉斯正式提出了用3個(gè)時(shí)刻的6個(gè)觀測(cè)資料計(jì)算軌道根數(shù)的方法(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．基本原理是根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程和幾何關(guān)系，利用迭代法算出彗星在第二個(gè)觀測(cè)時(shí)刻t2時(shí)的坐標(biāo)(x2，y2，z2)和速度分量(x′2，y′2，z′2)．再用它們?nèi)菀姿愠?個(gè)軌道根數(shù)． 他的這種方法雖然存在缺點(diǎn)，但經(jīng)過(guò)很多人改進(jìn)后，至今在人造衛(wèi)星軌道計(jì)算中還在應(yīng)用，現(xiàn)在仍然稱(chēng)為“拉普拉斯軌道計(jì)算方法”． (5)橢球形天體的引力，拉普拉斯方程．由于大行星的形狀都接近于橢球體，拉普拉斯從1784年起，研究橢球狀天體對(duì)其外一質(zhì)點(diǎn)的引力問(wèn)題，并開(kāi)始發(fā)表論文(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．文中用積分定義出一個(gè)函數(shù)V： (6) 其中(a，b，c)為天體外所討論質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，(x′，y′，z′)為天體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，dM為此處的體積元質(zhì)量；積分符號(hào)表示對(duì)整個(gè)天體的體積積分，則天體對(duì)其外一質(zhì)點(diǎn)的引力分量與偏導(dǎo)數(shù) (7) 成比例．若行星表面為橢球，滿足方程 x2+my2+nz2=k2，(m＞0，n＞0) (8) 則拉普拉斯得出定積分形式的結(jié)果： (9) B，C有相似的式子． 拉普拉斯還證明：“共焦橢球體對(duì)外面一質(zhì)點(diǎn)的引力與橢球體質(zhì)量成正比”．以后常稱(chēng)之為“拉普拉斯定理”． 由(6)式定義的函數(shù)，后來(lái)乘上一些常數(shù)因子，稱(chēng)為天體對(duì)其外一質(zhì)點(diǎn)引力的勢(shì)函數(shù)．拉普拉斯用勒讓德多項(xiàng)式對(duì)它進(jìn)行展開(kāi)，具體討論勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)，成為位勢(shì)理論的先驅(qū)．他還導(dǎo)得將橢球體的位理論變?yōu)榍驅(qū)游焕碚摰亩ɡ?，也稱(chēng)拉普拉斯定理． 拉普拉斯在1785年的另一篇論文(見(jiàn)原始文獻(xiàn)中，討論橢球狀行星的引力時(shí)，采用球坐標(biāo)(r，ω，θ)表示勢(shì)函數(shù)V： (10) 其中(r，ω，θ)，(R，ω′，θ′)分別表示行星外質(zhì)點(diǎn)及行星內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的球坐標(biāo)，積分是對(duì)整個(gè)行星體進(jìn)行的．若令μ=cosθ，則可求出關(guān)系： (11) 此式變換成直角坐標(biāo)后就是現(xiàn)在的拉普拉斯方程．但他當(dāng)時(shí)未作此變換，只用此式對(duì)V的展開(kāi)式作研究．直到1789年，他在討論土星環(huán)的引力勢(shì)時(shí)，才第一次用直角坐標(biāo)得出著名的拉普拉斯方程(見(jiàn)原始文獻(xiàn))： (12) 此方程對(duì)以后的數(shù)學(xué)、物理學(xué)的發(fā)展有巨大作用．二階微分算子△又稱(chēng)為“拉普拉斯調(diào)和算子”． (6)行星軌道的長(zhǎng)期變化，太陽(yáng)系穩(wěn)定的拉普拉斯-拉格朗日定理．行星的軌道根數(shù)，特別是橢圓軌道的半長(zhǎng)徑a和偏心率e是否有長(zhǎng)期變化(即隨著時(shí)間無(wú)限增大或無(wú)限減小)，是太陽(yáng)系動(dòng)力穩(wěn)定性的基本課題，也是牛頓以后天文學(xué)家們所從事的主要課題之一．拉普拉斯在中晚年的天文學(xué)研究工作，大部分與此題有關(guān)． 早在1776年，拉普拉斯在很簡(jiǎn)略的討論中，就認(rèn)為“行星軌道半長(zhǎng)徑a沒(méi)有長(zhǎng)期變化”(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．有些文獻(xiàn)稱(chēng)此結(jié)果為“拉普拉斯定理”．但因過(guò)于粗略，意義不大．1783年，他看到拉格朗日的論文“行星運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)期變化”(參看Oeauvres de Lag-range，V，pp．381—414)后，從新對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)研究，寫(xiě)出了一系列論文．他把a(bǔ)，e同軌道傾角一起討論，主要結(jié)果在1784年發(fā)表(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，后人稱(chēng)此結(jié)果為拉普拉斯-拉格朗日定理，共有兩個(gè)： 常數(shù)．用公式可表為 其中n為行星總數(shù)． 定理二：若把每個(gè)行星質(zhì)量乘軌道半長(zhǎng)徑平方根，再乘上軌道傾角 數(shù)，亦即 (14) 雖然這些結(jié)果只是在一階攝動(dòng)下求出的，有局限性，以后有很大改變，但未得出相反的結(jié)論；故此定理在討論太陽(yáng)系穩(wěn)定性研究中仍有意義． (7)木星和土星的運(yùn)動(dòng)．因木星和土星是太陽(yáng)系中質(zhì)量最大，又很靠近的行星，相互攝動(dòng)很大．它們的運(yùn)動(dòng)理論是天文學(xué)中長(zhǎng)期未解決的難題．拉普拉斯從青年時(shí)期就開(kāi)始研究，但到1786年才得到重要結(jié)果． 拉普拉斯首先從木星和土星運(yùn)動(dòng)的攝動(dòng)項(xiàng)中，分離出隨時(shí)間無(wú)限增減的“長(zhǎng)期項(xiàng)”和只有周期變化的“周期項(xiàng)”．而且還找出振幅大，周期很長(zhǎng)的“長(zhǎng)周期項(xiàng)”．在1788年定出了這兩個(gè)行星的黃經(jīng)表達(dá)式中的長(zhǎng)周期項(xiàng)為(見(jiàn)原始文獻(xiàn))： 其中n，n′為木星和土星的平均角速度，t為時(shí)間．加上這些項(xiàng)后，可以很好解釋觀測(cè)現(xiàn)象．同時(shí)，他對(duì)攝動(dòng)項(xiàng)的這種劃分，促進(jìn)了攝動(dòng)理論的發(fā)展． 另外，他還對(duì)產(chǎn)生長(zhǎng)周期項(xiàng)的原因進(jìn)行了分析．(15)式中時(shí)間t的系數(shù)(5n′-2n)是很小的量，即木星、土星的平均角速度之比n/n′接近于簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)5/2．對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分后，(5n′-2n)出現(xiàn)在分母上，使振幅很大．這些討論后來(lái)發(fā)展成為“共振理論”． (8)月球和衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)．月球運(yùn)動(dòng)也是天文學(xué)中的難題，特別是月球平均角速度的加速現(xiàn)象．以往提出的各種解釋如以太阻尼、彗星作用、引力傳播速度有限等都失敗了．巴黎科學(xué)院為此問(wèn)題設(shè)立了獎(jiǎng)金．拉普拉斯首先討論地球軌道偏心率的變化對(duì)月球運(yùn)動(dòng)的影響，取得部分成功(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．所提出的方法后來(lái)成為攝動(dòng)理論的基礎(chǔ)． 其他行星的衛(wèi)星，特別是自1676年丹麥的O．羅默(Rφmer)測(cè)定光速后，木星的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)也成為各界重視的課題．拉格朗日因詳細(xì)討論了木星形狀、太陽(yáng)引力、衛(wèi)星間的相互影響而獲得巴黎科學(xué)院1766年度獎(jiǎng)金(參見(jiàn)“Oeuvres de Lagrange，VI，pp．67—225)．拉普拉斯首先注意到木星的3個(gè)最亮衛(wèi)星的軌道共振現(xiàn)象．設(shè)n1，n2，n3為木衛(wèi)一、木衛(wèi)二和木衛(wèi)三的平均角速度，則它們幾乎嚴(yán)格滿足關(guān)系： n1+2n3=3n2 (16) 1787年，拉普拉斯經(jīng)詳細(xì)討論后得到了兩個(gè)重要結(jié)果(見(jiàn)原始文獻(xiàn))：第一，在太陽(yáng)和木星形狀以及衛(wèi)星間的相互作用下(16)式仍幾乎嚴(yán)格成立；第二，量s=n1+2n3-3n2及V=st+180°只有微小的周期振動(dòng)，即木衛(wèi)一、木衛(wèi)二和木衛(wèi)三的軌道共振狀態(tài)是鞏固的． 這兩個(gè)結(jié)果在有些文獻(xiàn)中稱(chēng)為(木衛(wèi)運(yùn)動(dòng)的)拉普拉斯定理．所提出的方法對(duì)其他天體的軌道共振研究也適用． (9)物理學(xué)問(wèn)題．從1777年起，拉普拉斯開(kāi)始同著名化學(xué)家A．L．拉瓦錫(Lavoisier)等合作研究熱學(xué)問(wèn)題．在1781年研究的毛細(xì)作用，玻璃和水銀等物質(zhì)的熱膨脹率等所得的結(jié)果，已用于設(shè)計(jì)氣壓計(jì)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．1783年他們計(jì)劃研究4個(gè)熱學(xué)課題，即熱的性質(zhì)和熱量；某些物質(zhì)的比熱測(cè)定以及化學(xué)反應(yīng)中的熱學(xué)問(wèn)題；化學(xué)物理的理論建立；在燃燒和呼吸方面的應(yīng)用． 在前兩個(gè)課題中，拉普拉斯建立了熱的力學(xué)理論，把熱量同物體(或微粒)的動(dòng)能聯(lián)系起來(lái)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))；定義出比熱，并給出兩種可混合物質(zhì)的比熱關(guān)系： (17) 其中q，q′為兩種物質(zhì)的比熱；m，m′為它們的質(zhì)量；a，a′為它們?cè)诨旌锨暗臏囟龋籦為混合后的溫度．拉瓦錫根據(jù)這些結(jié)果造出了兩種溫度計(jì)． 對(duì)后兩個(gè)課題，拉普拉斯從理論上作了很多嘗試，但因熱力學(xué)尚未建立，他的結(jié)果僅有參考價(jià)值． 此外，拉普拉斯還研究了蒸發(fā)現(xiàn)象；還在1782年后同A．伏打(Volta)合作研究大氣中由水汽帶入電荷的理論． 3．革命變革時(shí)期(1789—1805)盡管社會(huì)活動(dòng)和整理著作花費(fèi)大量時(shí)間，但他在此時(shí)期內(nèi)仍堅(jiān)持研究，有重要成果的課題為： (1)黃道傾角的變化，拉普拉斯不變平面．拉普拉斯認(rèn)為黃道相對(duì)固體平面是在變化的，且使得黃道同赤道的交角在不斷減小．原因是其他行星對(duì)地球的引力作用，變化率和周期與地球的形狀無(wú)關(guān)．他首先用黃道傾角的變化值來(lái)改進(jìn)歲差(行星歲差的一部分)． 每個(gè)行星的軌道平面都在不斷變化．拉普拉斯首先提出，太陽(yáng)系內(nèi)存在一個(gè)通過(guò)太陽(yáng)中心的平面；當(dāng)所有行星的軌道投影到此平面上，則行星運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩總和不變(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．這個(gè)平面后來(lái)稱(chēng)為“拉普拉斯不變平面”． (2)地球形狀和大地測(cè)量．為了確定公制中的長(zhǎng)度單位，并驗(yàn)證他提出的地球?yàn)闄E球體的結(jié)論；除了利用他人結(jié)果外，拉普拉斯還親自組織參加了大地測(cè)量工作．為了比較，還同時(shí)用秒擺在各地進(jìn)行重力測(cè)量．1792年，拉普拉斯派出兩個(gè)測(cè)量隊(duì)，由他的兩個(gè)主要助手帶隊(duì)并作計(jì)算．根據(jù)測(cè)量結(jié)果，拉普拉斯改進(jìn)了地面重力表達(dá)式，還在處理資料過(guò)程中改善了誤差理論，對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)有重要貢獻(xiàn)． (3)木衛(wèi)運(yùn)動(dòng)．1790年以后，拉普拉斯又對(duì)木衛(wèi)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入研究，完成了一系列論文．其中主要的一篇題目為“木衛(wèi)理論”(Theories des satellites de Jupiter)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，給出了4個(gè)大衛(wèi)星的完整攝動(dòng)理論，并可從理論給出運(yùn)動(dòng)表．還具體地給出了木星形狀對(duì)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的影響．然后根據(jù)觀測(cè)資料反過(guò)來(lái)計(jì)算木星形狀扁率和4個(gè)衛(wèi)星的質(zhì)量(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．下面給出第一次由拉普拉斯算出的結(jié)果： 木星形狀扁率： 5/72， 木衛(wèi)質(zhì)量(木星質(zhì)量=1)： 與括號(hào)內(nèi)現(xiàn)代結(jié)果比較，數(shù)量級(jí)相同，而木衛(wèi)二和木衛(wèi)四結(jié)果的誤差不到1/100． 他還根據(jù)木衛(wèi)食(木衛(wèi)近入木星影中)的計(jì)算和觀測(cè)結(jié)果，算出周 樣．拉普拉斯由此認(rèn)為至少在地球軌道范圍內(nèi)，光速是均勻的，并堅(jiān)持光的“微粒說(shuō)”． (4)潮汐．1790年以后，因航海的實(shí)際需要，拉普拉斯又重新研究潮汐理論，并進(jìn)行實(shí)測(cè)．法國(guó)布雷斯特港從18世紀(jì)初就有潮汐觀測(cè)記錄，拉普拉斯對(duì)高潮的時(shí)刻和高度進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)高潮時(shí)刻分布中有3個(gè)周期，分別為1年，1日和半日(見(jiàn)原始文獻(xiàn)．后又對(duì)半日周期進(jìn)行了詳盡討論，發(fā)現(xiàn)潮汐周期中的“日”要比24小時(shí)長(zhǎng)些，應(yīng)為太陰日．他還從理論上解釋了這3種周期的原因． (5)聲速．拉普拉斯同助手J．-B．畢奧從1801年起研究聲速問(wèn) 從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)知，此式算出的空氣中聲速有10％的偏差，拉普拉斯猜想是同溫度有關(guān)，牛頓公式要在恒溫時(shí)才成立．1802年，畢奧考慮了空氣的密度和壓力的溫度效應(yīng)，認(rèn)為P和ρ隨溫度變化的速率不同，牛頓公式應(yīng)改為(參看Journale de ph-ysique．55，1902，pp．173—182)： (18) 其中(1＋k)或γ稱(chēng)為畢奧常數(shù)．當(dāng)時(shí)尚未證明，但與實(shí)驗(yàn)符合而得到公認(rèn)．20年后，拉普拉斯才給出了較滿意的證明(見(jiàn)原始文獻(xiàn))． 4．晚年時(shí)期(1805—1827)56歲以后的拉普拉斯仍堅(jiān)持科學(xué)研究和整理成果工作，這里著重介紹他在下面兩個(gè)領(lǐng)域中的貢獻(xiàn)． (1)拉普拉斯變換．這是拉普拉斯在數(shù)學(xué)中的重要貢獻(xiàn)之一，現(xiàn)在已成為解常微分方程、偏微分方程、積分方程和差分方程的一種基本方法．它有一個(gè)發(fā)展過(guò)程，按現(xiàn)在的定義，對(duì)滿足一定條件的復(fù)值實(shí)函數(shù)f(t)(自變量t為實(shí)數(shù)，但函數(shù)值可為復(fù)數(shù))，經(jīng)拉普拉斯變換后的函數(shù)L(s)為 (19) 其中s為復(fù)數(shù)，但實(shí)部為正．它的逆變換為 (20) 其中C為s平面上的某個(gè)閉路． 早在1744年，L．歐拉(Euler)就設(shè)想用積分變換 (21) 來(lái)表示微分方程的一種形式解(參看歐拉全集即Opera Omniaserie Ⅰ，XXII，pp．150—161)．到1769年，又提出另一形式 (22) 但都未進(jìn)一步討論．拉格朗日在求觀測(cè)資料的平均值過(guò)程中，于1773年在估計(jì)誤差處于兩個(gè)界限中的概率時(shí)，引出了積分形式 (23) 其中X(x)為有理函數(shù)，可表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)(參看Oeuvres de La-grange，Ⅱ，pp．171—234)．這種積分形式對(duì)拉普拉斯啟發(fā)很大．他自己第一次使用這種形式的積分是在1782年(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，更明確提出這樣變換是在1785年討論函數(shù)族中，指標(biāo)很大的函數(shù)近似值時(shí)，采用了線性差分方程 (24) 其中s為實(shí)變量(見(jiàn)原始文獻(xiàn)．文用引用了兩種變換： (25) (26) (25)式在s為復(fù)數(shù)時(shí)，發(fā)展成為現(xiàn)在的梅林變換，而(26)式就接近于拉普拉斯變換(19)式．拉普拉斯用(26)式導(dǎo)出基本公式 (27) 得到很多應(yīng)用． (26)式就是拉普拉斯變換的原始形式．經(jīng)后來(lái)很多人的改進(jìn)，特別是傅里葉、A．-L．柯西(Cauchy)、泊松等人的工作，才逐漸出現(xiàn)(19)，(20)式的現(xiàn)代拉普拉斯變換．第一次較系統(tǒng)的研究者為N．H．阿貝爾(Abel)，在1839年發(fā)表(參看他的全集Oeuvr-es Complétes de Abel，Ⅱ，pp．77—88)．復(fù)變函數(shù)的逆變換(20)式，是由迪尼(Dini)在1880年給出的，并用傅里葉分析給予說(shuō)明．至于“拉普拉斯變換”這個(gè)術(shù)語(yǔ)第一次在何處出現(xiàn)，尚未查清．有可能首先出現(xiàn)在G．布爾(Boole)的《微分方程論述》(A trea-tise on differential equations，Cambridge，1865，2nd edition)的第十八章中．但引起大家重視的是由于H．龐加萊(Poincaré)在他的《微分方程近似分析》(1885)(參看Oeuvres de Poincaré，Ⅰ，pp．226—289)中的介紹．但他在書(shū)中誤用為“貝塞爾變換”，已在書(shū)末更正為拉普拉斯變換．有關(guān)現(xiàn)代拉普拉斯變換的全面理論的證明和應(yīng)用，是隨著20世紀(jì)以來(lái)“運(yùn)算微積”的發(fā)展而逐漸完善的．由此也可看出，拉普拉斯也是運(yùn)算微積的先驅(qū)者之一． (2)短程力．拉普拉斯的物理學(xué)研究是按牛頓的傳統(tǒng)進(jìn)行的，只是更數(shù)學(xué)化，1805年以后的工作更是如此．但物理學(xué)的特點(diǎn)是要在大量實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上建立理論，而當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)條件差，大量物理現(xiàn)象尚未發(fā)現(xiàn)，故拉普拉斯的數(shù)學(xué)化在多數(shù)物理問(wèn)題上并不成功．因此不能說(shuō)他是理論物理學(xué)的奠基人．他的基本觀點(diǎn)是把引力看作一切物理現(xiàn)象(包括化學(xué)現(xiàn)象)的根源．相距很遠(yuǎn)的天體之間有引力，叫“長(zhǎng)程力”，是天體運(yùn)動(dòng)的根源；地上各大小物體，甚至分子之間也有引力，即短程力．他認(rèn)為光的折射、毛細(xì)現(xiàn)象、熱的產(chǎn)生以及化學(xué)反應(yīng)，都是短程力的結(jié)果．這個(gè)觀點(diǎn)現(xiàn)在看來(lái)當(dāng)然是錯(cuò)的，但在當(dāng)時(shí)條件下也是很自然的．拉普拉斯學(xué)派在前兩個(gè)課題上還是作出了有價(jià)值的結(jié)果． 他在天文學(xué)課題的研究中，要用到天體的觀測(cè)資料，它們都要作大氣折射改正．拉普拉斯把光線在空氣中的折射作為經(jīng)度局的一個(gè)實(shí)用和理論課題．他和同事們從光的微粒理論出發(fā)，認(rèn)為光粒子與不同層次的大氣分子之間的引力有差異，產(chǎn)生光的折射．他們稱(chēng)這種力為“折射力”，大小與(μ2-1)成正比，μ為折射率．從光粒子受這種力作用的運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，解出光粒子的軌跡．后來(lái)又加上“折射力與空氣密度成正比”的假設(shè)，又建立了大氣密度的模型，得到較滿意的結(jié)果，從而導(dǎo)得蒙氣差的拉普拉斯公式： 半徑；z0為觀測(cè)天頂距．為了進(jìn)一步研究光的性質(zhì)，他在1806年以后安排畢奧和D．F．J．阿拉戈(Arago)對(duì)光在不同氣體中的折射力進(jìn)行實(shí)驗(yàn)．他還認(rèn)為光粒子與不同氣體分子之間有不同的親和力(Affinity)，類(lèi)似于化學(xué)反應(yīng)．1808年，他把“光的雙折射理論研究”作為一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)獎(jiǎng)?wù)n題，1810年由拉普拉斯學(xué)派的馬呂獲得．但無(wú)論微粒理論和C．惠更斯(Huygens)的波動(dòng)理論都不能滿意地解釋雙折射現(xiàn)象．英國(guó)人W．H．沃拉斯頓(Wollaston)的實(shí)驗(yàn)傳入法國(guó)后，支持波動(dòng)理論，用正常光線(球面波)和異常光線(橢球波)能解釋雙折射現(xiàn)象．拉普拉斯仍武斷地認(rèn)為波動(dòng)理論不利于解釋雙折射．而且還不讓刊登馬呂在1808年12月發(fā)現(xiàn)的偏振實(shí)驗(yàn)．后來(lái)經(jīng)過(guò)拉普拉斯學(xué)派內(nèi)很多人的實(shí)驗(yàn)和理論工作，到1819年以后，學(xué)派內(nèi)都支持波動(dòng)理論． 毛細(xì)現(xiàn)象是牛頓以來(lái)未解決的課題．A．C．克萊洛(Clairaut)等曾在1765年提出用引力與距離四次方成反比，才能解釋液體在毛細(xì)管中的上升現(xiàn)象．拉普拉斯在1805年用短程力觀點(diǎn)來(lái)研究，建立液體表面在很窄的管中受力變化的微分方程，找出平衡狀態(tài)解．得出了液體表面在毛細(xì)管內(nèi)上升高度與管直徑成反比的結(jié)論，大體符合實(shí)驗(yàn)結(jié)果．他還求出液體表面是凸、凹的條件．1819年，他又考慮熱效應(yīng)對(duì)毛細(xì)現(xiàn)象的影響．此問(wèn)題后來(lái)由他的學(xué)生泊松在1831年較好地解決，其中考慮了液體表面與管壁接近處的密度變化． 除上述兩方面工作外，拉普拉斯在最小二乘法中的貢獻(xiàn)也值得一提．他在早年就對(duì)大量觀測(cè)資料的各種平均值有深入研究，而在1810年根據(jù)中心極限定理用最小二乘法導(dǎo)出求一系列觀測(cè)值的平均值的公式(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．可是高斯已在1809年從正態(tài)分布分析中導(dǎo)出最小二乘法．他們是獨(dú)立進(jìn)行的． 主要代表作評(píng)述 拉普拉斯一生發(fā)表了大量數(shù)學(xué)、天文學(xué)和物理學(xué)著作，計(jì)有論文和記錄在案的報(bào)告共276篇，專(zhuān)著四千多頁(yè)，以及大量的學(xué)術(shù)通信．獲得重要成果的課題和主要結(jié)果已在上面介紹，下面著重對(duì)他在科學(xué)史上有重大影響的三部代表作《天體力學(xué)》(Mécaniquecélesie)《宇宙體系論》(Exposition du systéme du monde)和《概率分析理論》(Théorie analytique des probabilités)進(jìn)行評(píng)述． 1．經(jīng)典天體力學(xué)的主要代表作《天體力學(xué)》．古老的天文學(xué)幾千年來(lái)都在研究天體在天球上的視運(yùn)動(dòng)規(guī)律，直到牛頓提出萬(wàn)有引力定律和運(yùn)動(dòng)三大定律后，才認(rèn)識(shí)到天體的運(yùn)動(dòng)是天體間存在引力的結(jié)果，從而開(kāi)始用力學(xué)理論來(lái)研究天體的真運(yùn)動(dòng)．天文學(xué)從研究天體的視運(yùn)動(dòng)規(guī)律發(fā)展到研究真運(yùn)動(dòng)，是一次重大的質(zhì)的飛躍．1687年牛頓正式發(fā)表歷史性名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，(Philosophiae naturalis principia mathematica)是這次飛躍的起點(diǎn)，也是天文學(xué)的新分支“天體力學(xué)”誕生之期．但是這次飛躍的完成，也就是經(jīng)典天體力學(xué)的建成，經(jīng)過(guò)了100年中很多人的努力，特別是當(dāng)時(shí)的主要數(shù)學(xué)和力學(xué)家歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日、克萊洛等人的杰出貢獻(xiàn)，最后由拉普拉斯集其大成．天體力學(xué)這個(gè)學(xué)科名詞，也是拉普拉斯在1798年首先正式提出的．這100多年為天體力學(xué)的奠基階段，這里提到的有杰出貢獻(xiàn)的專(zhuān)家都是天體力學(xué)的奠基者，而由于下面兩個(gè)原因，拉普拉斯是主要奠基者． 首先是拉普拉斯在經(jīng)典天體力學(xué)，即攝動(dòng)理論的各個(gè)環(huán)節(jié)中都有重大貢獻(xiàn)．正是他最早根據(jù)力學(xué)原理建立了天體的受攝運(yùn)動(dòng)方程．由于牛頓只討論了質(zhì)點(diǎn)和球形物體間的萬(wàn)有引力，經(jīng)拉普拉斯推廣后，才能討論各種形狀大小的天體對(duì)外面一質(zhì)點(diǎn)的吸引．這對(duì)討論具有橢球形狀的行星和特殊形狀的土星環(huán)等的吸引問(wèn)題有決定性作用．通過(guò)對(duì)這些不同形狀天體的引力的勢(shì)函數(shù)討論，為位勢(shì)理論的建立打下了基礎(chǔ)；并由此導(dǎo)出了著名的拉普拉斯方程，對(duì)以后的數(shù)學(xué)和物理學(xué)發(fā)展作出了重大貢獻(xiàn)． 受攝方程列出后，一般無(wú)法解．如直角坐標(biāo)表示的行星受攝方程為： (28) 其中(x，y，z)為所討論行星的坐標(biāo)，m0，m為太陽(yáng)和行星質(zhì)量； 階非線性常微分方程組，根本無(wú)法解出．拉普拉斯在拉格朗日的常數(shù)變異法基礎(chǔ)上，將(28)式變換成以行星6個(gè)軌道根數(shù)為變量的受攝方程組，形式為： (29) 其中pi，qi(i=1，2，…，6)為兩個(gè)行星的軌道根數(shù)；m，m′為兩行星質(zhì)量，在討論行星運(yùn)動(dòng)中，都是小于10-3(太陽(yáng)質(zhì)量)的小量．用(29)式就便于求近似級(jí)數(shù)解．(29)式中只列出兩個(gè)行星相互攝動(dòng)的受攝方程，如同時(shí)討論多個(gè)行星，則方程數(shù)目相應(yīng)增加，右端的攝動(dòng)項(xiàng)也要增加． 解(29)式時(shí)，要作兩次級(jí)數(shù)展開(kāi)．先按質(zhì)量小參數(shù)m，m′，…的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)．拉普拉斯主要討論了含m或m′等一次冪項(xiàng)，相應(yīng)的理論稱(chēng)為一階攝動(dòng)理論．然后再按時(shí)間t展開(kāi)．但因時(shí)間t在(29)式中是隱含在行星的近點(diǎn)角內(nèi)，故應(yīng)展開(kāi)為近點(diǎn)角及其組合的三角級(jí)數(shù)．由于還要對(duì)好幾個(gè)小量進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，故展開(kāi)式為冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)的混合級(jí)數(shù)．展開(kāi)過(guò)程中有一基本式子，即把 (30) 展開(kāi)為H的三角級(jí)數(shù)，其中α為參數(shù)，s=(2k+1)/2，k為正整數(shù)．展開(kāi)結(jié)果為： (31) 的是，傅里葉的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)方法是1807年才正式提出的，而(31)式在1799年出版的《天體力學(xué)》中已經(jīng)有了．事實(shí)上，傅里葉級(jí)數(shù)是在拉普拉斯影響下形成的． 上面討論的展開(kāi)式要結(jié)合具體天體情況進(jìn)行，相應(yīng)建立各個(gè)天體的運(yùn)動(dòng)理論．拉普拉斯側(cè)重討論了木星、土星、月亮、木衛(wèi)、土衛(wèi)、彗星的運(yùn)動(dòng)．在展開(kāi)后的積分過(guò)程中，拉普拉斯第一個(gè)把積分后的攝動(dòng)項(xiàng)分為長(zhǎng)期項(xiàng)、周期項(xiàng)和長(zhǎng)周期項(xiàng)．不僅解釋了木星和土星運(yùn)動(dòng)中的異常問(wèn)題，還給出了有關(guān)太陽(yáng)系穩(wěn)定性的兩個(gè)定理(13)，(14)式． 積分時(shí)用到的天體軌道根數(shù)初值要從觀測(cè)值算出，拉普拉斯首先提出了用3個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)資料計(jì)算天體在第二時(shí)刻的軌道根數(shù)方法，即現(xiàn)存的拉普拉斯軌道計(jì)算方法． 除上述以外，他對(duì)天體形狀理論、潮汐理論、觀測(cè)資料處理方法、地球自轉(zhuǎn)理論、大氣折射理論和計(jì)算方法以及某些恒星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題都有貢獻(xiàn)．同時(shí)他還總結(jié)了歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人的工作，使這門(mén)新的學(xué)科系統(tǒng)化，成為一門(mén)相對(duì)獨(dú)立的學(xué)科．再一個(gè)原因是，拉普拉斯完成了名著《天體力學(xué)》，這是集經(jīng)典天體力學(xué)之大成的代表作．沒(méi)有記載表明他開(kāi)始寫(xiě)作的確切日期，但多認(rèn)為是在1793年被迫離開(kāi)科學(xué)院到鄉(xiāng)下時(shí)動(dòng)筆的．全書(shū)共分五卷十六冊(cè)，3千多頁(yè)． 拉普拉斯在1798年出版的一本題為《天體力學(xué)論述》(Traitéde mécanique celeste)的書(shū)中，第一次對(duì)這門(mén)學(xué)科的目標(biāo)和內(nèi)容下了定義：“牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律已有一百年．從那時(shí)起，學(xué)者們就把這個(gè)偉大的定律用于研究一切已知自然現(xiàn)象，并由此給出了天體運(yùn)動(dòng)理論和意外準(zhǔn)確的天文歷表．我在自己的大多數(shù)著作中用同樣的觀點(diǎn)提出了有關(guān)理論．這些理論，包括用萬(wàn)有引力定律研究太陽(yáng)系和宇宙中其他類(lèi)似系統(tǒng)里的固體與流體運(yùn)動(dòng)和平衡形狀的全部結(jié)果，組成了天體力學(xué)”．這是天體力學(xué)學(xué)科名詞的首次出現(xiàn)． 1799年出版了《天體力學(xué)》第一、二卷．其中對(duì)天體力學(xué)的研究對(duì)象說(shuō)得更明確：“天體力學(xué)是研究所有固態(tài)、液態(tài)和氣態(tài)天體在各種自然力作用下運(yùn)動(dòng)的學(xué)科”． 第一、二卷有一個(gè)總書(shū)名：《天體運(yùn)動(dòng)和形狀的一般理論》．第一卷分為兩冊(cè)，第一冊(cè)書(shū)名為《關(guān)于運(yùn)動(dòng)和平衡的一般理論》．內(nèi)容為理論力學(xué)原理，包括運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)的一般原理和定律，剛體動(dòng)力學(xué)以及流體靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)初步． 第二冊(cè)《關(guān)于萬(wàn)有引力定律和天體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)》，講述了天體力學(xué)的基本問(wèn)題．書(shū)中有牛頓從開(kāi)普勒定律所導(dǎo)出的萬(wàn)有引力定律；拉普拉斯推出的天體在相互引力作用下的運(yùn)動(dòng)方程，以及用直角坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程的首次積分；連通物體對(duì)外面一質(zhì)點(diǎn)的力函數(shù)和它所滿足的偏微分方程——拉普拉斯方程；用球坐標(biāo)和柱坐標(biāo)表示的運(yùn)動(dòng)方程(柱坐標(biāo)的方程即所謂克萊洛-拉普拉斯方程)；運(yùn)動(dòng)方程的第一次近似解，即無(wú)攝運(yùn)動(dòng)為圓錐曲線軌道；拉普拉斯軌道計(jì)算方法；一階攝動(dòng)理論的細(xì)節(jié)；攝動(dòng)函數(shù)的展開(kāi)方法；有關(guān)長(zhǎng)期攝動(dòng)的著名定理(太陽(yáng)系穩(wěn)定性的拉格朗日-拉普拉斯定理)． 第二卷分為3冊(cè)，第三冊(cè)(從第一卷的冊(cè)數(shù)起算)《關(guān)于天體的形狀》．書(shū)中著重討論均勻橢球體的平衡形狀，其中給出了拉普拉斯關(guān)于行星為自轉(zhuǎn)流體時(shí)的平衡形狀理論；等密度層接近于圓球的橢球體平衡形狀；理論結(jié)果用于地球和土星環(huán)． 第四冊(cè)《關(guān)于地球大氣和海洋的振動(dòng)》，講述了地球海洋和大氣的潮汐理論． 第五冊(cè)《天體繞自己質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)》中主要講述地球自轉(zhuǎn)理論，包括歲差和章動(dòng)理論；月球自轉(zhuǎn)理論，主要是月球的天平動(dòng)；土星環(huán)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，其中把環(huán)看作固體和流體的混合． 1802年出版的第三卷書(shū)名為《特殊天體的運(yùn)動(dòng)理論》，分兩冊(cè)．值得提出的是在1801年1月1日，意大利天文學(xué)家G．皮亞齊(Piazzi)發(fā)現(xiàn)第一號(hào)小行星——谷神星．這種新天體的發(fā)現(xiàn)，對(duì)以后天體力學(xué)的發(fā)展有重要意義． 第六冊(cè)《行星運(yùn)動(dòng)理論》，主要講述行星在相互引力作用下的受攝運(yùn)動(dòng)．作者從第一卷的受攝運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)，考慮了二階攝動(dòng)力(即含有行星質(zhì)量二次冪的攝動(dòng)項(xiàng)．)他還初步討論了太陽(yáng)的橢球扁率和衛(wèi)星對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的影響，結(jié)果證明這兩種影響可以忽略．接著討論了1750年所給有關(guān)行星數(shù)據(jù)(質(zhì)量，軌道根數(shù)初值等)的偏差，然后給出當(dāng)時(shí)所有大行星(水星到天王星)的運(yùn)動(dòng)理論，以及它們各自的向徑，黃經(jīng)和黃緯的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)式系數(shù)數(shù)值．最后還討論了行星質(zhì)量的確定，并在此提出太陽(yáng)系的不變平面(拉普拉斯平面)；還估計(jì)了恒星引力對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的影響． 第七冊(cè)《月球運(yùn)動(dòng)理論》，主要講拉普拉斯自己的工作．書(shū)中給出月球運(yùn)動(dòng)微分方程的積分方法和各種較大的攝動(dòng)項(xiàng)，其中特別詳細(xì)討論了地球和月球的非球形形狀對(duì)月球的攝動(dòng)．書(shū)中還根據(jù)理論和觀測(cè)值的比較來(lái)確定地球形狀的橢率，并認(rèn)為比直接地面測(cè)量的結(jié)果更準(zhǔn)．書(shū)末討論了地球和月球運(yùn)動(dòng)的長(zhǎng)期變化，他認(rèn)為可能是太陽(yáng)周?chē)辛黧w“以太”產(chǎn)生阻尼的結(jié)果．雖然他具體計(jì)算后得到否定結(jié)論，但所提出的方法是很有用的，與現(xiàn)在用人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)理論和觀測(cè)值來(lái)定出大氣密度的方法大體相同． 第四卷沒(méi)有統(tǒng)一書(shū)名，于1805年出版，共分為3冊(cè)． 第八冊(cè)《木星、土星和天王星的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)理論》，其中著重討論了木星的4顆伽利略衛(wèi)星即木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三、木衛(wèi)四．拉普拉斯特別注意前3個(gè)衛(wèi)星的軌道共振關(guān)系(16)式，它在衛(wèi)星相互攝動(dòng)下幾乎不變．書(shū)末簡(jiǎn)單地討論了土星和天王星的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)． 第九冊(cè)《彗星運(yùn)動(dòng)理論》，主要討論了周期彗星的受攝運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，包括彗星軌道分布的統(tǒng)計(jì)研究． 第十冊(cè)《同宇宙體系有關(guān)的各種問(wèn)題》．書(shū)中講述了三體問(wèn)題的特解的存在性；天體在阻尼介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；以及木星、土星和月球運(yùn)動(dòng)理論的補(bǔ)充．另外還有天文大氣折射理論和重力測(cè)量理論等非天體力學(xué)課題． 以上4卷幾乎包括經(jīng)典天體力學(xué)的全部?jī)?nèi)容．20年后(1825年)，又出版了第五卷，包含拉普拉斯晚年的天體力學(xué)研究成果以及各領(lǐng)域的歷史考證．這些歷史考證是很有價(jià)值的，也很詳細(xì)，闡明了天體力學(xué)到19世紀(jì)20年代為止的發(fā)展情況．第五卷分為6冊(cè)． 第十一冊(cè)《關(guān)于地球的形狀和自轉(zhuǎn)》，主要是對(duì)地球形狀問(wèn)題的補(bǔ)充．第十二冊(cè)《關(guān)于球形物體的吸引和排斥以及彈性流體的平衡和運(yùn)動(dòng)規(guī)律》，這同天體力學(xué)的關(guān)系不大．第十三冊(cè)《覆蓋在行星上流體的漲落》，講述有關(guān)海洋和大氣潮汐的新結(jié)果．第十四冊(cè)《關(guān)于天體繞自身質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)》是拉普拉斯關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的補(bǔ)充．第十五冊(cè)《關(guān)于行星和彗星的運(yùn)動(dòng)》是對(duì)第一卷所講述的攝動(dòng)理論的補(bǔ)充．第十六冊(cè)《關(guān)于衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)》是對(duì)月球和其他大行星的衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)理論的補(bǔ)充．在第五卷的附錄中，敘述拉普拉斯于1827年研究n為大數(shù)而且假設(shè)x為純虛數(shù)的貝塞爾函數(shù)近似展式： 這對(duì)天體力學(xué)中相關(guān)問(wèn)題，起良好的分析作用． 《天體力學(xué)》是經(jīng)典天體力學(xué)的奠基著作．在這部巨著中，拉普拉斯歸納出經(jīng)典天體力學(xué)的基本課題為：太陽(yáng)系大行星的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；月球運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(考慮地球和太陽(yáng)的引力以及其他大行星的影響)；衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題(考慮所屬行星、太陽(yáng)以及衛(wèi)星間引力)；彗星運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；行星的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，特別是地球和月球；行星形狀理論；潮汐理論．除潮汐理論現(xiàn)已劃歸海洋學(xué)外，其他幾個(gè)至今仍然是現(xiàn)代天體力學(xué)的課題． 《天體力學(xué)》的出版情況也值得一提．法國(guó)科學(xué)院在19世紀(jì)內(nèi)共印刷過(guò)四版，前三次出版都沒(méi)有任何修改．第四版在1878年印出第一、二、三卷；1880年印出第四卷，1882年出第五卷．只是在第五卷末增加了拉普拉斯去世后的天體力學(xué)發(fā)展情況．有三個(gè)內(nèi)容：其一，“兩個(gè)行星距離倒數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)”，給出用勒讓德多項(xiàng)式表示的近似公式；其二，“橢圓坐標(biāo)的展開(kāi)式”，包含有軌道偏心率的上限，即后來(lái)稱(chēng)為“偏心率的拉普拉斯極限”；其三，關(guān)于“大氣潮汐”問(wèn)題． 19世紀(jì)就有3個(gè)國(guó)家翻譯出版了《天體力學(xué)》．第一、二卷剛出版，就由J．K，布爾克哈特(Burckhardt)譯為德文，于1800年在柏林出版第一卷，1802年印出第二卷．前4卷出版不久，美國(guó)人N．鮑迪奇(Bowditch)就將它們譯為英語(yǔ)．在譯者去世(1816年)后在波士頓出版，1829年出第一卷，1832年出第二卷，1834年出第三卷，1839年出第四卷．經(jīng)俄國(guó)人Φ．Ν舒別爾特的整理推薦，1822年在彼得堡用法語(yǔ)出版了《理論天文學(xué)論述》(Traitéd′，astronomie théorique)．內(nèi)容主要是拉普拉斯《天體力學(xué)》的前4卷，但有些增刪．前面增加了歷史發(fā)展和球面天文學(xué)內(nèi)容，中間增加了拉格朗日和其他人的貢獻(xiàn)．全書(shū)分為三卷共七冊(cè)． 由拉普拉斯所奠基的天體力學(xué)19世紀(jì)發(fā)展十分迅速，當(dāng)時(shí)大多數(shù)著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都重視天體力學(xué)．其中貢獻(xiàn)較大的有：勒讓德把球函數(shù)(如勒讓德多項(xiàng)式等)用于天體力學(xué)中的展開(kāi)式；泊松推出天體對(duì)內(nèi)一質(zhì)點(diǎn)吸引的勢(shì)函數(shù)滿足的方程，即泊松方程；高斯在位勢(shì)理論、軌道計(jì)算(高斯方法)和長(zhǎng)期攝動(dòng)計(jì)算以及觀測(cè)資料處理方法中都有重大貢獻(xiàn)；K．G．雅可比(Jacobi)和W．R．哈密頓(Hamilton)建立的哈密頓-雅可比方法對(duì)攝動(dòng)理論的進(jìn)一步發(fā)展有決定性作用；U．勒威耶(Le Verrier)等用天體力學(xué)理論計(jì)算預(yù)言新行星位置，于1846年9月23日發(fā)現(xiàn)海王星，標(biāo)志天體力學(xué)已經(jīng)成熟． 2．《宇宙體系論》和其中提出的“星云說(shuō)”．1796年，拉普拉斯根據(jù)自己在巴黎綜合工業(yè)學(xué)校等處的講稿，整理出版了歷史性名著《宇宙體系論》，在自然科學(xué)和哲學(xué)界都產(chǎn)生了巨大影響．書(shū)中全面闡述了他從分子到整個(gè)宇宙的看法．在他生前已出過(guò)五版，直到他去世前幾日，還在病床上修改第六版底稿．現(xiàn)按1835年出版的第六版(有中譯本)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))作介紹．全書(shū)分五篇和七個(gè)附錄，附錄七即“星云說(shuō)”． 第一篇名為“天體的視運(yùn)動(dòng)”，共分十六章．從天體的周日視運(yùn)動(dòng)談起，然后是太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)和時(shí)間測(cè)量，月球視運(yùn)動(dòng)和日食、月食；接著介紹行星及其衛(wèi)星、土星環(huán)、4個(gè)小行星．第十一章中講“行星圍繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)”，其中闡述了科學(xué)應(yīng)通過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)自然界定律的想法．他說(shuō)：“如果我們只是收集事實(shí)，科學(xué)將會(huì)成為貧乏的詞匯，決不會(huì)發(fā)現(xiàn)自然界的偉大定律．由許多事實(shí)的比較，尋找其間關(guān)系，再將現(xiàn)象的范圍推廣，最后才能發(fā)現(xiàn)定律．這些定律常隱藏在它們對(duì)現(xiàn)象的千變?nèi)f化的影響中”．這一章實(shí)際上是以行星視運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象推出它們繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律作為例子．表達(dá)出他的哲學(xué)觀點(diǎn)．此外，本篇還介紹了彗星、恒星的視運(yùn)動(dòng)、地球形狀大小及重力變化、十進(jìn)位公制、潮汐、地球大氣和天文折射等． 第二篇講“天體的真運(yùn)動(dòng)”，是用在上篇視運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象基礎(chǔ)上分析出來(lái)的結(jié)果，來(lái)研究太陽(yáng)系范圍的真實(shí)宇宙體系．共分六章，主要講地球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的規(guī)律以及由此產(chǎn)生的各種現(xiàn)象．還講了彗星和衛(wèi)星的軌道和運(yùn)動(dòng)規(guī)律． 第三篇為“運(yùn)動(dòng)定律”，共分五章．主要介紹力學(xué)原理、質(zhì)點(diǎn)和物體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)；還有物體系統(tǒng)和流體的平衡．其中談到力的表示時(shí)，牽涉到18世紀(jì)中的討論．認(rèn)為力是質(zhì)量乘速度，又叫做物體的“有限力”；而質(zhì)量乘加速度叫“加速力”，動(dòng)能叫“活力”．最后都可以自洽，仍用動(dòng)量、角動(dòng)量及它們的守恒定律． 第四篇講“萬(wàn)有引力理論”，實(shí)際上為天體力學(xué)綱要，但表達(dá)用的是盡可能通俗的語(yǔ)言．共分為18章．本篇前言中又闡明他的觀點(diǎn)：“宇宙中存在普遍適用的定律”，萬(wàn)有引力定律就是其中之一．書(shū)中講述萬(wàn)有引力原理從天體運(yùn)動(dòng)中歸納出來(lái)，然后根據(jù)萬(wàn)有引力定律和力學(xué)原理推導(dǎo)出各種天體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．不僅行星繞太陽(yáng)的無(wú)攝運(yùn)動(dòng)符合，而且行星的受攝運(yùn)動(dòng)也符合萬(wàn)有引力定律．因此他說(shuō)：“這一偉大定律能夠解釋一切天象，乃至最小的細(xì)節(jié)”．后面又說(shuō)明地球和行星的形狀、土星環(huán)、天體的大氣、潮汐、歲差和章動(dòng)、月球天平動(dòng)以及恒星中雙星運(yùn)動(dòng)、星團(tuán)運(yùn)動(dòng)等也符合此定律． 在第十七章“萬(wàn)有引力定律的回顧”中，重申了他在1776年的觀點(diǎn)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，但在這里作了解釋?zhuān)鸯o電力，磁力等同引力作比較，說(shuō)明反平方定律的普遍性．書(shū)中還提出電流應(yīng)在異體表面通過(guò)，并解釋尖端放電現(xiàn)象． 第十八章“分子間的引力”是拉普拉斯關(guān)于短程力觀點(diǎn)的全面闡述．他把萬(wàn)有引力原理用于一切自然現(xiàn)象，包括流體凝固、固體結(jié)晶、光線彎曲、毛細(xì)管中的液體升降以及一切化學(xué)反應(yīng)現(xiàn)象．但他還是提出這些現(xiàn)象的作用力是另外一種力，他說(shuō)：“物體受到各種引力的作用，其中之一延伸到無(wú)限的空間，控制地球和天體的運(yùn)動(dòng)；與組成物體的物質(zhì)結(jié)構(gòu)有關(guān)的力，主要是另外一種力，其作用只在小到不能覺(jué)察的范圍內(nèi)方才顯著”． 第五篇講“天文學(xué)史綱要”，共分六章．主要介紹天文學(xué)的發(fā)展過(guò)程，其中反映出作者的兩個(gè)觀點(diǎn)：一是天文學(xué)同其他學(xué)科一起并肩發(fā)展，在當(dāng)時(shí)主要是數(shù)學(xué)和力學(xué)；二是天文學(xué)發(fā)展不是順利的，真理和謬誤混在一起，在不斷淘汰謬誤中發(fā)展．他把天文學(xué)到當(dāng)時(shí)的發(fā)展分為三個(gè)時(shí)期：哥白尼以前為了解現(xiàn)象時(shí)期，即根據(jù)觀測(cè)提出某些假說(shuō)；哥白尼到牛頓為提出支配現(xiàn)象的定律時(shí)期，主要為有關(guān)地球自轉(zhuǎn)的規(guī)律和行星公轉(zhuǎn)的開(kāi)普勒定律；牛頓以后為第三時(shí)期，即找到天體運(yùn)動(dòng)定律的原因是萬(wàn)有引力，并用于解釋一切天文現(xiàn)象．他認(rèn)為一切自然科學(xué)發(fā)展都應(yīng)有這三個(gè)階段．他在第六章“宇宙體系的研究與天文學(xué)將來(lái)的進(jìn)展”中，進(jìn)一步闡明了對(duì)宇宙認(rèn)識(shí)的觀點(diǎn)，可歸納如下： 第一，太陽(yáng)系邊界應(yīng)比現(xiàn)在所知(到天王星)更遠(yuǎn)，還有更多的行星和衛(wèi)星； 第二，地球不特殊，其他行星、其他行星系中都可能有生物，有適于它們生存的環(huán)境； 第三，太陽(yáng)系規(guī)律應(yīng)同恒星世界聯(lián)系研究，太陽(yáng)系和恒星都有起源； 第四，對(duì)暫時(shí)無(wú)法解釋的現(xiàn)象和規(guī)律，老實(shí)承認(rèn)我們無(wú)知，不要為了自我安慰去找想象的原因來(lái)說(shuō)明．這里他對(duì)牛頓在不能解釋行星和彗星的軌道規(guī)律時(shí)，認(rèn)為是“全智全能的上帝創(chuàng)作”，提出了尖銳批評(píng)．指出牛頓“陷入了歧途”． 書(shū)后有七個(gè)附錄．前六個(gè)附錄都是天文學(xué)史補(bǔ)充，其中附錄一是談中國(guó)古代周公測(cè)量的某些結(jié)果，附錄六是介紹過(guò)去觀測(cè)(包括周公和郭守敬的)所定出黃赤交角的結(jié)果．附錄七即他的“星云說(shuō)”． 雖然德國(guó)哲學(xué)家I．康德(Kant)在1755年已提出太陽(yáng)系起源于星云的假說(shuō)，但拉普拉斯與他是相互獨(dú)立提出的，而且在科學(xué)論證上更具體詳盡．由于他們的基本觀點(diǎn)相近，故后來(lái)通稱(chēng)“康德-拉普拉斯的星云假說(shuō)”． 拉普拉斯在第五篇的第六章中已提出這一學(xué)說(shuō)的基本觀點(diǎn)，但他自認(rèn)為這僅為假說(shuō)，不是從觀測(cè)或計(jì)算得到的結(jié)論，因此只能有保留地放在附錄中． 他首先分析了太陽(yáng)系天體運(yùn)動(dòng)中的規(guī)律，這是一切有關(guān)太陽(yáng)系起源假說(shuō)的根據(jù)．從當(dāng)時(shí)獲得的觀測(cè)結(jié)果分析出的規(guī)律為： (1)行星按相同的方向，且差不多在同一個(gè)平面上繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)； (2)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的方向與行星相同； (3)行星，衛(wèi)星和太陽(yáng)的自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與行星公轉(zhuǎn)方向一致，而且它們的赤道面也相近； (4)行星和衛(wèi)星的軌道偏心率都很??； (5)彗星的軌道偏心率大，與黃道面的交角也大，而且沒(méi)有規(guī)則． 拉普拉斯分析這些規(guī)律后提出：產(chǎn)生行星的物質(zhì)應(yīng)為比現(xiàn)在太陽(yáng)系更大的，與太陽(yáng)大氣相似的稀薄流體，且與太陽(yáng)自轉(zhuǎn)方向相同地轉(zhuǎn)動(dòng)．他認(rèn)為就象星空中觀測(cè)到的星云．太陽(yáng)系以前的原始星云只有一個(gè)核心，以后凝聚成太陽(yáng)．如更大的星云，有多個(gè)核心則凝成星團(tuán)． 形成太陽(yáng)系的原始星云體積很大，高溫，接近球形，并在緩慢自轉(zhuǎn)．后因熱量不斷輻射而逐漸冷卻收縮．由于角動(dòng)量守恒，星云收縮時(shí)自轉(zhuǎn)加快，離心力也隨著加大．在離心力同中心引力結(jié)合下，星云愈夾愈扁，逐漸成扁盤(pán)狀．星云繼續(xù)收縮，轉(zhuǎn)動(dòng)速度愈來(lái)愈大；到一定時(shí)候，星云赤道面最外部質(zhì)點(diǎn)的離心力與中心吸引力相平衡，不再收縮而停留形成一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)著的氣體環(huán)．里面星云繼續(xù)收縮，加速自轉(zhuǎn)，又分離出第二個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)氣體環(huán)．如此繼續(xù)下去，形成與行星數(shù)目相同的，大致位于現(xiàn)在行星軌道處的各氣體環(huán)——拉普拉斯環(huán)． 星云中心部分收縮為太陽(yáng)．各環(huán)內(nèi)物質(zhì)分布不均勻，密度大的部分把密度小的吸引過(guò)去，形成一些凝聚物，在大致相同的軌道上繞中心運(yùn)動(dòng)．由于相互吸引，小凝聚物逐漸集結(jié)為大凝聚物，最后結(jié)合成為原行星．原行星開(kāi)始也是高溫氣體球，后來(lái)才逐漸冷卻收縮而成現(xiàn)在的行星．較大的原行星冷卻時(shí)也會(huì)象前面過(guò)程分離出一些小氣體環(huán)而形成衛(wèi)星系統(tǒng)．土星環(huán)是由未結(jié)合成衛(wèi)星的許多小質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的．環(huán)上外部質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)線速度快，因而集聚成行星后為正向自轉(zhuǎn)． 拉普拉斯的星云說(shuō)可以解釋太陽(yáng)系的五條規(guī)律，其中認(rèn)為彗星是從太陽(yáng)系外跑進(jìn)來(lái)的天體，因此彗星偏心率大，傾角也無(wú)規(guī)則．從現(xiàn)在的觀點(diǎn)和研究成果看來(lái)，康德和拉普拉斯認(rèn)為太陽(yáng)系是由自轉(zhuǎn)著的原始星云逐漸收縮而成的，中心部分形成太陽(yáng)，外部形成行星．這個(gè)論點(diǎn)還是對(duì)的，只是形成過(guò)程中有不少矛盾無(wú)法解決．但是他們的星云說(shuō)在哲學(xué)上的意義更大，給當(dāng)時(shí)形而上學(xué)的僵化自然觀打開(kāi)了一個(gè)缺口． 在《宇宙體系論》中反映出他的哲學(xué)觀點(diǎn)是唯物主義的，他堅(jiān)持從事物觀測(cè)中總結(jié)規(guī)律，再?gòu)囊?guī)律中建立理論．整個(gè)宇宙是物質(zhì)的，而且在演化和發(fā)展．他同拿破侖的對(duì)話充分說(shuō)明這點(diǎn)．拿破侖在讀過(guò)他的《天體力學(xué)》第一、二卷后曾對(duì)他說(shuō)：“在您寫(xiě)的著作中怎么沒(méi)有提到上帝呢？”拉普拉斯回答說(shuō)：“陛下，我不需要這個(gè)假設(shè)……”．他還有一句名言：“只要給我物質(zhì)，就可以創(chuàng)造出世界來(lái)．”但是他把宇宙中的各種變化和反應(yīng)都?xì)w結(jié)為力的作用，這種觀點(diǎn)具有歷史局限性． 3．承上啟下的代表作《概率分析理論》．概率論是具有廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)分支，在歷史發(fā)展過(guò)程中可分為三個(gè)階段．從17世紀(jì)誕生到1812年為止的內(nèi)容叫“古典概率論”，計(jì)算概率以代數(shù)方法為主；1812—1933年這一階段的內(nèi)容叫“分析概率論”，方法主要是微積分、微分方程、差分方程、特殊函數(shù)等分析方法；1933年以后主要用實(shí)變函數(shù)中的測(cè)度理論(Measure theory)研究概率，相應(yīng)內(nèi)容為“測(cè)度概率論”，主要代表是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A．H．科莫哥羅夫．拉普拉斯總結(jié)了古典概率論，并使它發(fā)展到新的歷史階段，他的著作《概率分析理論》就是承上啟下的代表作． 第一版在1812年出版，分兩卷，第一卷又分兩冊(cè)．第一卷第一冊(cè)在1812年3月23日出版；其余部分在同年6月29日出版．在1814年11月14日出第二版時(shí)，增加了長(zhǎng)達(dá)150頁(yè)的緒論，同年單獨(dú)印刷成一本書(shū)，題為《概率的哲學(xué)導(dǎo)論》(Essai philosophi-que sur les probabilités)．1820年出的第三版中，仍保留緒論，但單獨(dú)印出的《概率的哲學(xué)導(dǎo)論》分別在1816年印出第三版，1819年出第四版，1825年出第五版．《概率分析理論》還有四個(gè)附錄：附錄一在1816年印出，附錄二在1818年印出，附錄三在1820年印出；附錄四是拉普拉斯在1825年寫(xiě)完的，但生前未印出，以后收在他的全集第七卷中． 緒論即《概率的哲學(xué)導(dǎo)論》中包含概率論的發(fā)展歷史及一般原理和應(yīng)用，是他在師范學(xué)校的講稿編輯而成．其中有五個(gè)內(nèi)容：一是概率的定義及發(fā)展歷史，拉普拉斯提出“先驗(yàn)”概率的概念，這是有爭(zhēng)議的；二是概率計(jì)算的一般原理，主要是古典概率論的原理；三是講述概率論中的一個(gè)重要概念——期望；四是講述概率的分析計(jì)算方法，實(shí)際上是古典概率論向分析概率論過(guò)渡；五是講概率計(jì)算的應(yīng)用，占緒論的一大半，應(yīng)用于各種各樣的自然和社會(huì)問(wèn)題． 第一卷有標(biāo)題為：“生成函數(shù)的計(jì)算” (Calcul des fonctiongénèratrices)，主要講述同概率計(jì)算有關(guān)的數(shù)學(xué)方法，共分兩冊(cè)五章．上冊(cè)講述帶有整數(shù)指標(biāo)的函數(shù)族，當(dāng)指標(biāo)數(shù)量很大時(shí)的一般情況．這是因?yàn)楦怕视懻撝?，要用到試?yàn)次數(shù)很大，重復(fù)次數(shù)很多的現(xiàn)象．所用到的特殊函數(shù)同這些次數(shù)有關(guān)．內(nèi)容只有兩章．第一章講一個(gè)變?cè)瘮?shù)族的情況，第二章講兩個(gè)變?cè)闆r．這些知識(shí)都是他本人在二、三十年前有關(guān)級(jí)數(shù)理論的研究成果，本書(shū)中僅為系統(tǒng)化而已．下冊(cè)是講述大指標(biāo)函數(shù)的近似理論，這些特殊函數(shù)是生成函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式系數(shù)，一般要滿足某種微分方程或差分方程，要用各種近似方法積出它們．下冊(cè)共分三章(即第三、四、五章)．第三章講非線性微分方程的近似積分方法；第四章講線性差分和微分方程的近似積分方法；第五章講前兩章的方法用于求出大指標(biāo)函數(shù)的近似．整個(gè)第一卷是為第二卷作的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備． 第二卷的標(biāo)題為“一般概率論”(Théoré générale des probabi-lités)，是本書(shū)的主要內(nèi)容，共約400頁(yè)．整卷分為十一章，全面歸納了前人和他自己有關(guān)概率論的成果，并應(yīng)用于自然哲學(xué)、天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)、測(cè)試、誤差、審判過(guò)程和選舉機(jī)構(gòu)等方面的問(wèn)題．不象《天體力學(xué)》前兩卷那樣系統(tǒng)化講述．雖不宜作為教材，但作為概率論的研究參考資料是很好的．各章自成系統(tǒng)討論某一方面問(wèn)題，但相互之間獨(dú)立性較強(qiáng)． 第一章講概率的一般原理和學(xué)科特點(diǎn)．除了提出概率的古典定義和概率的乘積原理外，作為第三個(gè)基本原理是文字?jǐn)⑹龅囊粋€(gè)定理．這是有關(guān)由n種不同原因產(chǎn)生的事件的概率公式的定理，即在1763年已發(fā)表的貝斯定理．可是，拉普拉斯在書(shū)中沒(méi)有提到T．貝斯(Bayes)的名字，而作為自己的一個(gè)定理．接下去的幾章討論各種實(shí)際問(wèn)題中提出的概率計(jì)算方法． 第二章討論由已知概率的簡(jiǎn)單事件組成的復(fù)合事件的概率計(jì)算，此問(wèn)題討論得非常詳細(xì)，幾乎占了第二卷的四分之一．他從古典的抽彩、摸球等問(wèn)題出發(fā)，歸納為較一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：袋中裝有n+1個(gè)球，各球號(hào)碼依次為0，1，2，…，n；每次摸出一個(gè)，記下號(hào)碼后再放回袋中；則摸出i次后，i個(gè)球的號(hào)碼總和為s的概率是多少? 設(shè)每次摸出球的號(hào)碼分別為t1，t2，…，ti，顯然有 t1 +t2+…+ti=s (32) 拉普拉斯推出這個(gè)概率公式為： (33) 其中組合符號(hào)定義為 (33)式的級(jí)數(shù)到(s-n)，(s-2n-1)，(s-3n-2)，…為零或?yàn)樨?fù)數(shù)時(shí)為止．若s，n無(wú)限增加時(shí)，(33)式可化為： (34) 此式后用來(lái)討論彗星軌道傾角分布于φ-ε，φ+ε之間的概率，φ，ε為任給定的角度，但ε為小量． 第三章討論概率的界限，即事件不定次乘積結(jié)果的概率規(guī)律．標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題是兩個(gè)事件a，b，概率分別為p和1-p；則重復(fù)試驗(yàn)x+x′次中，a出現(xiàn)x次，b出現(xiàn)x′次的概率是二項(xiàng)式[p+(1-p)]ε展開(kāi)式中的第(x′+1)項(xiàng)；而當(dāng)x，x′都非常大時(shí)，拉普拉斯給出了近似計(jì)算公式．從公式中指出了兩種界限，一是和事件a的先驗(yàn)概率有關(guān)，二是和發(fā)生事件a的次數(shù)與總次數(shù)之比有關(guān)．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增大到無(wú)窮時(shí)，兩種界限趨于一致，概率成唯一的．拉普拉斯曾在早年(1781)用男孩和女孩出生數(shù)之比值來(lái)研究先驗(yàn)概率(見(jiàn)原始文獻(xiàn)) 第四章討論誤差的概率問(wèn)題，是他30年來(lái)有關(guān)誤差方面工作的總結(jié)．著重討論了兩個(gè)問(wèn)題：一是大量觀測(cè)資料平均值的誤差在一定范圍內(nèi)的概率；二是更有利的平均值誤差在一定范圍內(nèi)的概率．在這里已提出最小二乘法的原理，以后由勒讓德和高斯最后完成方法體系． 第五章討論概率計(jì)算應(yīng)用于各種現(xiàn)象及其原因的研究．主要例子是氣壓在一天內(nèi)的變化．正常情況下是上午9時(shí)氣壓最高，下午4時(shí)最低；以后上升，到晚上11時(shí)形成較小的高峰，然后降低到早晨4時(shí)為止．拉普拉斯通過(guò)正常情況的概率計(jì)算，指出產(chǎn)生此種周日變化的原因是太陽(yáng)作用，并定出其平均范圍．他試圖從數(shù)學(xué)上解決這個(gè)問(wèn)題，用大氣潮汐作為第二個(gè)原因，但由于資料缺乏而未完成．他在《天體力學(xué)》第二卷第四冊(cè)中提到這點(diǎn)．他還試圖研究心理學(xué)現(xiàn)象，希望從大量觀測(cè)中定出電磁作用在神經(jīng)系統(tǒng)中的影響．另外還考慮過(guò)一事件推斷出的原因概率和未來(lái)事件概率．這是他在1774—1786年間有關(guān)原因概率、逆概率用于人口論的再創(chuàng)作．并以那不勒斯、巴黎和倫敦的人口調(diào)查數(shù)字為基礎(chǔ)，估計(jì)出法國(guó)的人口數(shù)及其或然誤差． 第七章簡(jiǎn)單地討論了先驗(yàn)概率有偏差時(shí)產(chǎn)生的影響，以拋硬幣為例，一般都認(rèn)為拋出正面或反面的先驗(yàn)概率都是二分之一．但由于硬幣的物質(zhì)結(jié)構(gòu)不會(huì)絕對(duì)對(duì)稱(chēng)，故拋出為正面與反面的概率不會(huì)完全相等，設(shè)為 α稱(chēng)為先驗(yàn)概率的未知偏差．由此得出連續(xù)n次都拋出正面(或反面)的概率為： (35) 些醫(yī)學(xué)和經(jīng)濟(jì)方面的問(wèn)題，可惜都未能深入下去． 第六章討論由觀測(cè)到的 此式可知，每次都猜正面(或反面)比有時(shí)猜正而有時(shí)猜反更有利． 第八、九、十章討論了大量社會(huì)現(xiàn)象的概率問(wèn)題，例如平均年齡、年金、保險(xiǎn)、婚姻期限、各社會(huì)團(tuán)體存在期限等．第十章主要討論了與數(shù)學(xué)期望(平均值)不同的可能期望值的計(jì)算，比原來(lái)的伯努利公式更有用． 第十一章講述所謂“見(jiàn)證的概率”．典型例子是抽簽問(wèn)題．設(shè)在袋中有帶號(hào)碼的簽條，抽出一根給見(jiàn)證人看后，他說(shuō)號(hào)碼為n．這是真的嗎？拉普拉斯用逆概率來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題，估計(jì)見(jiàn)證人可靠性的概率．共有四種可能性：(1)見(jiàn)證人既未說(shuō)謊也未看錯(cuò)；(2)他沒(méi)有說(shuō)謊但看錯(cuò)了；(3)他說(shuō)謊但沒(méi)有看錯(cuò)；(4)他又說(shuō)謊又看錯(cuò)．拉普拉斯還推廣到幾個(gè)見(jiàn)證人，情況更復(fù)雜．最后結(jié)論是，對(duì)相信者保證得越多的見(jiàn)證人，其可靠性概率越小．他后來(lái)在《概率的哲學(xué)導(dǎo)論》中，舉了數(shù)字例子；并揭示了帕斯卡(Pascal)論證上帝存在性的錯(cuò)誤． 書(shū)末有三個(gè)補(bǔ)充，都是書(shū)中一些公式的具體證明或推廣．另外有后來(lái)增加的四個(gè)附錄． 1816年完成的附錄一的標(biāo)題是“關(guān)于概率在自然哲學(xué)中的應(yīng)用”．實(shí)際上主要討論社會(huì)問(wèn)題，以一判罪為例．拉普拉斯認(rèn)為犯罪的原因概率中，已知或已假定其先驗(yàn)概率；并認(rèn)為陪審員或法官的可靠性概率在1/2到1之間．他計(jì)算出陪審團(tuán)中幾人投贊成有罪票得到的判決差錯(cuò)的概率．如陪審團(tuán)為8人，5人投有罪票，差錯(cuò)概率為的65/256，由此討論了陪審團(tuán)組成方案． 1817—1819年間，拉普拉斯把概率論用于提高大地測(cè)量資料的精度，相應(yīng)研究結(jié)果歸納為附錄二、三，加在《概率分析理論》第三版中．這兩個(gè)附錄在統(tǒng)計(jì)學(xué)歷史發(fā)展中有重要意義，實(shí)質(zhì)上就是拉普拉斯的誤差理論，用最小二乘原理使儀器誤差和觀測(cè)誤差極小化．附錄二的標(biāo)題為“關(guān)于概率計(jì)算在測(cè)地活動(dòng)中的應(yīng)用”．主要提出自己的統(tǒng)計(jì)方法，并同其他方法進(jìn)行比較．附錄三的標(biāo)題為“概率測(cè)地公式在巴黎子午線測(cè)量中的應(yīng)用”．他的助手J．-B．J．德朗布爾(Delambre)等在1796年整理時(shí)只用了27個(gè)三角網(wǎng)資料，而拉普拉斯用了全部700個(gè)三角網(wǎng)原始資料．算出了不同子午線長(zhǎng)度量級(jí)的誤差概率，得出巴黎子午線長(zhǎng)度的最優(yōu)值． 1825年寫(xiě)完的附錄四是關(guān)于生成函數(shù)的四點(diǎn)小補(bǔ)充． 結(jié)束語(yǔ) 拉普拉斯的貢獻(xiàn)很多，但主要在天體力學(xué)，宇宙體系論和分析概率論三個(gè)方面的成就，使他成為歷史上數(shù)理學(xué)科方面最著名的科學(xué)家之一．他的研究工作特點(diǎn)是深度和廣度并進(jìn)，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用．不僅在自然現(xiàn)象中應(yīng)用，還在社會(huì)現(xiàn)象中盡可能找到應(yīng)用．他在概率論及其他數(shù)學(xué)上的成就，使他成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的先驅(qū)者之一． 他的學(xué)術(shù)思想和哲學(xué)觀點(diǎn)明朗，是較徹底的唯物論者．他同拿破侖的對(duì)話充分說(shuō)明這點(diǎn)，對(duì)出身于教會(huì)家庭的人來(lái)說(shuō)是很難得的．但由于他終身主要致力于力學(xué)方面的研究，且因當(dāng)時(shí)物理學(xué)中，除力學(xué)以外的其他分支還很弱，故他把一切物理現(xiàn)象甚至化學(xué)現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為力的作用，這當(dāng)然是機(jī)械論觀點(diǎn)，這必然影響他在物理學(xué)上作更大貢獻(xiàn)． 關(guān)于他的品德是有爭(zhēng)議的，主要在于對(duì)拿破侖和波旁王朝的態(tài)度上．但對(duì)科學(xué)家拉普拉斯來(lái)說(shuō)，這段短暫時(shí)間的是非并不重要，留待歷史學(xué)家們?nèi)ソ鉀Q． 至于他的著作和出版情況．拉普拉斯的著作分三部分：一是專(zhuān)題報(bào)告或論文，有276篇，分散發(fā)表在各種刊物上，或在科學(xué)院記錄中；二是長(zhǎng)篇專(zhuān)著；三是同其他科學(xué)家的學(xué)術(shù)通信，發(fā)表過(guò)一部分(作為科學(xué)史資料)． 他去世后，由他妻子津貼出版《拉普拉斯文集》(Oeuvres deLaplace)共七卷(見(jiàn)原始文獻(xiàn))，前五卷即《天體力學(xué)》，第六卷為《宇宙體系論》；第七卷為《概率分析理論》，其中緒論即《概率的哲學(xué)導(dǎo)論》．1843年出版第一卷，1847年出齊．這包括了拉普拉斯全部的長(zhǎng)篇書(shū)籍． 拉普拉斯的兒子，后來(lái)任將軍并封為侯爵，于1874年去世．他的外甥女(即拉普拉斯的外孫女)科爾貝爾-拉普拉斯伯爵夫人用他的遺產(chǎn)資助出版了《拉普拉斯全集》(Oeuvres Complètes de La－place，以下簡(jiǎn)稱(chēng)《全集》)，共十四卷(見(jiàn)原始文獻(xiàn))．前七卷與《拉普拉斯文集》相同，只是校正了一些印刷錯(cuò)誤．第八至十二卷為拉普拉斯在1793年以前由科學(xué)院出版的單篇論文或文集，以及1795年以后由法蘭西研究院出版的拉普拉斯的論文．第十三卷為拉普拉斯在法國(guó)經(jīng)度局出版的學(xué)術(shù)刊物《時(shí)間知識(shí)》(Connaissancede Temps)上發(fā)表的全部文章．第十四卷收集了他在其他學(xué)術(shù)刊物，如《物理學(xué)雜志》(Journal de physique)，《物理和化學(xué)年刊》(Annales de physique et chimie)等上發(fā)表的論文．實(shí)際上，這個(gè)《全集》并不完整，有不少文章未收入．如拉普拉斯早年在萊比錫和都林發(fā)表的論文以及重要著作《行星的運(yùn)動(dòng)和橢球形狀理論》(Théorie du mouvement et de la figure elliptique des planètes)(見(jiàn)原始文獻(xiàn))等．另外，通信大部分都未收入．但這個(gè)《全集》已有8千多頁(yè)，于1878年開(kāi)始印出，在1912年才出齊． |
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來(lái)自： l1hf > 《數(shù)學(xué)家》
